Math

1
Mathématiques CST

• CHAPITRE 1
• LOPTIMISATION

2
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Rappel sur les inéquations

A) Traduction
Exemple 1
À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties
de hockey de plus que de parties de football.
À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties
de hockey de plus que de parties de football.
Variables
x Nombre de parties de hockey
y Nombre de parties de football
Inéquation
x y 5
3
À chaque année, Sébastien joue au plus le double
de parties de hockey que de parties de football.
Exemple 2
À chaque année, Sébastien joue au plus le double
de parties de hockey que de parties de football.
Variables
x Nombre de parties de hockey
y Nombre de parties de football
Inéquation
x 2y
Exemple 3
Chez HMV, je dispose de 150 pour acheter des CD
de musique à 10 chacun et des DVD de film à 18
chacun.
Chez HMV, je dispose de 150 pour acheter des CD
de musique à 10 chacun et des DVD de film à 18
chacun.
Variables
x Nombre de CD de musique
y Nombre de DVD de film
Inéquation
10x 18y 150
4
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Rappel sur les inéquations

B) Représentation graphique
Exemple 1
Représenter graphiquement -2y ? 4x 6 .
5
Exemple 1
Représenter graphiquement lensemble-solutions
de -2y 4x 6 .
y ? -2x 3
Avec le point (-2, -7)
y -2x 3
y ? -2x 3
-7 ? -2(-2) 3
-7 ? 4 3
-7 ? 1
VRAI
Ensemble-solutions de y ? -2x 3
(-2, -7)
6
Exemple 2
Représenter graphiquement lensemble-solutions de
y ? x 3 .
Ensemble-solutions de y ? x 3
Avec le point (4, 3)
y ? x 3
(4, 3)
3 ? 4 3
3 ? 7
FAUX
y x 3
7
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Rappel sur les inéquations

B) Représentation graphique
En RÉSUMÉ
? ou ? ----------gt Droite frontière
pointillée
? ou ? ----------gt Droite frontière
pleine
y ? ou y ? ----------gt
Ensemble-solutions au-dessus de la droite
frontière
y ? ou y ? ----------gt
Ensemble-solutions en-dessous de la droite
frontière
8
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Polygone de contraintes

Exemple 1
Dans un orchestre, il y a des instruments à
cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus
dinstruments à cordes que dinstruments à vent.
De plus, il y a au plus 30 musiciens. Tracer le
polygone de contraintes de cette situation.
Dans un orchestre, il y a des instruments à
cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus
dinstruments à cordes que dinstruments à vent.
De plus, il y a au plus 30 musiciens.
? Variables
x Nombre dinstruments à cordes
y Nombre dinstruments à vent
? Contraintes
x 2y
x y 30
x 0
Contraintes de non-négativité
y 0
9
? Variables
x Nombre dinstruments à cordes
y Nombre dinstruments à vent
? Contraintes
x 2y
x y 30
? Polygone de contraintes
x 0
y 0
? Isoler y
x
2
x
2
y
y
y 30 x
y 30 x
x 0
x 0
y 0
y 0
10
Exemple 2
Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux au
chocolat et aux carottes. Disposant dun maximum
de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau
aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat.
Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins
7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace
le polygone de contraintes de cette situation.
Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux au
chocolat et aux carottes. Disposant dun maximum
de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau
aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat.
Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins
7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace
le polygone de contraintes de cette situation.
? Variables
x Nombre de gâteaux au chocolat
y Nombre de gâteaux aux carottes
? Isoler y
? Contraintes
? Polygone de contraintes
x
2
x
2
x 2y 18
y 9
y 9
x y 12
x 7
y 12 x
y 12 x
y 2
x 7
x 7
x 0
y 2
y 2
y 0
x 0
x 0
y 0
y 0
11
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Fonction à optimiser

