Slajd 1

1
MECHANIKA NIEBA WYKLAD 10 14.05.2008 r
2
Zagadnienie n cial
Calki ruchu
calka srodka masy calka pól calka
energii (sil zywych)
3
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
gdzie
Powyzszy uklad moze nie miec rozwiazania dla
pewnego momentu czasu tt1 osobliwosc Osobliwo
sci naleza do dwóch klas 1. zderzeniowe 2.
niezderzeniowe
4
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Problem analizy osobliwosci w zagadnieniu n cial
zostal zapoczatkowany przez P.Painlevé w 1895 r.
Szczególnie istotne bylo poruszenie przez niego
problemu istnienia osobliwosci niezderzeniowych
(rozwiazanie zostalo podane sto lat pózniej).
Równanie ruchu n cial (przyjmujac taki uklad
wspólrzednych gdzie G1)
5
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
zdefiniujmy zbiór zderzen gdzie to zbiór
takich konfiguracji ukladu, w których dochodzi do
zderzenia pewnej liczby punktów
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiazaniach
zagadnienia n cial, POSTEPY FIZYKI, Tom 56,
Zeszyt 2
6
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
zdefiniujmy zbiór zderzen gdzie to zbiór
takich konfiguracji ukladu, w których dochodzi do
zderzenia pewnej liczby punktów
Poza zbiorem zderzen (R3n\Z), prawa strona
ukladu jest funkcja gladka.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiazaniach
zagadnienia n cial, POSTEPY FIZYKI, Tom 56,
Zeszyt 2
7
Zagadnienie n cial
Osobliwosci

• Zalózmy, ze rozwiazanie r(t) zagadnienia n cial
• posiada osobliwosc w pewnej chwili t
• (przy czym tlt8), wtedy mamy dwie mozliwosci
• 1. w tym wypadku wektor q jest
  pewnym ustalonym
• punktem zderzenie
• trajektoria nie dazy do ustalonego punktu
  (nalezacego do zbioru Z) mamy osobliwosc
  niezderzeniowa

