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1
Análise de Sobrevivência IM -
UFRJ Professor Dani Gamerman
2
1. CONCEITOS ESTATÍSTICOS EM SOBREVIVÊNCIA 1.1
Introdução Análise de Sobrevivência é o
estudo de indivíduos (itens observados) onde um
evento bem definido (falha) ocorre depois de
algum tempo (tempo de falha). Exemplos
(i) tempo de falha de equipamentos industriais
(engenharia) (ii) tempo de sobrevida de um
paciente (medicina) (iii) tempo de duração
do período de desemprego ou greve (economia)
Definindo algumas características (i) as
variáveis de resposta são não-negativas (ii)
principalmente univariados e contínuos (iii)
presença comum de censura Primeiramente, é
importante ter uma definição precisa de tempo de
falha. Isto requer especificações sobre ?
origem do tempo de falha ? unidade de medida
do tempo (calendários, tempo de operação,
milhagem, número de ciclos) ? falha (mais
fácil na medicina morte, não tão fácil na
engenharia).
3
Exemplo tempo de falha de um carro
Questões a serem feitas Quando começar a contar
o tempo? Como medir o tempo de falha? O que é
falha? Nós devemos estudar melhor todas
essas especificações. 1.2 Resultados em
Sobrevivência 1) Descritiva vs Inferência
Estatística Em algumas aplicações,
características descritivas simples como média
simples, função de sobrevivência e gráficos de
probabilidades são suficientes. Em outras
aplicações, intervalos de confiança ou taxa de
influência de determinadas variáveis são
exigidas. 2) Censura Um sistema pode falhar
mesmo antes que todos os itens tenham falhado em
um determinado tempo. Este fato tem determinadas
razões. Os itens são normalmente censurados
à direita. Mas podem ainda ser censurados à
esquerda ou podemos determinar um intervalo de
censura(mais difícil de analisar) 3) Paramétrico
ou Não-Paramétrico Ambos serão vistos no
curso. E ainda os Semi-Paramétricos serão
apresentados.
4
4) Amostras Simples vs Modelos de Regressão Se
os itens pertencem à mesma população (são
similares), então uma análise de amostras simples
deve ser utilizada. Se os itens não são da mesma
população e se suas diferenças podem ser contadas
(máquinas submetidas a pressões distintas), então
estas diferenças devem ser consideradas na
Análise. Variáveis para medir tais diferenças
(pressão) são denominadas variáveis explanatórias
ou covariáveis. Ambos serão vistos no
decorrer do curso. 5) Clássica vs Bayesiana
Ambas serão rapidamente revisadas e vistas neste
curso. Modelos Bayesianos tiveram no passado
a desvantagem de que sua Análise através de
Modelos de Regressão requeriam muito esforço
computacional . Isto, com o tempo, foi se
tornando cada vez menos importante. Métodos
bayesianos são importantes em estudos de
sobrevivência porque freqüentemente temos
informações de experiências anteriores que podem
usualmente serem combinadas com os dados e
incorporadas à análise.
5
1.3 Sistema Reparáveis e Não-Reparáveis
Outra importante definição, embora somente depois
será vista neste curso. Considere o
experimento com um sistema reparável e os
seguintes tempos de falha cumulativos 203, 286,
481, 873, 1177, 1438, 1852, 2091, 2295, 2632.
Vejamos alguns itens interessantes sobre se a
taxa de falha aumenta ou diminui com o tempo.
Se o sistema é tomado como não reparável, então o
tempo entre falhas é considerado. Um exemplo
de análise simples na Figura 1.1 indica o aumento
da taxa de falha. Conforme o tempo passa, é
mais provável que uma máquina deste tipo venha a
falhar. Para sistemas reparáveis o exemplo
da análise simples na Figura 1.2 indica taxa de
falha constante em relação ao tempo. Se os
tempos entre falhas são ordenados e o sistema é
reparável, a Figura 1.3 indica que a taxa de
falha é decrescente. Sistemas reparáveis com
processo de tempo de falha ideais não serão
vistos neste curso.
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8
1.4 Componentes e Sistemas Reparáveis Neste
curso, trataremos de componentes reparáveis sem
referência aos sistemas que podem conter tais
componentes. Porém, é importante afirmar que
Sistemas Reparáveis também são uma importante
área de estudo. Os sistemas mais simples
são ? Sistemas em Série o sistema só
funciona se todas as componentes funcionarem.
? Sistemas Paralelos o sistema só falha se todas
as componentes falharem ? Sistemas k out of n
o sistema só funciona se pelo menos k das n
componentes funcionarem(se k1? paralelo e se kn
? série). Esses sistemas formam grande
parte dos grupos de sistemas chamados Sistemas
Coerentes. Para entender o conceito de
sistemas coerentes é útil definir o indicador de
funcionamento xi para a componente i e a função
de estrutura das n componentes do sistema

