Integrazione Numerica

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Integrazione Numerica

• Data una funzione f integrabile su a,b
  consideriamo
• E consideriamo il problema di valutare
  numericamente tale integrale.
• sua approssimazione. Perché?
• Non sempre è possibile esprimere la primitiva
  della funzione integranda in termini di funzioni
  elementari
• In alcuni casi non si conosce la primitiva
• La funzione da integrare può essere data non in
  forma analitica, ma per punti.
  
• Si cercano metodi numerici in grado di fornire
  una approssimazione di un integrale in termini di
  un numero finito di valori della funzione
  integranda
• FORMULE DI
  QUADRATURA

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• Supponiamo di conoscere (o di poter valutare) la
  funzione integranda f(x)
• in punti (scelti o prefissati), distinti
  in a,b
• Costruiamo formule del tipo
• nodi della formula di quadratura
• pesi della formula di quadratura
• Dato che loperatore integrazione è un funzionale
  lineare, tale formula ne
• preserva, tra laltro, questa proprieta
• 
  errore di
  quadratura
• IDEA IMMEDIATA
• Approssimare f(x) con il polinomio interpolante
  la funzione nei nodi di
• grado n (unico perche i nodi sono distinti)

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Formule interpolatorie

• Se rappresentiamo nella forma di
  Lagrange
• Le formule costruite in questo modo si chiamano
  formule di quadratura interpolatorie
• ESEMPIO
• 
  Consideriamo i punti (a,f(a)) e (b,f(b)) e
  sostituiamo alla
• funzione
  la retta che passa per i punti dati

Regola dei Trapezi
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Grado di precisione

• La precisione di una formula di quadratura è
  legata alla bontà con cui approssima
  , pertanto in generale è dipendente dalla
  funzione integranda.
• Si esamina per quale classe di funzioni e esatta
  (cioè )
• Definizione Una formula di quadratura ha
  grado di precisione k se è esatta quando la
  funzione integranda è un polinomio di grado
  k, ed esiste almeno un polinomio di grado k1 per
  cui lerrore risulti non nullo
• Tale definizione è giustificata dal teorema di
  Weierstrass
• Vale il teorema seguente
• Teorema Le formule di quadratura
  interpolatorie costruite su n1 nodi,
• hanno grado di precisione
  almeno n .

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Convergenza

• Dal teorema di Weierstrass discende anche il
  seguente
• Teorema Sia una successione di
  formule di quadratura tali che
• abbia grado di
  precisione almeno n, ed equilimitate
• (i.e.
  ). Allora si ha
• Dim.

Per Teorema di W.
Teorema Data una famiglia di formule di
quadratura interpolatorie tali che

Allora si ha
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Osservazione In una formula di quadratura
interpolatoria si ha
(dim. per esercizio) Corollario Data
, se i pesi di una formula di quadratura
di grado di precisione n, sono tutti positivi
allora
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• Tra le formule interpolatorie piu usate si
  possono mettere in evidenza due classi
  importanti
• Formule di Newton-Cotes i nodi
  sono prefissati nellintervallo a,b e sono
  equispaziati. Queste formule hanno grado di
  precisione n o n1 ed hanno i pesi
  facilmente ricavabili ed espressi con semplici
  numeri razionali. Hanno però lo svantaggio che
  per ngt9 i non sono tutti dello stesso
  segno.
• Formule gaussiane i nodi non
  sono prefissati a priori, ma assime ai pesi
  vengono ricavati in modo da massimizzare il grado
  di precisione che risulta di 2n1. Queste
  formule, rispetto a quelle di Newton-cotes, hanno
  il vantaggio, oltre allelevato grado di
  precisione, di avere i pesi sempre positivi ,al
  prezzo pero che lespressione dei nodi e dei
  pesi e spesso non razionale.

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Formule di Newton-cotes

• Basate sul metodo di interpolazione di Lagrange
  con nodi equispaziati in a,b
• I pesi, che dipendono solo da n e h (per tutte le
  formule interpolatorie), non dipendono
  dallintervallo di integrazione a,b e sono
  esprimibili come

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Esempi

• n2 chiusa SIMPSON
• n0 aperta MIDPOINT

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Errore per formule di N.-C.

• Teorema Sia con n pari,
  allora si ha
• Se invece n e dispari,
• dove i1 per le formule di tipo
  chiuso, mentre i0 per quelle
• di tipo aperto.
• A parita di numero di nodi formule aperte e
  formule chiuse hanno lo stesso grado di
  precisione.
• Per n pari (numero dispari di nodi) il grado di
  precisione e n1 e non n (come invece si ha per
  n dispari)
• E piu conveniente usare formule
  con n pari.

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Convergenza formule di N.-C.

• Contrariamente a quanto potrebbe sembrare a
  prima vista non conviene usare formule di
  Newton-Cotes di grado di precisione via via
  crescente.
• Teorema (Kusmin) Per ogni successione
  di formule di quadratura interpolatorie
  costruite su un intervallo chiuso con nodi
  equidistanti si ha
• I pesi tendono a crescere in modulo e ad essere
  di segno alterno, dando luogo a rilevanti errori
  di arrotondamento (per es. errori di
  cancellazione)

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Condizionamento

• In generale la quantita da una
  misura di quanto si amplifichino gli errori sui
  dati iniziali e quindi puo essere messa anche in
  relazione con il condizionamento del problema.
• Supponiamo che a causa degli errori di
  arrotondamento si abbia
• Lerrore effettivamente commesso e dato da
• Se i pesi sono positivi

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Formule composite

• Idea si suddivide lintervallo di integrazione
  a,b in N sottointervalli di ampiezza uguale
  e su ciascuno di essi applicare
  una formula di grado basso
• Le formule piu usate
• SIMPSON