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiazaniach
zagadnienia n cial, POSTEPY FIZYKI, Tom 56,
Zeszyt 2
8
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Osobliwosc niezderzeniowa ruch n punktów
materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia
zadnej ich pary, a jednoczesnie po skonczonym
czasie suma wszystkich odleglosci tych par dazy
do nieskonczonosci Painlevé zadal pytanie o
mozliwosc istnienia osobliwosci niezderzeniowej
pokazal jednoczesnie, ze w zagadnieniu trzech
cial takie osobliwosci nie wystepuja. W 1908 r.
von Zeipel pokazal, ze jesli istnieje osobliwosc
niezderzeniowa, to maksymalna odleglosc miedzy n
punktami, poruszajacymi sie zgodnie z zasadami
dynamiki Newtona, moze w skonczonym czasie
wzrastac do nieskonczonosci.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiazaniach
zagadnienia n cial, POSTEPY FIZYKI, Tom 56,
Zeszyt 2
9
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Dopiero w McGehee (1974) oraz Mather i McGehee
(1975) pokazuja, ze jest mozliwe istnienie
osobliwosci niezderzeniowej w ukladach czterech i
pieciu cial. Jednak w ich pracach osobliwosc
niezderzeniowa pojawia sie po nieskonczonej ilosc
zlinearyzowanych zderzen (tzw. rozdmuchiwanie
osobliwosci). Ostatecznie rozwiazanie problemu
poruszonego przez Painlevé podaje Xia (1988) dla
ukladu pieciu cial.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiazaniach
zagadnienia n cial, POSTEPY FIZYKI, Tom 56,
Zeszyt 2
10
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Aby zrozumiec konstrukcje Xia dobrze jest zaczac
od ukladu trzech cial takiego jak na
rysunku Uklad dwóch cial poruszajacych sie
bardzo szybko po ciasnych elipsach (przyciaganie
zalezy wtedy równiez od odleglosci miedzy m1 i
m2), tak ze w pewnym polozeniu prawie dochodzi
do zderzen. Trzeci cialo (czastka) porusza sie
wzdluz prostej przechodzacej przez
barycentrum mas m1 i m2.
11
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Uklad dziala w taki sposób, ze gdy m3 mija
barycentrum to m1 i m2 równiez i dochodzi do
prawie zderzenia. W efekcie m3 zostaje
gwaltownie przyspieszona i zawrócona Xia
ilustruje to za pomoca pilki do koszykówki z
umieszczona tuz nad nia pilka tenisowa
upuszczonych na ziemie Jezeli pilka do
koszykówki uderza w ziemie to pilka tenisowa
odbija sie od poruszajacej sie do góry pilki do
koszykówki Ped przekazany mniejszej pilce jest
ogromny i powoduje jej wystrzelenie w góre
12
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Aby uniknac wyrzucenia lekkiego ciala do
nieskonczonosci , w ukladzie Xia mamy do
czynienia z dwoma gwiazdami podwójnymi o parami
równych masach. Do tego ukladu dodajemy, jako
piate cialo, lekki wahadlowiec poruszajacy sie
wzdluz osi z. Srodek masy pieciu cial znajduje
sie w poczatku ukladu wspólrzednych. Laczny
moment pedu ukladu jest równy zeru. W chwili
poczatkowej wahadlowiec znajduje sie pomiedzy
ukladami podwójnymi i porusza sie w kierunku
jednego z nich.
13
Zagadnienie n cial
Osobliwosci
Kiedy mija dany uklad zostaje gwaltownie
zawrócony i skierowany w strone drugiego ukladu.
Kiedy dociera do drugiego ukladu sytuacja
powtarza sie. Xia wykazal, ze masy cial i
warunki poczatkowe mozna dobrac tak, ze ruch
wahadlowca mozna powtórzyc nieskonczenie wiele
razy w skonczonym czasie Osobliwosc
niezderzeniowa pojawia sie, bo w granicy t-gtt
odleglosc plaszczyzn obu gwiazd podwójnych
rosnie do nieskonczonosci Przyklad podany przez
Xia moze byc uogólniony na dowolny uklad ngt5
cial.
14
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne
Zwykle calkowanie numeryczne równan
ruchu. Jest bardzo powolne, bo czas obliczen
zalezy od n2 Mozna go zredukowac uzywajac
pewnych technik Jest bardzo czule na bledy
uzytej metody calkowania (przyklad)
15
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne
metoda Barnes-Hut przyklad analizy zagadnienia
n cial przy zredukowanej liczbie kroków
obliczeniowych (czas obliczen rosnie zgodnie z
nlogn) Polega na utworzeniu drzewa
oddzialywan poprzez podzielenie przestrzeni na
komórki, które na najnizszym poziomie zawieraja
pojedyncze ciala
16
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne
Ruch danej czastki jest zdeterminowany przez
oddzialywania grawitacyjne innych cial. W
metodzie B-H zaklada sie, ze tylko ciala lezace
najblizej danej czastki musza byc traktowane
indywidualnie. Oddzialywanie od bardziej
odleglych cial wyznaczane jest poprzez
usrednianie po duzych komórkach. Metoda B-H nie
ma nic wspólnego z modelami typu PIC (Particle In
Cell)!
17
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne
Dzieki metodzie B-H mozna obecnie efektywnie
badac zderzenia galaktyk, które modeluje sie
jako zbiory milionów (!) gwiazd.
18
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne
Modyfikacje metody Barnes-Hut polegaja np. na
innym sposobie dzielenie przestrzeni Moga to byc
na przyklad kule lub elipsy W niektórych
wypadkach pozwala to uzyskac liniowa zaleznosc
czasu obliczen od liczby punktów Fast Multipole
Method (Greengard i Rokhlin 1987)
19
Zagadnienie n cial
Rozwiazania numeryczne

• Metoda najblizszego sasiada
• dla danego punktu liczymy odleglosci od innych
• jako sasiadów traktujemy punkty, których
  odleglosci sa mniejsze od zadanego warunku (nie
  zapominamy o masie)
• wyznaczmy przyspieszenie pochodzace od sasiadów
• Metoda pozwala uzyskac czas obliczen
• proporcjonalny do liczby punktów (b. szybka)

20
Zagadnienie n cial
Rozwiazania szczególne
Pierwsze, stabilne rozwiazania dla ngt2 cial
podali Lagrange i Euler Skupili sie oni glównie
na zagadnieniu 3 cial szukajac symetrii
pozwalajacych uzyskac dokladne rozwiazania. W
trzech przypadkach ciala zawsze znajdowaly sie
na jednej prostej (wczesniej taki przyklad podal
Euler), a w dwóch innych masy lezaly w
wierzcholkach trójkata równobocznego. Ostatnio
(Chenciner i Montgomery 2001) podany zostal
jeszcze jeden przypadek, w którym trzy ciala
poruszaja sie po figurze o ksztalcie ósemki
(nieskonczonosci?).
21
Zagadnienie n cial
Rozwiazania szczególne

• Duza czesc rozwiazan szczególnych jest
  uogólnieniem znanych rozwiazan dla ukladu 3 cial.
• Ogólnie znane rozwiazania dla n cial mozna
  podzielic na kilka klas
• plaskie jesli w zagadnieniu n cial mozemy w
  kazdym momencie zdefiniowac plaszczyzne
  zawierajaca wszystkie ciala.
• wspólliniowe w przypadku gdy dla dowolnego
  momentu czasu wszystkie ciala znajduja sie na
  jednej prostej
• homograficzne ksztalt utworzony przez n cial
  wzgledem barycentrum jest zachowany, przyklad

22
Zagadnienie n cial
Rozwiazania szczególne - przyklady
http//burtleburtle.net/bob/physics/