1, se o sistema funciona.
?(x1,x2,...,xn)
0, caso contrário.
9
Sistemas coerentes têm função de estrutura
que satisfaz (i) ?(1,1,..., 1)1 (ii)
?(0, 0,..., 0)0 (iii) ? é não-decrescente
nesses argumentos. Outros sistemas são
? Sistemas multi-estados onde as componentes
podem estar em vários estados (não só funcionando
ou falhando) ? Sistemas load-sharing onde a
carga do sistema é distribuída entre as
componentes que funcionam. 1.5 Distribuições
Binomial e Hipergeométrica Análises
estatísticas simples são obtidas se os tempos de
falha são dicotomizados ? funcionar até
certo tempo (digamos tempo de falha)
defeituoso. ? funcionar além deste tempo
não-defeituoso. Distribuições Binomial e
Geométrica são para um número X de itens
defeituosos em uma amostra de tamanho n e
probabilidade p do item ser defeituoso. Se
uma amostra com reposição (ou que não seja de uma
população muito grande), a distribuição Binomial
é obtida como
10
P(Xk) n pk(1-p)n-k onde 0? k? n
k E(X)np
e Var(X)np(1-p) Quando p é
desconhecido, podemos estimá-lo como P
X/n e Var(X) np(1-p) Para n
grande, np?5 e n(1-p)?5, a Binomial é aproximada
pela distribuição Normal com momentos conforme os
descritos anteriormente. Para uma
aproximação ao nível de significância 100(1-?),
o intervalo de confiança para p é dado por
(X/n - z?/2 (X(n-X)/n3)1/2, X/n z?/2
(X(n-X)/n3)1/2) onde z?/2 é o quartil(1-?/2) da
distribuição N(0,1). Outra aproximação para n
grande e ?np (p pequeno) é a distribuição de
Poisson com média ?. Equivalentemente
testando a independência e constância de p.
Se as amostras são sem reposição e de uma
população finita, a distribuição Hipergeométrica
é obtida como n
N-n P(Xk) k K-k
k0,1,..,K N
K
11
onde N é o tamanho da população e K é a população
de itens defeituosos. E(X)np e
Var(X)np(1-p)N-n para pK/N
N-1 1.6 Processos
de Poisson Usado particularmente para
sistemas reparáveis. Assume-se primeiramente
que é observada uma série de ocorrências em
linha. (As ocorrências devem ser falhas
sucessivas do sistema e a linha representa o
tempo real). Assume-se que (i) as falhas
ocorrem em intervalos disjuntos e independentes
(ii) ocorrência falha (iii) a taxa de
falha é uma constante ?. Então se X é o número
de falhas num intervalo de tamanho s, X tem
distribuição de Poisson com média ?s. Também,
os tempos entre falhas são independentes e
exponencialmente distribuídos com MTFB ?-1.
Isto indica que a exponencial com linha base
(solo) é a distribuição para o tempo de falha.
Isto pode ser generalizado para permitir taxas
de falha não constantes. ? Processo de
Poisson não-homogêneo.
12
2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.1 Introdução
Em muitas áreas de aplicação da
estatística, o ponto inicial para avaliação da
variável de interesse é a distribuição Normal.
Isto pode resultar de uma consideração pragmática
pura ou da argumentação baseada no Teoria do
Limite central, que diz que se uma variável
aleatória é a soma de um grande número de
pequenos efeitos , então a distribuição é
aproximadamente Normal. No contexto de
sobrevivência, o caso da normalidade é muito
menos usado. Para que possamos entender, tempos
de vida e resistência são quantidades positivas.
Do ponto de vista do modelo, é natural começar a
pensar no processo de Poisson, idéias já
discutidas na sessão 1.6, baseado na distribuição
Exponencial. Contudo esta distribuição tem uma
limitada aplicabilidade na prática,
generalizações da Exponencial como a Gamma e a
Weibull já provarão ter maior valor prático em
modelos de sobrevivência. Estas e outras
distribuições de probabilidade comumente
encontradas em estudos de sobrevivência são
discutidas nas sessões 2.3 à 2.7. Outros
aspectos centrais da discussão sobre análise de
sobrevivência são as funções de sobrevivência e
de risco, e a natural ocorrência de dados
censurados. Estes assuntos são discutidos nas
sessões 2.2 e 2.8.
13
Finalmente neste capítulo colocamos os
resultados probabilísticos em contexto de análise
de dados. Contudo métodos gerais para ajustar
distribuições de probabilidades são desenvolvidos
no Capítulo 3, algumas técnicas básicas são
apresentadas na sessão 2.9 à 2.11. 2.2
Conceitos Iniciais para a Distribuição de
Sobrevivência Chamaremos de T a variável
aleatória que representará o tempo de falha
dentro do nosso estudo. Aqui a noção de tempo é
usada de maneira genérica. Ele pode ser realmente
tempo ou qualquer outra variável não negativa,
desde que haja um número qualquer de falhas ou
quebras associado a variável. Denotamos sendo a
distribuição de T e denotamos sendo a
Função de Sobrevivência de T. Note que alguns
autores definem F(t) e S(t) por Pr(Tltt) e
Pr(Tgtt) respectivamente. Na prática isto não faz
diferença para os resultados que se seguem quando
T é uma variável continua, este caso será
considerado a partir de agora. Nós iremos assumir
que T tem a função de densidade
14
tal que a probabilidade da unidade falhar
em um curto espaço de tempo t , t?t) é
Considere a probalidade condicional do item
falhar naquele instante t , t?t) e não ter
falhado até o tempo t Podemos pensar como
a probabilidade do item iminentemente falhar em
t. A função h(t) é dada por esta é a função
de risco, de taxa de falha, ou hazard e é um
indicador natural da propensão a falha após uma
unidade de tempo ter transcorrido. A função de
taxa de falha acumulada é dada por e
concluímos que
2.1
15

• Note que f, F, S, h e H são funções tais que
  o conhecimento de uma delas nos permite o cálculo
  de todas as outras.
• Alguns casos típicos são discutidos aqui
• Se h(t)? é constante então H(t) ?t e
  S(t)exp(-?t ) é a distribuição de sobrevivência
  exponencial com parâmetro ?. A densidade
  correspondente é f(t)? exp(-?t).
• Se h(t) é uma função crescente de t , então T é
  dito ter uma taxa de falha crescente (IFR). Isto
  á apropriado quando a unidade medida tem relação
  com fadiga ou danos cumulativos.
• Se h(t) é uma função decrescente de t, então T é
  dito ter um taxa de falha decrescente (DFR). Isto
  pode ocorrer, por exemplo, quando o processo
  diminui a quantidade produzida ao longo do tempo
  diminuindo o risco de falha. Isto é comum em
  alguns ambientes de produção de componentes
  eletrônicos.
• Outro caso comum mencionado é o bat-tub
  harzard onde a função de taxa de falha é
  decrescente inicialmente e depois torna-se
  crescente. Isto costuma acontecer em linha de
  produção onde os componentes iniciais tem uma
  qualidade melhor que os finais provocando este
  tipo de oscilação na taxa de falha.

16
2.3 A Distribuição Exponencial Como
mencionado na sessão 1.6, a distribuição
exponencial é o ponto natural de início para uma
distribuição de sobrevivência. Relembrando temos
que a Distribuição de Sobrevivência, hazard e
função de densidade tem a seguinte
forma onde ? é um parâmetro positivo,
freqüentemente chamado de taxa, e onde tgt0. Note
também que a distribuição exponencial tem média
1/ ? e variância 1/ ?2. A forma da densidade é a
mesma para todos os ?, e 1/ ? age como um
parâmetro de escala. Então, por exemplo, se o
tempo de sobrevivência, T, de um certo tipo de
componente é medido em minutos e ele é
distribuído exponencialmente com taxa igual ?,
então TT/60 medido em horas é distribuído
exponencialmente com taxa 60 ?. Uma outra
formulação comum é termos a parametrização ? 1/?
no lugar de ?. A Figura 2.1 mostra duas
densidades da distribuição exponencial com
diferentes taxas.
2.2
17
As funções hazard
correspondentes são apresentadas na Figura 2.2.
Nós iremos mostrar que a Distribuição Exponencial
é um caso especial das Famílias de Distribuições
Weibull e Gamma.
18
2.4 Distribuições Weibull e
Gumbel Uma variável aleatória Weibull (W.
Weibull (1939,1951)) possui a seguinte função de
sobrevivência para tgt0 e onde ? e ? são
parâmetros positivos, sendo ? um parâmetro de
escala e ? um parâmetro de forma. Note que quando
?1, obtemos uma Distribuição Exponencial com
parâmetro ?1/ ?.
2.3
19
A função de falha (hazard) da Weibull é
Então temos DFR para ?lt1, constante para ?1
e IFR para ?gt1. Em particular, para 1lt?lt2 a
função de falha se aproxima de uma função linear
e para ?2 a função é linear para ?gt2 a função
cresce rapidamente acima de uma função linear. A
função de taxa de falha (hazard) da Weibull para
diferentes valores dos parâmetros é mostrada na
Figura 2.3. A função de densidade da Weibull
é

