Slajd 1

1
MECHANIKA NIEBA WYKLAD 13 18.06.2008 r
2
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Punkty równowagi Lagrangea
Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi
przez barycentrum sa polozone na symetralnej
odcinka laczacego masy m1 i m2. Stad, ze sila
dosrodkowa moze byc w calosci kompensowana przez
sile o tym samym kierunku (przeciwnym zwrocie)
dostalismy ad. W zwiazku z tym punkt równowagi
lezy w wierzcholku trójkata równobocznego,
którego podstawa jest linia laczaca obie
masy. Ze wzgledu na symetrie w ukladzie istnieje
drugi punkt trójkatny. Poza tym istnieja
jeszcze trzy punkty lezace na linii laczacej obie
masy.
3
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Punkty równowagi to punkty osobliwe powierzchni
zerowej predkosci które sa zdefiniowane
poprzez gdzie U jest wprowadzonym wczesniej
pseudo potencjalem
4
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Z równania oraz z równan ruchu Wynika,
ze w kazdym punkcie osobliwym mamy czyli,
punkty osobliwe sa jednoczesnie punktami równowagi
5
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Co wiecej pamietajac, ze oraz otrzymujemy, ze
z0. W takim razie zagadnienie sprowadza sie do
zagadnienia plaskiego, które rozpatrujemy w
plaszczyznie x-y Oprócz z0, przyjmujemy taki
uklad jednostek, w którym odleglosc mas jest
równa 1 oraz n1.
6
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Ruch czastki opisujemy w ukladzie (x,y)
rotujacym ze stala predkoscia Korzystajac z
wczesniejszych definicji mamy korzystajac z
powyzszych równan oraz z faktu, ze µ1µ21
otrzymujemy co pozwala na przeksztalcenie U
do postaci
(?2,?2,?2)
(?1,?1,?1)
7
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Otrzymana postac potencjalu jest wygodniejsza
przy obliczaniu pochodnych czastkowych ze wzgledu
na brak zaleznosci od x i y Dla znalezienia
punktów równowagi musimy rozwiazac uklad równan
8
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Po wyznaczeniu pochodnych czastkowych
dostajemy (13.1) Rozwiazanie
trywialne tego ukladu daje r1r21 (w
przyjetym ukladzie jednostek). Poniewaz
jednoczesnie odleglosc miedzy masami jest równa
1, wiec otrzymalismy wprowadzone wczesniej punkty
trójkatne
9
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Mozna zauwazyc, ze innym rozwiazaniem drugiego z
równan 13.1 jest y0 co oznacza, ze pozostale
punkty równowagi leza na osi x i spelniaja
pierwsze z równan 13.1 Sa trzy takie
punkty. L1 lezacy pomiedzy masami, L2
polozony na prawo od µ2 oraz L3 znajdujacy
sie na lewo od masy µ1. Wykorzystujac
te informacje mozemy rozwiazywac kolejno
pierwsze z równan 13.1 dla poszczególnych
przypadków
L1
L2
L3
10
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
W przypadku punktu L1 mamy Podstawiamy to do
równania 13.1a otrzymujemy a po
przeksztalceniu (13.2)
11
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Zdefiniujmy wtedy W przypadku malych r2
przyblizonym rozwiazaniem tego równania jest
r2a Po rozwinieciu równania 13.2 w szereg
otrzymujemy Aby otrzymac zaleznosc r2(a)
mozemy odwrócic powyzszy szereg wykorzystujac
metode podana przez Lagrangea (wyklad 8)
12
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Porównujac równania mozemy
napisac gdzie nowa funkcja f jest zdefiniowana
jako
13
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
W takim razie mamy pamietajac,
ze otrzymujemy ostatecznie
14
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
W przypadku punktu L2 mamy Podstawiamy to do
równania 13.1a otrzymujemy a po
przeksztalceniu
Postepujac podobnie jak w przypadku L1 dostajemy
15
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Dla L3 mamy Tym razem w równaniu 13.1a
podstawiamy za r2 a po przeksztalceniu Jes
li dokonamy podstawienia r11ß (czyli r22ß) to
otrzymamy
16
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Polozenia krzywych zerowej predkosci i punktów
osobliwych w przypadku stosunku mas µ20.2
17
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
Polozenia punktów osobliwych (µ20.2) w funkcji
wartosci stalej Jacobiego. Najmniejsza wartosc
CJ maja punkty L4 i L5 Dla czastki, której
CJltCJ4,5, nie ma obszarów wzbronionych Przyjmiem