Il grado di precisione delle formule composite
e lo stesso delle corrispondenti formule di
Newton-Cotes semplici.
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Errore

• Si puo facilmente dimostrare
• Per funzioni sufficientemente regolari si ha
  quindi

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Implementazione

• In pratica e importante determinare un valore
  adeguato del numero di suddivisioni
  dellintervallo che bisogna fare.
• Stima dellerrore in modo automatico valutando
• Di solito e conveniente considerare N22N1
• Nellipotesi in cui la derivata s-esima vari
  lentamente e possibile dare una stima
  dellerrore a partire da due formule composite
  con valori diversi di N

Estrapolazione di Richardson
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Formule adattive

• Le formule composite con suddivisione uniforme
  dellintervallo di integrazione sono ormai
  superate, tranne in casi particolari (funzioni
  periodiche, regola dei trapezi)
• Si usano formule di tipo adattivo
• Quando la funzione integranda presenta delle
  irregolarita ce la necessita di addensare I
  nodi nelle vicinanze delle irregolarita
• Lintervallo viene suddiviso in sottointervalli
  di ampiezza diversa
• Viene applicata una formula base (non con molti
  nodi) addensando I nodi la dove e necessario.

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Polinomi ortogonali

• Uno spazio vettoriale G sul campo R dei reali, su
  cui è definito un prodotto scalare, è detto
  spazio di Hilbert se ogni successione di Cauchy
  di elementi di G è convergente ( spazio di Banach
  prodotto scalare)
• Data una funzione peso w(x) non negativa
  nellintervallo (finito o infinito) (a,b) e non
  identicamente nulla ed un insieme
  di polinomi, in cui è di grado i, esso è
  uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto
  scalare
• Un sistema di polinomi è detto ortogonale
  rispetto ad una funzione peso w(x) ed al prodotto
  scalare sopra definito se
• Lintervallo (a,b) e la funzione peso w(x)
  definiscono univocamente i polinomi , a
  meno di fattori costanti non nulli.

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• Teorema Sia q(x) un polinomio di grado n. Allora
  
• Teorema per ogni ngt0 il polinomio ortogonale
  possiede n zeri reali distinti e tutti
  contenuti in (a,b). Inoltre gli zeri di
  si alternano con quelli di ossia
  tra due zeri consecutivi di esiste un
  solo zero di
• Teorema Ogni sistema di polinomi ortogonali
  soddisfa una relazione per
  ricorrenza a tre termini del tipo

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Formule Gaussiane

• Nelle formule gaussiane i nodi non sono
  determinati a priori, ma sono scelti in modo da
  massimizzare il grado di precisione della formula
• Teorema Una formula di quadratura di tipo
  interpolatorio costruita su n1 punti ha grado di
  precisione almeno n ed al massimo 2n1. Il grado
  massimo viene raggiunto se e solo se i nodi sono
  gli zeri dell (n1)-esimo polinomio ortogonale
  rispetto alla funzione peso w(x)1
• Si considera il resto nella forma di Newton
• Per costruzione se
• Vediamo ora
• se e solo se e ortogonale allo
  spazio rispetto a
• E sufficiente prendere come nodi gli zeri
  dell(n1)-esimo polinomio ortogonale r-1n
  rn1. Il massimo grado di precisione
  ottenibile e 2n1

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• Tutti i coefficienti di una formula
  interpolatoria di grado di precisione
  almeno 2n, sono tutti positivi
• Per quanto riguarda lerrore si ha che, se
• dove e l(n1)-esimo polinomio
  ortogonale
• Le formule gaussiane classiche sono quelle
  associate ai classici polinomi ortogonali.
• Essi sono in generale definiti in -1,1. Se

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Formule di Gauss-Legendre

• I polinomi di Legendre sono definiti per
  ricorrenza
• Per queste formule si possono calcolare
  esplicitamente i nodi ed i pesi, per ogni n, e
  tabularli (nellintervallo di riferimento -1,1)
• Difficile implementazione per loro utilizzo in
  modo iterativo
• I nodi sono tutti interni allintervallo

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Formule di Gauss-Lobatto

• Si considerano gli zeri del polinomio
• dove a e b sono determinate in modo tale che
• Nei nodi sono inclusi gli estremi
• I nodi sono gli zeri di ed i pesi sono
  dati da
• Le formule di Gauss-Lobatto hanno grado di
  precisione 2n-1

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Formule gaussiane pesate

• Si studiano formule per approssimare
• Questi integrali sono utili quando si vuole
  integrare una funzione g(x) che presenta delle
  singolarità o dei punti di discontinuità
  nellintervallo a,b, ma può essere fattorizzata
  g(x)w(x)f(x), in cui w(x) è una funzione di
  forma semplice contenente la singolarità di g(x),
  mentre f(x) è la parte regolare di g(x).
• Si costruiscono formule interpolatorie
  generalizzando il procedimento visto finora (che
  corrisponde a w(x) 1)
• La funzione peso deve essere tale da garantire
  lesistenza degli integrali coinvolti e
  permettere la costruzione dei pesi

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• Formule gaussiane pesate in cui i nodi sono
  scelti coincidenti con gli zeri dei polinomi
  ortogonali rispetto al prodotto scalare
• Particolarizzando lintervallo a,b e la
  funzione peso w(x) si hanno diverse formule
• Gauss-Chebychev -1,1
• Gauss-Laguerre
• Gauss-Hermite
• Tutti i nodi ed i pesi sono ottenibili da
  opportune tavole, tranne che per le formule di
  Gauss-Chebychev