para t gt 0.
2.4
20
A média e a variância
são dadas por
2.5
21
veja , por exemplo, Abramowitz and Stegun (1972,
CAPITULO 6). Um programa em fortran para calcular
a equação 2.5 é dado em Griffiths and Hill (1985,
pp. 243-6), que é baseado em um programa anterior
de Pike e Hill (1966). Quando ? é grande (gt5), a
média e a variância são aproximadamente ? e
1.64?2/ ? respectivamente. A forma da densidade
depende de ?. Na Figura 2.4 são mostradas
algumas funções de densidade da Weibull para
diferentes valores de ?.
22
A Distribuição Weibull é provavelmente a mais
utilizada das distribuições em análise de
sobrevivência. Uma possível explicação para isto
se deve ao seu comportamento nos extremos da
distribuição, à possibilidade de variarmos o seu
formato e em particular a possibilidade de
utilizá-la como uma generalização da
Exponencial. A Distribuição de Gumbel tem a
seguinte função de sobrevivência para
, onde ? é o parâmetro de locação e ? é
o parâmetro de escala. Esta distribuição também
começa com limite de distribuição mínimo, veja
Galambos (1978), e tem uma taxa de falha
exponencial crescente. Em alguns casos permite
valores negativos com probabilidades positivas.
Mais comumente a distribuição de Gumbel é gerada
através de Log(t) quando T tem uma distribuição
Weibull. A relação entre os parâmetros da Gumbel
e da Weibull é a seguinte A função de
densidade da Gumbel é a seguinte
2.6
23
para , e tem a mesma forma para todos os
parâmetros. Note que a média e a variância
da Gumbel são ? -?? e (?2/6)?2, respectivamente,
onde ?0.5772 é a constante de Euler, e a
distribuição é negativamente inclinada. A
densidade e a taxa de falha (harzard) para a
distribuição de Gumbel com ?0 e ?1 é mostrada
nas Figuras 2.5 e 2.6 respectivamente.

24
2.5 Distribuições Normal e Lognormal A
distribuição Normal é a distribuição mais
comumente utilizada em Estatística. Em
confiabilidade é geralmente usada como um
modelo para log T. A função de densidade da
distribuição lognormal é descrita pela equação
abaixo As funções de Sobrevivência
e de Risco podem ser escritas somente em
termos de integrais. Algumas densidades e
funções de risco são plotadas na figura 2.9 e
2.10. A função de Risco é crescente para
valores de t próximos de zero e eventualmente
decrescente quando .
25

26
2.6 Distribuições Gama e Gama Generalizada A
distribuição Gama é descrita pela equação
abaixo Densidades são positivas
(ver figura 2.11) mas tendem para normal quando
é grande. As funções de Sobrevivência e risco
podem ser escritas somente em termos de
integrais. A função de risco é
decrescente para , constante para
(exponencial) e crescente para (ver figura
2.12). A Gama é obtida como a distribuição
do ?-ésimo tempo de falha em um processo de
Poisson .
27

28
A distribuição gama generalizada
é descrita pela equação abaixo A
distribuição gama generalizada inclui os
seguintes casos especiais
29
2.7 Distribuição Exponencial por Partes
Uma generalização da distribuição exponencial
Temos abaixo a função de Risco
Vantagem Pode-se aproximar qualquer função de
Risco desejada. Desvantagem Grande número
de parâmetros (não-paramétrica)
30
2.8 Censura Observações incompletas
freqüentemente ocorrem nos estudos de
sobrevivência e confiabilidade. Nos testes
de confiabilidade é comum aguardar até todos os
itens falharem. Nos estudos de
sobrevivência, pacientes abandonam o tratamento
ou continuam vivos depois do final dos estudos.
Isso resulta em algumas observações incompletas,
ditas censuradas. Tipos comuns de censura a
direita Tipo I Observações são acompanhadas
até um tempo c fixado inicialmente. Tipo II
Observações são acompanhadas até obter-se um
número pré-determinado de falhas. Tipo
III Aleatória à direita Associado aos tempos de
falha existem onde observa-se
apenas e onde é o tempo de falha
observado, e independentes
31
2.9 Métodos dos Momentos para Dados Simples Sem
Censura   Métodos informais (métodos formais
serão apresentados no próximo capítulo)
Baseado nos momentos e estimativas simples
Suponha que t1,...,tn sejam tempos de falha
observados.   Exemplo 2.1 T número de
milhões de revoluções de rolimã até a
falha.   Dados 17.88, 28.92, 33.00, 41.52,
42.12, 45.60, 48.40, 51.84, 51.96, 54.12, 55.56,
67.80, 68.64, 68.64, 68.88, 84.12, 93.12, 98.64,
105.12, 105.84, 127.92, 128.04, 173.40 (ordenados
por conveniência)   Média amostral 72.22 e
desvio padrão amostral (s.d.) st 37.49 Recai
segundo 2.3 que a média e o s.d. coincidem no
modelo exponencial. Neste caso, /st se aproxima
de 2, logo o modelo exponencial não é
apropriado. Para ajustar Weibull e lognormal, é
mais fácil trabalhar com xi log ti. Novamente,
média amostral 4.150 e s.d. amostral sx
0.534.
32
Estes cálculos valem para a média µ ?s e
s.d. ps/v6 da Gumbel, trazendo assim os momentos
estimados 0.416 e 4.390. Em
termos dos parâmetros da Weibull, temos
exp( ) 80.64 e 1/ 2.40,
diferente do 1. De forma similar, os
parâmetros estimados da lognormal são 4.150
e 0.534. Outra aproximação é
baseada na função de sobrevivência empírica
dada por   é um estimador não
paramétrico de S(t) n possui
distribuição binomial com média S(t) e , segundo
1.15, um IC a 100(1-a) para S(t) dado por
De forma similar, a função de taxa de falha
acumulada empírica é dada por Onde o s.d. é
dado por
33

• Os gráficos destas funções empíricas podem
  ser usados para checar a adequação das hipóteses
  dos parâmetros.
• Assuma os tempos ordenados t(1) lt ... lt t(n)
  .
•  
• Salto de 1 / n tempo t(i).
• Realocado por 1- (i 0.5) / n . (Outra forma
  possível) Modelo Weibull S(t) exp - (t / a)?
• Log S(t) - (t / a)? ? log-log S(t) ? log
  t ? log a
• Se o modelo Weibull é apropriado, então o
  gráfico de
• é
  aproximadamente uma linha reta.
• Inicialmente os parâmetros estimados serão
  obtidos a partir de
• -? log a intercepto
• ? coeficiente angular
• Modelo lognormal
  ,? função de distribuição de N(0,1).
• Se o modelo lognormal for apropriado, então
  o gráfico de (log t(i), ?-1(i-0.5)/n) será uma
  linha reta.

