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Émergence du calcul des probabilités (I bis)

• De lespérance pascalienne
• à la théorie laplacienne

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2 - Les inventeurs Le problème des partis
espérance de Pascal et combinatoire de Fermat Le
premier manuel et les 5 premiers exercices Les
attentes du Maître de recherches
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Blaise Pascal 1623-1670
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Correspondance de Pascal et Fermat de 1654 sur le
problème des partis  Je vois bien que la vérité
est la même à Toulouse et à Paris 
Pierre Fermat (1601-1665)
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Lettre de Pascal à Fermat, juillet 1654 (Jeu de
 pile ou face , le gagnant est celui qui
atteint le premier le nombre de parties
convenu).  Voici à peu près comme je fais pour
savoir la valeur de chacune des parties, quand
deux joueurs jouent, par exemple, en trois
parties, et chacun a mis 32 pistoles au
jeu  Posons que le premier en ait deux et
l'autre une ils jouent maintenant une partie,
dont le sort est tel que, si le premier la gagne,
il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir, 64
pistoles si l'autre la gagne, ils sont deux
parties à deux parties, et par conséquent, s'ils
veulent se séparer, il faut qu'ils retirent
chacun leur mise, savoir, chacun 32
pistoles Considérez donc, Monsieur, que si le
premier gagne, il lui appartient 64 s'il perd,
il lui appartient 32. Donc s'ils veulent ne point
hasarder cette partie et se séparer sans la
jouer, le premier doit dire Je suis sûr
d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les
donne mais pour les 32 autres, peut-être je les
aurai, peut-être vous les aurez le hasard est
égal partageons donc ces 32 pistoles par la
moitié et me donnez, outre cela, mes 32 qui me
sont sûres . Il aura donc 48 pistoles et l'autre
16. 
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Lettre de Fermat à Pascal, septembre
1654  Cette fiction d'étendre le jeu à un
certain nombre de parties, ne sert quà faciliter
la règle, et (suivant mon sentiment) à rendre
tous les hasards égaux, ou bien, plus
intelligiblement, à réduire toutes les fractions
à une même dénomination . Cas de trois joueurs
jouant en trois parties gagnantes   Mais parce
que M. ltdegt Roberval sera peut-être bien aise de
voir une solution sans rien feindre, et qu'elle
peut quelquefois produire des abrégés en beaucoup
de cas, la voici en l'exemple proposé  le
premier peut gagner, ou en une seule partie, ou
en deux, ou en trois. Sil gagne en une seule
partie, il faut qu'avec un dé qui a trois faces
il rencontre la favorable du coup. Un seul dé
produit 3 hasards ce joueur a donc pour lui 1/3
des hasards, lorsqu'on ne joue qu'une partie. Si
on en joue deux, il peut gagner de deux façons.
Or, deux dés produisent 9 hasards  ce joueur a
donc pour lui 2/9 des hasards lorsqu'on joue deux
parties. Si on en joue trois, il ne peut gagner
que de deux façons. Or, trois dés ont 27 hasards
donc ce premier joueur a 2/27 de hasards
lorsqu'on joue trois parties. La somme des
hasards qui font gagner ce premier joueur, est
par conséquent 1/3, 2/9 et 2/27 ce qui fait en
tout 17/27 ,
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Adresse de Pascal À LILLUSTRE ACADÉMIE
PARISIENNE DE MATHÉMATIQUES   Une recherche
toute nouvelle et portant sur une matière
entièrement inexplorée, savoir sur les
combinaisons du hasard dans les jeux qui lui sont
soumis, ce quon appelle dans notre langue
française faire les parfis des jeux, où
lincertitude de la fortune est si bien dominée
par la rigueur du calcul que, de deux joueurs,
chacun se voit toujours assigné exactement ce qui
lui revient en justice. Il faut le chercher
d'autant plus vigoureusement par la raison que
les possibilités sont moindres d'être renseigné
par l'expérience. En effet, les résultats ambigus
du sort sont à juste titre attribués plutôt au
hasard de la contingence qu'à une nécessité de
nature. C'est pourquoi la question a erré
incertaine jusqu'à ce jour mais maintenant, si
elle a été rebelle à l'expérience, elle n'a pu
échapper à l'empire de la raison. Car nous
l'avons réduite en art avec une telle sûreté,
grâce à la géométrie, qu'ayant reçu part à la
certitude de celle-ci, elle progresse désormais
avec audace, et que, par l'union ainsi réalisée
entre les démonstrations des mathématiques et
l'incertitude du hasard, et par la conciliation
entre les contraires apparents, elle peut tirer
son nom de part et d'autre et s'arroger à bon
droit ce titre étonnant  Géométrie du hasard.