Exemple
Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins
20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique
au moins 4 fois plus de chaises que de tables et
peut produire un maximum de 200 chaises et tables
au total. La compagnie fait un profit de 15 par
chaise et de 25 par table. Combien de chaises
et de tables la compagnie doit-elle produire pour
maximiser ses profits ?
Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins
20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique
au moins 4 fois plus de chaises que de tables et
peut produire un maximum de 200 chaises et tables
au total. La compagnie fait un profit de 15 par
chaise et de 25 par table. Combien de chaises
et de tables la compagnie doit-elle produire pour
maximiser ses profits ?
? Fonction à optimiser
? Variables
x Nombre de chaises fabriquées
P 15x 25y
Règle qui traduit le but visé par une fonction.
But maximiser
y Nombre de tables fabriquées
12
Exemple
Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins
20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique
au moins 4 fois plus de chaises que de tables et
peut produire un maximum de 200 chaises et tables
au total. La compagnie fait un profit de 15 par
chaise et de 25 par table. Combien de chaises
et de tables la compagnie doit-elle produire pour
maximiser ses profits ?
Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins
20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique
au moins 4 fois plus de chaises que de tables et
peut produire un maximum de 200 chaises et tables
au total. La compagnie fait un profit de 15 par
chaise et de 25 par table. Combien de chaises
et de tables la compagnie doit-elle produire pour
maximiser ses profits ?
? Variables
? Fonction à optimiser
x Nombre de chaises fabriquées
P 15x 25y
y Nombre de tables fabriquées
But maximiser
? Polygone de contraintes
? Contraintes
? Isoler y
y 20
y 20
y 20
x 80
x 80
x 80
x
4
x
4
x 4y
y
y
x y 200
x 0
y 200 x
y 200 x
y 0
x 0
x 0
y 0
y 0
13
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Recherche de la solution optimale

? Polygone de contraintes
? Coordonnées des sommets
A
y 20
A (80, 20)
x 80
B
y 200 x
(1)
(1) (2)
(3) dans (1)
y
x
4
200 x
x
4
y 200 160
(2)
y 40
200
5x
4
B
B (160, 40)
A
C
160 x
(3)
C
y 20
(1)
(1) (2)
y 200 x
200 x 20
(2)
C (180, 20)
- x - 180
x 180
14
? Tableau-solutions




Sommets
Profits
P 15x 25y
P 15(80) 25(20)
A (80, 20)
1700
B (160, 40)
P 15(160) 25(40)
3400
Maximum
C (180, 20)
P 15(180) 25(20)
3200
? Solution
Pour réaliser un profit maximal, la compagnie
doit fabriquer 160 chaises et 40 tables.
15
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Structure dun problème doptimisation complet

? Variables
? Polygone de contraintes
? Fonction à optimiser
? Coordonnées des sommets
? Contraintes
? Tableau-solutions
? Solution
? Isoler y
16
Exemple
Une entreprise confectionne 2 produits différents
des foulards et des chandails. Un foulard
demande 8 heures pour la préparation des modèles
et 4 heures pour limpression. Quant aux
chandails, il faut 2 heures pour concevoir les
modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque
semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et
de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui
travaillent 40 heures par semaine 22 personnes
pour les modèles et 8 personnes pour
limpression. Lentreprise fait des profits de 20
par foulard et de 4 par chandail. Combien
darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle
vendre pour maximiser ses profits ?
Une entreprise confectionne 2 produits différents
des foulards et des chandails. Un foulard
demande 8 heures pour la préparation des modèles
et 4 heures pour limpression. Quant aux
chandails, il faut 2 heures pour concevoir les
modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque
semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et
de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui
travaillent 40 heures par semaine 22 personnes
pour les modèles et 8 personnes pour
limpression. Lentreprise fait des profits de 20
par foulard et de 4 par chandail. Combien
darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle
vendre pour maximiser ses profits ?
? Variables
x Nombre de foulards produits par semaine
y Nombre de chandails produits par semaine
? Fonction à optimiser
P 20x 4y
But maximiser
17
Exemple
Une entreprise confectionne 2 produits différents
des foulards et des chandails. Un foulard
demande 8 heures pour la préparation des modèles
et 4 heures pour limpression. Quant aux
chandails, il faut 2 heures pour concevoir les
modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque
semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et
de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui
travaillent 40 heures par semaine 22 personnes
pour les modèles et 8 personnes pour
limpression. Lentreprise fait des profits de 20
par foulard et de 4 par chandail. Combien
darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle
vendre pour maximiser ses profits ?
? Contraintes
? Isoler y
x 20
x 20
x 80
x 80
22 personnes x 40 heures 880 heures
y 100
y 100
y 250
y 250
8x 2y 880
y 440 4x
8 personnes x 40 heures 320 heures
4x 0,25y 320
y 1280 16x
x 0
x 0
y 0
y 0
18
? Polygone de contraintes
? Isoler y
x 20
x 80
y 100
y 250
y 440 4x
y 1280 16x
x 0
y 0
19
? Coordonnées des sommets
A
x 20
A (20, 250)
y 250
B
y 250
(1)
(1) (2)
y 440 4x
(2)
250 440 4x
47,5 x
B (47,5 , 250)
B
A
C
E
D
C
y 440 4x
(1)
(1) (2)
y 1280 16x
(2)
440 4x 1280 16x
12x 840
x 70
(3)
(3) dans (1)
C (70, 160)
y 440 4(70)
y 160
D
y 1280 16x
(1) (2)
(1)
y 100
(2)
1280 16x 100
x 73,75
D (73,75 , 100)
E
y 100
E (20, 100)
x 20
20
? Tableau-solutions