34
Inicialmente os parâmetros estimados serão
dados por -µ / s intercepto
1 / s coeficiente angular Estes
gráficos são dados nas figuras 2.13 e 2.14 do
exemplo 2.1. Inicialmente os parâmetros estimados
são (entre parênteses por momentos)
Weibull ? 2.3(2.4) e a 77.3(80.6)
Lognormal µ 4.2(4.15) e s 0.56(0.53)
Diferentemente do baseado pelo método dos
momentos, o gráfico das probabilidades pode ser
usado com censura. Eles são definidos por t
lt t (r ), para r tempos de falha (não
censurados). 2.10 Estimador do Produto-Limite
O estimador do produto-limite (PL) ou de
Kaplan-Meyer é um estimador não paramétrico da
função de sobrevivência. Ele coincide com a
função empírica de sobrevivência quando não há
censura.
35
a1 lt ... lt ak k tempos de falha distintos (a0
0) d1, ...dk número de falhas em cada tempo de
falha (d00) n1 lt ... lt nk número de itens em
risco em cada tempo de falha (nk 0) O
estimador do PL é Esta é uma função
escada começando do 1 para t 0 e alterando-se a
cada ak. É como se a distribuição de falhas
se concentrasse nos pontos a1, ... , ak. De
acordo com a teoria assintótica , média e
variância de são dados por
S(t) e H(t) pode ser estimado
de forma similar por De forma mais simples
e intuitiva, podemos estimar H(t) usando
que é relacionado ao estimador
. Pode-se utilizar análise
gráfica do estimador do PL para avaliação da
adequação de modelos Weibul e log-normal.
36

• Exemplo 2.3 Resistência de corda a uma
  certa tensão (em unidades codificadas).
• Principais interesses
• Qual a confiabilidade de uma corda após 53
  unidades de tensão ?
• O modelo de distribuição Weibull é apropriado ?
• Da tabela 2.2 ,
• e
• Um IC de 95 para S(53) é dado por
• (0.6849-1.69x0.0725, 0.68491.69x0.0725)(0.54,0.8
  3)
• Fora 3 pontos isolados a figura 2.17 parece
  com uma linha reta.
• Investigação similar com modelo lognormal
  apresenta os mesmos resultados.

37

38
3. MÉTODOS ESTATÍSTICOS PARA AMOSTRAS SIMPLES
3.1 Introdução Final do último capítulo
métodos estatísticos simples. Este capítulo
métodos mais formais, máxima verossimilhança,
inferência bayesiana dinâmica. 3.2 Estimação por
Máxima Verossimilhança Generalidades
Suponha uma amostra de tempos de vidas
de uma certa população. Todos os
possuem densidade , onde Caso
as observações não sejam censuradas então, a
função de verossimilhança é para observações
censuradas (a direita) A contribuição para
a verossimilhança é a probabilidade de
sobrevivência após o tempo de censura.
Separando os dados em conjuntos disjuntos C -
itens censurados e U - para itens não
censurados.
39
Para outras formas de censura existem outras
expressões. É mais conveniente trabalhar
com Estimativa da máxima verossimilhança
(EMV) de Normalmente são obtidos
resolvendo Assumindo que q(p?) como o
quantil 1-p de T, ou seja, Pr(T q(p?)
S(q(p?)) p
40

• J é a informação observada da matriz
• Em particular,
• O EMV possui muitas vantagens sobre todos os
  outros métodos clássicos de estimação
• Ele é universal
• Ele é invariante
• Ele possui boas propriedades assintóticas
• Consistência, normalidade assintótica e
  eficiência
• Distribuição assintótica é facilmente
  encontrada.
• 3.3 Máxima Verossimilhança (MV) estimação
  ilustrações

41

42

43
Figura 3.1 Log-Verossimilhança
para o tempo de vida de um componente de um avião
com distribuição Exponencial. A reta no gráfico
foi feita para mostrar o intervalo de confiança
95 para lambda, baseado em W. Note
a grande diferença na calda
44
3.4 Intervalos de Confianças e Testes q
(q1,...,qn) está divida dentro (q(A), q(B)) das
dimensões ma e mb. Nós interessa testar a
Hipótese H q(A) q0(A) ( , ) é
um EMV de (q(A),q(B)) (A0) é um EMV de q(B)
de H. Estão disponíveis dois procedimentos
1)   Onde temos para H , que W(q0(A)) 2i
( , ) - iq0(A), (A0) c2(
ma), é aproximadamente. Grandes valores de W
Þ grandes diferenças em comum com log máxima
verossimilhança Þ grande suporte contra H. O
teste da relação da MV rejeita H se W(q0(A)) gt
ca2( (ma)onde ca2( (ma) é 1 - a quantil de
ca2(ma). As regiões de confiança para
são dadas por W(q(A),ca2( ma)
2) Seja VA a variância assintótica de .
EntãoW( ) ( - q0(A))TVA-1(
- q0(A)), distribuição aproximada c2( ma) de H.
As regiões de confianças e os testes são
obtidos a partir das informações acima com W
substituindo W.
45
Em particular, para ?(A) escalar, a região
de confiança torna-se - z a/2 VA ½,
z a/2 VA ½ ( um intervalo) onde é usado
o fato de c2( 1) N(0,1). Embora W e W
sejam assintoticamente equivalentes e geralmente
similares, preferimos W pela re-parametrização
acima e por ser invariante. Exemplo 3.1
(cont.) Temos o modelo exponencial, onde ?(A)
l, ma 1 é W(l ) 2- 18.35 - 10log l
23.05l O intervalo de confiança (IC 95)
baseado em W é dado por lW(l)
3.84.22,.76 e como 3.84 c0.52(1). (Figura
3.1) Então o intervalo de confiança (IC
95) baseado em Wé .434 1.96 x .137,
.4341.96 x .137 0.17,0.70(simétrico) O
intervalo de confiança (IC95) é dado por
0.21,0.74 baseado em 2rl/ c2(2r).
Exemplo 3.2 (cont.) Desejamos testar a hipótese
H de exponencialidade. Usando o modelo
Gumbel temos q(A) s, q(B) m, ma 1 e H é s
1 W(1) 49.56 gtgt 3.84 Þ H0 rejeitado.
Logo, W(1) 15.50 confirma a rejeição de H
como esperado.
46
O Exemplo 3.2 considera a hipótese de
recursividade onde a Exponencial é um caso
especial da Gumbel. São mais difíceis de
considerar a hipótese de não recursividade para
o tratamento clássico estatístico. 3.5
Bondade do Ajuste Enfoque formal Encaixar
o modelo dentro de uma classe de modelos (
Exemplo 3.2) ou usar a forma excelente.  
Técnicas Gráficas Plote o gráfico de QQ
Seja m e s, parâmetros de locação e escala,
(onde é estimador do PL) e F0 é a função de
distribuição para m 0 e s 1. O plote dos
pontos aj , F0 -1(pj) deveria ser linear.
Plote PP junte os pontos (pj , F( aj , )).
(esta linha deveria ser y x) Pode ser
usado fora do modelo de locação de escala.
Plote SP Para estabilizar a variabilidade de PP,
plote a transformação y (2/p)sin-1x em ambos
os eixos. As figuras 3.2 e 3.3 mostra os
dados do exemplo 2.3 plotado em PP e SP.
47

48
3.6 Elementos de Estatística Bayesiana
Incorpora informação subjetiva sobre o problema
(experiência anterior). É feita através da
especificação de uma distribuição a priori P(q).
Informação a priori vaga a análise é guiada
pela informação dos dados. Assuma, como
antes, uma amostra t ( t1, ?, tn ) com
densidade f (t q). Isto é combinado com a
priori e leva a