  Donné à Paris, 1654. B. Pascal
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(No Transcript)
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Antoine Arnauld (1612-1694) dit le Grand
Arnauld Exclu de la Sorbonne en 1656 pour ses
thèses jansénistes, proche de Pascal, il sest
retiré à Port Royal puis sest exilé en Flandres
et aux Pays-Bas Avec Pierre Nicole La logique
ou lart de penser (1662)
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Antoine Arnauld et Pierre Nicole La Logique ou
lArt de Penser (1662), chap. XVI   c'est ce
qui attire tant de gens aux loteries  gagner,
disent-ils, vingt mille écus pour un écu,
n'est-ce pas une chose bien avantageuse ? Chacun
croit être cet heureux à qui le gros lot arrivera
et personne ne fait réflexion que s'il est, par
exemple, de vingt mille écus, il sera peut-être
trente mille fois plus probable pour chaque
particulier qu'il ne l'obtiendra pas, que non pas
qu'il l'obtiendra. Le défaut de ces
raisonnements est que, pour juger de ce que l'on
doit faire pour obtenir un bien, ou pour éviter
un mal, il ne faut pas seulement considérer le
bien et le mal en soi, mais aussi la probabilité
qu'il arrive ou n'arrive pas, et regarder
géométriquement la proportion que toutes ces
choses ont ensemble, ce qui peut être éclairci
par cet exemple. Il y a des jeux où dix
personnes mettant chacune un écu, il n'y en a
qu'une qui gagne le tout, et toutes les autres
perdent ainsi chacun des joueurs n'est au
hasard que de perdre un écu, et peut en gagner
neuf Ainsi, chacun a pour soi neuf écus à
espérer, un écu à perdre, neuf degrés de
probabilité de perdre un écu, et un seul de
gagner les neuf écus ce qui met la chose dans
une parfaite égalité. 
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Christiaan Huygens (1629-1695) Sest intéressé
aux jeux de hasard et a suscité une reprise des
échanges entre Pascal et Fermat en
1656-1657 Publia en 1657 De Ratiociniis in
ludo aleae Du calcul dans les jeux de hasard
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Christiaan Huygens (1657) De Ratiociniis in ludo
aleae  du calcul dans les jeux de
hasard   Quoique dans les jeux de hasard pur
les résultats soient incertains, la chance quun
joueur a de gagner ou de perdre a cependant une
valeur déterminée . Huygens définit
lespérance mathématique  Avoir p chances
dobtenir a et q chances dobtenir b, les
chances étant équivalentes, me vaut   .
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Pour ponctuer son manuel, Huygens propose 5
exercices à la sagacité du lecteur, et donne ses
réponses.
Exemple le 5ème problème de Huygens "Ayant
pris chacun 12 jetons, A et B jouent avec trois
dés à cette condition qu'à chaque coup de 11
points, A doit donner un jeton à B et que B en
doit donner un à A à chaque coup de 14 points, et
que celui là gagnera qui sera le premier en
possession de tous les jetons. On trouve dans ce
cas que la chance de A est à celle de B comme
244 140 625 est à 282 429 536 481" Le premier
nombre est égal à 512 et le second à 324. La
probabilité de 11 est à celle de 14 comme 33 est
à 15 (rapport du nombre de triplets réalisant une
somme de 11 à celui des triplets réalisant une
somme de 14). Le rapport donné par Huygens est r
8,644 104
Lélève Bernoulli résout les exercices et fait
des commentaire qui formeront la première partie
de son chef dœuvre Ars Conjectandi.
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Les
nouveaux essais sur lentendement humain,,
1704  "J'ai dit plus d'une fois qu 'il faudrait
une nouvelle espèce de logique, qui traiterait
des degrés de probabilité. Il serait bon que
celui qui voudrait traiter cette matière
poursuivît l'examen des jeux de hasard et
généralement je souhaiterais qu'un habile
mathématicien voulût faire un ample ouvrage bien
circonstancié et bien raisonné sur toute sorte de
jeux, ce serait de grand usage pour perfectionner
l'art d'inventer, lesprit humain paraissant
mieux dans les jeux que dans les matières plus
sérieuses."
Pierre Raymond de Montmort (1678-1719)  Essay
danalyse sur les jeux de hasard, 1708  Le
sort de Pierre est le rapport de tous les coups
qui lui sont favorables au nombre de tous les
coups possibles. Dans une gageure égale, les
mises des deux joueurs doivent avoir le même
rapport que les divers degrés de probabilité ou
despérance que chacun des joueurs a de gagner .