Sommets
Profits
P 20x 4y
P 20(20) 4(250)
A (20, 250)
1400
B (47,5, 250)
P 20(47,5) 4(250)
1950
Maximum
C (70, 160)
P 20(70) 4(160)
2040
D (73,75, 100)
P 20(73,75) 4(100)
1875
E (20, 100)
800
P 20(20) 4(100)
? Solution
Pour réaliser un profit maximal, la compagnie
doit vendre 70 foulards et 160 chandails.
21
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Test formatif 1

Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
22
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
2 pts
? Variables
2 pts
? Fonction à optimiser
x Nombre de voyages en train par jour
R 90x 60y
y Nombre de voyages en autobus par jour
But maximiser
? Polygone de contraintes
? Contraintes
4 pts
2 pts
? Isoler y
y 30 x
y 30 x
x y 30
2x
3
2x
3
8 pts
y
x 1,5y
y
x 20
x 0
x 20
x 20
y 0
x 0
y 0
23
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
? Coordonnées des sommets
4 pts
(démarches incomplètes)
A
y 2x / 3
A (0, 0)
x 0
? Polygone de contraintes
B
y 2x / 3
B (18, 12)
y 30 x
C
x 20
C (20, 10)
y 30 x
D
x 20
D (20, 0)
y 0
B
C
D
A
24
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
Dans une petite ville, on offre aux habitants 2
types de transport en train ou en autobus.
Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30
transports par jour, dont au plus 20 voyages en
train par jour. De plus, elle souhaite que le
nombre de voyages en train soit supérieur dau
moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme
elle tire des revenus de 90 par voyage en train
et de 60 par voyage en autobus, combien de
transport de chaque type doit-elle effectuer pour
maximiser ses revenus ?
2 pts
? Tableau-solutions





Sommets
Revenus
R 90x 60y
A (0, 0)
R 90(0) 60(0)
0
B (18, 12)
R 90(18) 60(12)
2340
Maximum
C (20, 10)
R 90(20) 60(10)
2400
D (20, 0)
R 90(20) 60(0)
1800
1 pt
? Solution
Pour maximiser ses revenus, la ville doit
effectuer 20 voyages en train et 10 voyages en
autobus.
25
Mathématiques CST - OPTIMISATION -

• Test formatif 2

Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
26
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
? Fonction à optimiser
2 pts
? Variables
2 pts
R 16x 12y
x Nombre dinscriptions au cours débutant
But maximiser
y Nombre dinscriptions au cours avancé
? Polygone de contraintes
4 pts
2 pts
? Contraintes
? Isoler y
y 12 x
y 12 x
x y 12
8 pts
y 2x
y 2x
y 2x
1x 2,5y 18
y -0,4x 7,2
y -0,4x 7,2
x 0
x 0
y 0
y 0
27
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
? Coordonnées des sommets
4 pts
(démarches incomplètes)
A
x 0
? Polygone de contraintes
A (0, 0)
y 0
B
y 2x
B (3, 6)
y -0,4x 7,2
C
y 12 x
C (8, 4)
B
y -0,4x 7,2
C
D
y 12 x
D (12, 0)
y 0
D
A
28
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
Dans un quartier dune ville, on offre des cours
de réparation de vélo qui sont limités à un
maximum de 12 participants et participantes. Il y
a deux types de cours offerts  un cours pour
personnes débutantes, qui dure une heure et coûte
16 , et un cours avancé, qui dure deux heures
trente minutes et coûte 12 . La municipalité
prête léquipement requis pour un maximum
de 18 heures par semaine. Il a été établi que le
nombre dinscriptions au cours avancé doit être
au plus égal au double de celui du cours pour
novices. Si la municipalité souhaite maximiser
ses revenus, combien de personnes faudrait-il
accepter dans chacun des cours ?
2 pts
? Tableau-solutions





Sommets
Revenus
R 16x 12y
A (0, 0)
R 16(0) 12(0)
0
B (3, 6)
R 16(3) 12(6)
120
C (8, 4)
R 16(8) 12(4)
176
Maximum
D (12, 0)
R 16(12) 12(0)
192
1 pt
? Solution
Pour maximiser ses revenus, il faut 12
inscriptions au cours débutant et aucune
inscription au cours avancé.