Fórmula de Bayes Válido para q e t discreto
e contínuo. P(q t) é a densidade a
posteriori (dado os dados t). Como t é
constante, A fórmula de Bayes pode ser
simplificada em A constante removida P(t)
pode ser recuperada por Estimativas a
posteriori para q são obtidas através de medidas
de locação de P(q t). Exemplo Considere
os dados do exemplo 2.2 com modelo exponencial
49

• É conveniente atribuir a priori
  (distribuição gama).
• Combinada com a verossimilhança de forma
  simples (priori conjugada).
• Para especificar os valores de a e b assuma
  que acredita-se que l está próximo de 0.5 e que é
  pouco provável que ele seja menor que 0.2.
• Então, tome a moda da priori igual a 0.5 e
  P(l lt 0.2) ? 0.05
• a 3 e b 4.
• A posteriori é l t Gamma (13, 27.05)
  com moda 0.444 e média 0.481 (figura 6.1).
• O desvio padrão a posteriori (priori) é
  0.133 (0.175).

50
Regiões de confiança são facilmente obtidas
da posteriori. Particularmente úteis são as
regiões de maior densidade a posteriori (HPD).
Por exemplo, o intervalo HPD de 95 para todo l
é 0.231, 0.758. Interpretação da região
HPD é simples diferentemente das regiões de
confiança clássicas. Inferência sobre
funções paramétricas são obtidas de maneira
similar. Assuma interesse na confiabilidade
em um certo tempo t0 . Para o modelo
exponencial isto é S ( t0 l) e-lt0, uma
função de l. A posteriori completa de S ( t0
l) pode ser obtida. Como exemplo, 0.01
Pr (l lt 0.225 t) Pr (S ( t0 l) gt e-0.225 t0
t) ? a probabilidade a posteriori de que S (t0
l) exceda e-0.225 t0 é 0.01. Predição
assuma que se está interessado no tempo de vida S
de um novo item. Inferência deve ser baseada
na distribuição de S ( t1, ... ,tn ). (S
independente de t dado l) Por exemplo, a
densidade do tempo de vida de um novo item é
51
(a constante de proporcionalidade é
0.481). Informação a priori vaga é
usualmente representada por adequados valores
pequenos dos parâmetros da priori conjugada.
No exemplo, pequenos valores de a e b, como 0.5.
O intervalo de 95 de confiança a priori é
0.001, 5.024. (muito grande) A posteriori
é Gama (10.5, 23.55) com média 0.446 e desvio
padrão 0.138. O limite de uma distribuição a
priori vaga é uma priori não informativa. No
exemplo, isso é obtido fazendo a, b ? 0 gt p(l)
?l-1 (priori imprópria). A posteriori é Gama
(10, 23.05) com média 0.434 e desvio padrão
0.137. (similar aos resultados da inferência por
máxima verossimilhança). A priori não
informativa é um meio para obtenção da posteriori
na ausência de informação a priori.
52
3.7 Outros Tópicos em Inferência Bayesiana (6.4
do livro texto) Especificação de
prioris Não é necessário que a especificação
seja muito precisa. Próxima seção análise
Bayesiana com especificação a priori parcial.
Verificação de inconsistências análise
pré-posteriori. Análise conjugada é conveniente
mas nem sempre apropriada. Prioris não
informativas devem ser usadas com cuidado pode
levar a absurdos. Parâmetros de
distúrbio Suponha que os parâmetros são
divididos em (y, f) onde y é de interesse f é
somente necessário (distúrbio) e pode ser
eliminado facilmente via Densidade
marginal Exemplo tempos de falha Weibull
com S(t) e-ltg A verossimilhança é
com
53
Assuma que a priori é Integrando com
relação a l temos Entre chaves p(t g) -
verossimilhança marginal (ou integrada) de g.
Fator de Bayes Considere um teste
Bayesiano de uma dada hipótese H. Se H é uma
região então Pr(H t) reflete a crença em H a
posteriori. Para o exemplo em 3.6 e H l lt
0.25, temos Pr(H t) Pr( l lt 0.25 t) 0.2
gt H é rejeitada Similarmente, pode-se usar
a razão de chances a posteriori dada por A
primeira razão do lado direito é a razão de
chances a priori e o segunda é o fator de Bayes.
Isso representa a razão relativa de
verossimilhanças entre as duas hipóteses H e
. Maiores valores do fator de Bayes ? maior
apoio dos dados em H. O fator de Bayes é
útil quando deseja-se testar hipóteses nulas
bilaterais H q q0
54
Note que Pr(H t) será sempre 0. Há
alguma controvérsia a respeito de quão adequado
é testar hipóteses nulas bilaterais. No
exemplo, o fator de Bayes para H l 0.25 é
0.81 ? a crença no valor 0.25 é reduzida pelos
dados. 3.8 Modelos Bayesianos Dinâmicos  
Baseado em uma distribuição exponencial
por partes para os tempos de falência com
suposição explícita de conexão entre intervalos.
Distribuição E. P. (Exponencial por Partes)
o risco é constante nos intervalos. É
geralmente razoável assumir funções de risco
contínuas ? algumas conexão entre valores de
risco em intervalos sucessivos. Forma
matemática adotada para simplicidade passeio
aleatório na escala log   wi - termo de
perturbação permitindo o aumento da incerteza
como um movimento direto do intervalo.
Conseqüências deste modelo (1) Preserva a
posição (2) Aumento da incerteza  
55
Um artifício útil para determinar valores para
Wis fatores de desconto controlam a quantidade
de informação (medida de precisão) passando
direto dos intervalos. Fator de desconto é
um número entre 0 e 1(geralmente fechado para
1). 1) se o desconto é fechado para 0
nenhuma informação passa direto do intervalo.
Estimação M.V. (máxima verossimilhança) com
distribuição E.P. (exponencial por partes),
estimador P.L. (produto-limite ou Kaplan Meyer).
2) se o desconto é 1 toda informação
passa direto do intervalo Parâmetros são
os mesmos ? tempo de falência exponencial.
Função de verossimilhança De 2.7, a
verossimilhança para um dado indivíduo é     onde
Xi é o indicador da falência no intervalo Ii
bi é o tempo observado em Ii, para este
indivíduo. Para uma amostra de tamanho n, a
verossimilhança é    
56
onde   onde di é o número de indivíduos
observados até a falha em Ii ai é o
tempo total observado em Ii para a amostra
Li é a verossimilhança para ?i baseado nos
eventos observados em Ii dado Di-1, a informação
do intervalo anterior (ver final de 2.7). De
fato, o produto das verossimilhanças vai de i 1
a i N onde N é o indexador do último intervalo
com tempo de falência observado (censurado ou não
censurado). Análise Seqüencial e
Distribuições a Priori   Assuma que A
Priori assumida para Conseqüentemente  