y, ze punkty równowagi sa numerowane wedlug
malejacej wartosci stalej Jacobiego
18
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Polozenie punktów równowagi Lagrangea
W Ukladzie Slonecznym najwieksza wartosc µ2 ma
uklad Pluton-Charon, gdzie µ210-1, a dla ukladu
Ziemia-Ksiezyc µ210-2. Wszystkie inne uklady
planeta-ksiezyc i Slonce-planeta maja µ2 o co
najmniej rzad mniejsze, co sprawia, ze ksztalt
krzywych zerowej predkosci i polozenia punktów
równowagi badamy w przyblizeniu malych µ2 (na
rys. 0.01)
19
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Zalózmy, ze punkt równowagi ma wspólrzedne
(x0,y0). Rozpatrzymy male wychylenie (X,Y) z
polozenia równowagi takie, ze Podstawiamy do
równan ruchu i po rozwinieciu w szereg
Taylora dostajemy
20
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Pamietajac, ze n1 i oznaczajac stale wielkosci
jako mozemy przepisac otrzymane równania
jako (13.3) a nastepnie w
postaci macierzowej co pozwala zmienic
problem rozwiazania ukladu dwóch równan drugiego
rzedu w cztery uklad czterech równan rzedu
pierwszego
21
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Uklad równan ma teraz postac gdzie Jego
równanie charakterystyczne
22
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Otrzymane równanie charakterystyczne redukuje sie
do wielomianu Takie równanie latwo
przeksztalcic do równania kwadratowego i
wyznaczyc wszystkie cztery pierwiastki
23
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Mozemy napisac teraz ogólne rozwiazania (aj sa
stalymi) (13.4a) oraz (ßj sa
stalymi) (13.4b) Stale ßj sa zalezne od
aj poniewaz w ogólnym rozwiazaniu moga byc tylko
cztery stale. Zaleznosc miedzy nimi mozna
znalezc podstawiajac powyzsze równania do
dowolnego z równan 13.3. Otrzymamy wtedy
24
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Trywialne rozwiazanie tego równania pozwala
uzyskac zaleznosc pomiedzy stalymi Co
oznacza, ze jezeli w momencie czasu t0 znamy
warunki poczatkowe to mozemy wyznaczyc stale aj
(a wiec takze ßj) rozwiazujac uklad czterech
równan liniowych (13.5)
25
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
Pelne rozwiazanie jest dane równaniami 13.4, dla
których stale mozna wyznaczyc z równan 13.5.
Jednak aby zbadac stabilnosc punktów równowagi
wystarczy rozpatrzenie tylko wartosci
wlasnych. W tym celu zdefiniujemy nastepujace
wielkosci
26
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
W takim razie mamy Ogólnie wartosci wlasne
mozemy zapisac jako liczby zespolone
postaci gdzie j1,k1,j2,k2 sa liczbami
rzeczywistymi. Wartosci wlasne decyduja o
stabilnosci poniewaz ogólne rozwiazanie ukladu
zlinearyzowanego jest superpozycja wyrazów typu
27
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea
- dla j?0 co najmniej jeden czynnik w równaniach
13.4 bedzie rozbiezny i ruch jest niestabilny-
gdy j0 mamy rozwiazanie oscylujace (punkt
liniowo stabilny) Wynika stad, ze punkt
równowagi jest stabilny jezeli wszystkie wartosci
wlasne sa liczbami urojonymi. Badanie liniowej
stabilnosci wskazuje, ze - punkty L1, L2, L3 sa
liniowo niestabilne - punkty L4, L5 sa stabilne
dla szczególnych wartosci µ2, które mozna
wyznaczyc nastepujaco
28
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L4, L5)
Uzyskane wczesniej podstawiamy do równan
29
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L4, L5)
W efekcie dostajemy a wiec wartosci wlasne
beda liczbami urojonymi wtedy gdy Otrzymujemy
stad warunek stabilnosci (liniowej)
30
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L4, L5)
W przypadku stabilnosci liniowej punktów
trójkatnych sa dwa wyjatki dla µ20.0243 µ20.01
35 Dla takich wartosci punkty trójkatne sa
niestabilne pomimo, ze spelniony jest warunek
stabilnosci. Punkty wspólliniowe sa niestabilne,
ale tylko w przypadku liniowej analizy
stabilnosci. Okazuje sie, ze przy uwzglednieniu
wyrazów wyzszych rzedów mozemy otrzymac orbity
stabilne.
31
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L1)
http//sohowww.nascom.nasa.gov
32
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L1)
http//sohowww.nascom.nasa.gov
33
Ograniczone zagadnienie 3 cial
Stabilnosc punktów równowagi Lagrangea (L2)
WMAP
James Webb Space Telescope (JWST)