aumento da
incerteza   Atualização da distribuição de ?i
feita direta da fórmula de Bayes.  
57
e
(análise conjugada) As
análises procedem do aumento de i para i1 como
antes dito. Inicia em i 0 indo para i N,
o último intervalo com informação de dados. ci
controla a suavidade da função risco ci ? 0 sem
passagem de informação ci 0 passagem total de
informação Especificação dos cis
Dado que Usando o método Delta     Da
relação entre sucessivos ?s     Usando
novamente o método Delta dado
58
De onde um obtém Geralmente, Wi é
selecionado proporcional ao tamanho de Ii.
Quanto maior o intervalo, mais informação é
perdida. A proporcionalidade constante é W,
a variância da perturbação supera uma unidade de
tempo. Fatores de desconto são associados
diretamente com W tem que ser especificado só a
primeira vez para um modelo dado.
Inferência   Inferência é baseada na
distribuição predita de um novo tempo de falência
S baseado em DN, o (total) de informação do dado.
Interesse particular sobrevivência predita
e
risco predito Estes são obtidos após a
integração fora dos ?s com respeito a sua
distribuição suavizada (ou filtrada) Estas
distribuições são obtidas via um algoritmo
recursivo. Modelo de Seleção  Um
modelo é especificado pela escolha de 1)  
Priori para 2)   fator de desconto 3)   grade de
intervalos
59
Modelos M1 e M2 podem ser comparados via seus
fatores de Bayes Cada verossimilhança
marginal é obtida após a integração fora dos
parâmetros como segue            
facilmente obtido.

60

61

62
3.9 O Estimador Atuarial Utilizado em
tabelas de mortalidade onde muitas vezes dados
estão agrupados. Assume-se que a distribuição é
contínua e divide-se o tempo em intervalos
geralmente iguais onde a taxa de falha é
constante.   Ex Em tabela de mortalidade,
divide-se tempo (tempo de vida de população) em
intervalos 0 1, 1 5 (ou 0 5), 5 10, 10
15, ... anos. Raramente faz-se divisão ano a
ano.   Suponha que a população tem n
indivíduos morrendo em um ano com idades y1, ...,
yn. (Não há censura)   Se o indivíduo morre
no intervalo i , sua contribuição à
verossimilhança é A verossimilhança total
é dada pelo produto das contribuições
individuais
63

? verossimilhança fatora em i
onde di de mortes no intervalo
i indivíduo k morre antes do intervalo
i)    (indivíduo k morre no intervalo
i)   (indivíduo k morre depois do intervalo
i) é o tempo total em risco no
intervalo i Por analogia, na estimação do
modelo exponencial, o EMV de ?i é Se
todos os indivíduos morrem no final dos
intervalos,
64
onde ri de indivíduos observados no intervalo
i.   Se também há censura, fórmulas não se
alteram (apenas ri será diferente).   Vamos
supor agora que a censura também está sujeita a
um mecanismo   Aleatório cuja taxa é
constante ao longo dos mesmos intervalos
 Independente do mecanismo de falha
(mortalidade)   Inferência acima não é
alterada pela independência.   Normalmente, em
tabelas de mortalidade, dados são fornecidos em
forma grupada, isto é, só são fornecidos
di de mortes no intervalo i mi de
censuras no intervalo i   Temos 3 grupos de
indivíduos em cada intervalo i) ri di mi -
sobrevivem ao intervalo i ii) di -
morrem no intervalo i iii) mi - são
censurados no intervalo i Vamos supor que
taxa de censura é ?i no intervalo i
65
Já vimos que verossimilhança fatora em
verossimilhanças condicionais à história
passada.   A contribuição dada à
verossimilhança do intervalo i de cada um dos 3
grupos acima dada sobrevivência até o início do
intervalo é dada por (i) Pr (Y gt ti , C gt ti
Y gt ti-1 , C gt ti-1) (ii) Pr (Y ? ti , C gt Y
Y gt ti-1 , C gt ti-1) (iii) Pr (Y gt C , C ? ti
Y gt ti-1 , C gt ti-1) falha
(iii) (i) ti (ii)
ti-1 censura
ti De fundo bi ti ti-1
temos   (i) Pr(Ygtti Ygtti-1).Pr(Cgtti Cgtti-1)
exp-bi?iexp-bi?i  
exp-bi(?i?i)
66
(ii)
(iii)
, por analogia a (ii)
Logo, a verossimilhança do intervalo i é dada por
Nenhum outro fator de verossimilhança depende de
?i e ?i EMV de ?i e ?i podem ser obtidos a partir
da verossimilhança acima dando e

67
Normalmente, é pequeno
Fazendo aproximação
temos Equivale a assumir que
mortes e censuras se distribuem uniformemente nos
intervalos. A probabilidade de sobrevivência a
um intervalo é
e pode ser estimada por No
caso específico de uma tabela de mortalidade, n é
bastante grande e a única informação é d1, d2,
..., ou seja, número de mortos em cada
intervalo. Podemos calcular ri pois
, mas xik não são fornecidos.
Os problemáticos são os indivíduos que morrem (ou
são censurados) no intervalo. Suposição
Dada a massa de indivíduos, é razoável supor que
indivíduos morrem (ou são censurados)
aleatoriamente no intervalo.
68
Logo, para esses indivíduos é
tomada como
se não há
censura Como ri ri1 di temos onde Di
indivíduos que morrem no intervalo i
Si indivíduos que morrem após intervalo
i A suposição acima é razoável da
é falha apenas no intervalo 0-1 ano onde a
tendência à falha é nitidamente maior perto de 0.
69
Logo, ?i é usualmente estimada por
A probabilidade de
sobrevivência a um intervalo é e pode ser
estimada por Muitas vezes é pequeno.
Fazendo a expansão de Taylor em torno de 0,
obtemos que é
denotado por ou e substituindo esses
valores em temos o estimador atuarial
Observe que o estimador atuarial difere do
estimador PL pela troca de ri por quanto t ti ,
i 1, 2, ... Nos outros pontos ele é
contínuo e o PL é tipo escada
1 0
70
3.10 O Estimador Bayesiano   Quando não se
assume nenhuma distribuição específica para os
tempos de falha a própria Fd F ou a f.s. S
torna-se o parâmetro da distribuição.
Convenciona-se dizer que o problema é não
paramétrico pois a dimensão do parâmetro é
infinita. Temos que construir priori sobre F(t)
( ou S(t) ), ? t ?0?)   Ferguson (1973)
Seja ? uma medida finita R, isto é,   ? ( a,b
) c gt 0, ? ( a,b?A ) ? c e ? ( 0,?) ) lt ?
Ex ? ? ( 0,?) )
1 lt ? A distribuição P é um processo de
Dirichlet se qualquer partição B1, ..., Bk de R,
Pr(B1), ..., Pr(Bk) tem distribuição Dirichlet
com parâmetro (?(B1), ..., ?(Bk) )
71
onde ?1 ?(A1), ..., ?k ?(Ak)   e,
portanto, é uma amostra aleatória de
um processo de Dirichlet se Pr(X1?A1, ...,
Xn?An P(A1), ..., P(An) ) Pode se
mostrar que O processo de Dirichlet funciona
como a priori para a distribuição amostral.
Assim, por exemplo, Logo tem densidade
e ? corresponde ao valor esperado a priori para
F.
72
Se não há censura na amostra, a distribuição é
conjugada e a posteriori de P também é um
processo de Dirichlet com parâmetro ? onde
, se ? é contínuo, ? não é mais. Se há
censura, a distribuição não é conjugada e a forma
da posteriori complica. Pode-se obter a
esperança a posteriori de F(t) ou S(t), ? t gt 0
Usando essa esperança como estimador
temos yl lt t ? yl1 c k, ..., m onde
y1, ..., yk são as observações não-censuradas yk1
, ..., ym são os diferentes valores das
observações censuradas ck1, ..., cm são o número
de observações censuradas yk1, ..., ym r(t)
de observações à vista em t   Se não há
censura, yi-1 ? t ? yi , i 1, ..., n
73
No caso geral, se ??0, ? estimador
PL   Quando se ? gt 0, comporta-se da
seguinte forma A(n)   Abordagem
completamente não paramétrica sugerida por Hill
(1968) baseada na hipótese A(n)   Sejam X1,
..., Xn1 permutáveis com distribuição
P. Suponha que observa-se X1 x1, ..., Xn xn
onde x1 lt x2 lt ... lt xn (possível pela
permutabilidade) Sejam I(0), ..., I(n)
intervalos dados por I(i) (xi, xi1) onde x0
0 e xn1 ?
74
Então a distribuição preditiva de Xn1 dado
X1 x1, ..., Xn xn dá Eventuais
empates nos xis podem ser separados
acrescentando ? pequeno a um deles
No caso de censura a situação complica pois não
conhecemos todos os xis. Resolve-se também de
uma forma não paramétrica. Suponha x4 e
x5 são tempos de censura.   O objetivo é calcular
as probabilidades preditivas para I(0), I(1),
I(2), I(3). Isso é feito considerando todos os
possíveis valores (não censurados) de x4 e
x5.
75
Supondo que x4 ? I(1) e x5 ? I(2) temos sob a
hipótese A(5) que a probabilidade de I(0) é
, de I(1) é , de I(2) é
e de I(3) é   Se
supomos, por exemplo,

76
Implícito nos cálculos acima Falha dos
censurados poderia ocorrer em qualquer ponto no
intervalo de censura, ou seja, o ponto de censura
é trazido de volta até o início do
intervalo.   Ex. x4 poderia ocorrer em qualquer
ponto de I(1) O cálculo é portanto uma
aproximação (que fornece cota superior). Defina
Z1, ..., ZN tempos de falha a ser observados
Z tempos de falha a ser previsto
n lt N número de falhas observadas
valores observados de falha
yn1, ..., yN valores observados de
censura IEC Zj gt yj, j n1, ..., N Info.
Exata de Censura IPC Zj gt Uj, j n1, ...,
N Info. Parcial de Censura onde Ui é o maior
xi xi lt yi Ex. No exemplo, temos x1 lt y4 lt x2
lt y5 lt x3 ? U4 x1 e U5 x2   Ao invés de
calcularmos Qi Pr( Z ? I(i) IEC, ), i
0, 1, ..., n calcularemos
77
Pi Pr( Z ? I(i) IPC, Como IEC ? IPC,
Qi Pr( Z ? I(i) IEC, IPC, )
Como, dado IPC, pouca informação adicional sobre
IEC é fonecida por Z ? I(i) principalmente em
amostras moderadas ou grandes, Qi ? Pi.   Para o
cálculo dos Pi, define-se ci - de observações
censuradas em I(i) , i 0, 1, ...,
n ?i 1 / (N - (i - 1) - Ci) Então P0
?0 e
, i 0, 1, ..., n-1
78
Prova (i 0) Se c0 0, C0 0 e A(N) ? P0 1
/ (N1) Se c0 ? 0,
sob IPC, essas c0 observações são colocadas no
início de I(0) e portanto não trazem nenhuma
info. Podemos
considerar apenas N-c0 N-C0 observações
restantes.   A(N-C0) ? P0 1 / (N-C01)
Sob IPC, c1 observações são
colocadas no início de I(1) e para o cálculo da
parcela acima (condicional a Z gt x1) não trazem
nenhuma info. assim como x1. Podemos então sob
A(N 1 c0 c1) A(N 1 C1) obter Pr( Z
? I(1) Z gt x1 , IPC, ) ?1
79
Logo, O mesmo raciocínio pode ser
seguido e usando indução mostra-se o
resultado.   A substituição de IEC por IPC
faz com que ?i Pr( Z ? I(i) Z gt xi , IPC,
) produzam cotas superiores para Pr( Z ? I(i)
Z gt xi , IEC, ) Observe que Cotas
inferiores podem ser obtidas se censuras são
trazidas para cima.   IPCI Zj gt Uj , j
n1, ..., N Info. Parcial de Censura Inferior
onde Uj é o menor xi xi gt yj   Nesse caso
Q0 ? Pr( Z ? I(0) IPCI, )
, por A(N)
80
Assim como Podemos definir
Pr( Z ? I(i) Z gt xi , IPCI, ) Por
analogia com temos que ,
i 0, 1, ..., n com
C-1 0  Definindo então Pi ,
Pr( Z ? I(i) IPCI, ) temos Além
disso, Pr( Z ? I(1) Z gt x1 , IPCI,
) ? Pr( Z ? I(1) Z gt x1 , IEC, ) ?
  Multiplicando as duas inequações tem-se
81
Em geral
82
4. MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS DE
CONFIABILIDADE 4.1 Introdução Até
agora, itens pertencem a mesma população. Às
vezes, outras variáveis afetam os tempos de
falha. Exemplos tensão, pressão,
temperatura (confiabilida-de), idade, tratamento,
sexo (análise de sobrevivência). Estas
variáveis são chamadas covariáveis, e devem ser
incorporadas ao modelo. Elas podem ser
contínuas (tensão, pressão, temperatura, idade)
ou discretas (tratamento, sexo). De agora em
diante, analisaremos dados de falha com
covariáveis (regressão). Em confiabilidade,
a maioria dos modelos são baseados na
distribuição Weibull. Outra opção é a
lognormal após a transformação log nos tempos de
falha, podemos fazer uso da teoria normal e da
regressão padrão. Em geral, prefere-se a
distribuição Weibull devido a facilidade do seu
uso com dados censurados e devido a forma da
função taxa de falha. Propósito do estudo
determinar o quanto T é afetado por x
(covariáveis). Exemplo x tensão T pode
decrescer com x. 4.2 a 4.6 descrevem
diferentes modelos.
83
4.7 a 4.9 lidamos com modelos baseados na
distribuição Weibull. Capítulo 5 lida com
modelos de taxa de falha proporcional.
Capítulo 6 lida com modelos Bayesianos
dinâmicos. 4.2 Modelos de Tempo de Vida
Acelerado (ALM) Suponhamos tempos de falha
sujeitos a uma carga. ALM tempo de falha é
o produto de uma função da carga e do tempo de
falha padrão. Tempo de falha padrão tempo
de falha para um nível padrão de carga
Pr (T ? t ? x) S (t x) S0 (t yx
) aonde S0 é a sobrevivência básica (padrão) e yx
é uma função positiva de x. Quando x está
no nível básico yx 1. Para outros valores de
x, tempo de falha é acelerado (multiplicado) por
yx. Exemplo S0 é exponencial unidade (S0
(t) e ? t ) e yx x b ?
S (t x) S0 (t x b ) exp ?t x b No
ALM Tyx tem distribuição básica ou log T ? log
yx log W, aonde W P (não depende de x).
84
Uma especificação comum é log yx xTb
(similar aos modelos lineares normais). A
função taxa de falha h (t x) é A
adequação do ALM pode ser preliminarmente
avaliada pelos seguintes gráficos 1) Sendo
log T ? log yx termo de erro, o gráfico de
log T versus x deve fornecer uma indicação da
forma de y. 2) Se os dados podem ser
agrupados em k grupos homogêneos, os gráficos das
estimativas das funções de sobrevivência
versus log t devem ser cópias horizontais
deslocadas de S0 quando Sj (t) S0 (t yx) S0
exp (log t log yj ) s0 (log t log yj )
3) Também no ALM com k grupos, os quantis são
proporcionais. Isto é, se qj (p) é o p-ésimo
quantil do grupo j então qj (p) yj qk (p) yk
porque S0 (qj (p) yj) Sj (qj (p)) p, ?j.
Os quantis 0.1, 0.2, ..., 0.9 para todos os
grupos podem ser estimados de
.
85
Podemos fazer o gráfico dos quantis
estimados para o grupo j, j 2, ..., k versus os
do grupo 1. Os gráficos devem ser aproximadamente
lineares com inclinação y1 /yj .
Equivalentemente, os gráficos dos log-quantis
devem ser linhas paralelas. Os gráficos
também poderão ser feitos versus a média dos
quantis (ao invés de versus os quantis do grupo
1). 4.3 Modelos de Taxas de Falha Proporcionais
(PHM) PHM a taxa de falha é acelerada,
isto é, h (t x) h0 (t) yx aonde h0 é a função
taxa de falha básica (padrão) e yx é uma função
positiva de x. Quando x está no nível
básico yx 1. Este nome vem do fato
(não depende de t). Uma
especificação comum é log yx xTb. Assim, h (t
x) h0 (t) expxTb. A função de
sobrevivência é
86
Se S (t x) é um ALM e um PHM então
S (t x) Sa 0 (t y ax) e a única
solução possível é a sobrevivência da Weibull Sa
0 (t) Sp 0 (t) exp ?t h com
. Gráficos preliminares
podem novamente serem feitos depois da separação
dos dados em k grupos. Assim, temos que ?log
Sj (t) ?y j log S0 (t) ou log ?log S j (t)
log y j log ?log S0 (t) e os gráficos de
devem ser múltiplos mutuamente na escala log ou
devem ser cópias verticais deslocadas de cada um
na escala log-log. 4.4 Modelos de Razão de
Chances Proporcionais (POM) POM a função taxa
de falha satisfaz Após diferenciar em
relação a t, A razão taxa de falha é yx quando
t 0 e tende a 1 quando t ? ?.
87
? ocorre diminuição do efeito de x na taxa
de falha a medida que o tempo cresce.
Avaliações preliminares podem ser feitas baseadas
nos gráficos . 4.5
Generalizações A relação PHM
log ?log S j (t) log y j log ?log S0 (t)
pode ser generalizada como f 1 ?log S j (t) g
1 (y j ) f 1 ?log S0 (t). Isto inclui o
POM como o caso especial f 1 (u) log (1 ? u)
/ u. A relação ALM log q j log q 0 ? log
(y j / y 0) pode ser generalizada como f 2 (q j )
f 2 (q 0) ?g 2 (y j / y 0). Outras
generalizações são 1) ALM generalizado
aonde y x também depende de t. 2) PHM
generalizado aonde aonde s (l ) é a família
Box-Cox de transformações em s. 3) Modelo de
deslocamento no tempo h (t x) h0 (t yx)
taxa de falha de ação atrasada. 4) Modelo de
taxa de falha polinomial h (t x) y 0x y 1x
t ... y qx t q. 5) Modelo de taxa de
falha por partes h (t x) h i (t x), para t ?
I i, i 1, ..., N.
88
6) Covariáveis dependentes do tempo x pode
depender do tempo em alguns casos. 4.6
Modelos Bayesianos dinâmicos (DMB) (cf Gamerman,
1991) DMB combina modelos de taxas de falha
proporcionais (PHM) com distribuição exponencial
por partes (similar ao modelo de taxa de falha
por partes). Do PHM, temos que h (t x) h0
(t) y x. Assuma que h0 (t) exp b i, 0, t
? I i. Também, generalize y x para y i, x,
para que dependa de t. Uma especificação
comum é y i, x exp xTb i. O modelo pode
ser escrito como h (t x) exp xTb i, aonde b
i agora inclui uma primeira componente b i, 0 e
xT agora inclui uma primeira componente 1.
O modelo é completado com a relação entre os
parâmetros em intervalos sucessivos, como em
3.8. b i G i b i?1 w i aonde E(w i) 0 e
Var (w i) Wi. A matriz evolução G i fixa a
parte determinística da evolução e o termo de
erro w i controla o aumento na incerteza a medida
que o tempo passa. Exemplos 1) G i I,
é a matriz identidade (passeio aleatório simples)
89
2) G i diag (1, G i 1) aonde (modelo de
crescimento generalizado). A variância pode
novamente ser especificada através dos fatores de
desconto. Pode ter uma para cada parâmetro
mas o mais comum é ter uma para o parâmetro de
base b i, 0 e uma para os coeficientes de
regressão. Geralmente, esta última é próxima
a 1 (se 1, o modelo se torna PHM). Se não há
presença de covariáveis, o modelo se torna o
mesmo de 3.8.
90
4.7 Modelos Baseados na Distribuição Weibull
O Modelo de Regressão Weibull pode ser escrito
como Pode, também, ser escrito
como
onde
ALM
onde
onde
PHM
91
Sabemos que W Gumbel e ainda que h é somente
um fator escala, mas também pode ser dependente
de x. Estimação e Testes Regressão Linear
Simples Estimador de Mínimos Quadrados pode ser
usado. Procedimento similar pode ser usado para
regressões múltiplas. Mais formalmente, o
Estimador de Máxima Verossimilhança pode ser
calculado como no capítulo 3 parâmetros são
estimados, variâncias assintóticas obtidas e
testes de hipóteses calculados via Teste da Razão
de Máxima Verossimilhança. Esses cálculos podem
ser manuseados por GLIM. Plot de Resíduos PPplot
pode ser usado como em 3.5 Os dados
transformados
convergem para uma amostra de variáveis
aleatórias U(0,1). Os uis são chamados resíduos
generalizados. Também, zi log(-log ui) tem
distribuição Gumbel. Um plot de probabilidade
pode ser construído como segue
onde
Slid