Slide sem t

1
CONCEITOS E APLICAÇÕES
PARA A
VIDA
ECONÔMICA
2 - FATOR CAPITAL
2
CAPÍTULO MAIS IMPORTANTE DA DISCIPLINA
3
1-CONCEITOS ECONÔMICOS
2- FATOR CAPITAL
3- ELASTICIDADE
4- FINANCIAMENTOS, AMORTIZAÇÃO
5-TÉCNICAS DE GESTÃO FINANCEIRA
6-DEPRECIAÇÃO
7- FATOR NATUREZALOCALIZAÇÃO
8- ANÁLISE D E INVESTIMENTO
9- ANÁLISE D E RISCOS
4
2- FATOR CAPITAL
1. PRINCÍPIOS GUIAS
2. JUROS SIMPLES E COMPOSTO ANTECIPADOS E
POSTECIPADOS,COMERCIAIS E EXATOS
3. TAXAS DE JUROS NOMINAIS E EFETIVAS
PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES -
INSTANTÂNEA INTERNA DE RETORNO TIR
DE MÍNIMA ATRATIVIDADE TMA GLOBAL
REAL PRÉ-FIXADA PÓS-FIXADA BRUTA LÍQUIDA

4. FLUXO DE CAIXA MONTANTE VALOR
ATUAL PRESTAÇÕES OU SÉRIES
(UNIFORME, DIFERIDA, PERPÉTUA)
5. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA F/P P/F A/P P/A
F/A A/F F/G (SÉRIE DE GRADIENTE UNIFORME E
GEOMÉTRICO).
5
INTRODUÇÃO
Apresenta-se um resumo de Matemática Financeira
Estudo do valor do dinheiro no tempo
ferramenta básica para a Engenharia
Econômica. Engenharia Econômica conjunto de
conhecimentos necessários para a escolha de
investimentos. Investimentos dependem de
informações técnicas e em geral as decisões são
tomadas por engenheiros ou por administradores
que agem com base nas recomendações dos
engenheiros. Para empréstimos deve-se procurar
obter a menor taxa de juros possível para as
pessoas físicas, como em geral as taxas para
empréstimos são maiores que as para aplicação, a
melhor aplicação de seu capital é no pagamento de
empréstimos já para as pessoas jurídicas, se as
mesmas tiverem boas perspectivas de lucros, pode
ocorrer o contrário.
6

• As taxas de juros, para empréstimos, dependem da
  oferta e procura de capitais estas taxas variam
  conforme os seguintes aspectos
• Volume quantidades maiores, em geral,
  apresentam taxas menores.
• Mercado em países mais desenvolvidos, em
  geral, as taxas são menores.
• Subsídios os Governos costumam emprestar a
  juros mais baixos quando o empresário aplicar em
  atividades prioritárias, ou para as Micro e
  Pequenas Empresas. Existem também linhas de
  crédito com juros reduzidos para estudantes e
  recém formados em curso superior (até 2 anos de
  formado).
• Prazo em geral as taxas são maiores para os
  maiores prazos pois nestes casos ocorre em geral
  maior risco e menor liquidez.
• Cadastro melhores referências captam recursos
  mais baratos.

7
As taxas de remuneração das aplicações nas áreas
financeiras tendem sempre a serem baixas. Se as
taxas de remuneração de depósitos fossem altas,
muitas pessoas poderiam deixar de trabalhar e
viver de renda, isso aumentaria a oferta de
dinheiro à disposição para empréstimos e também
diminuiria a procura pelos empréstimos com isso
as taxas cairiam, fazendo com que as pessoas, em
grande parte, voltassem a trabalhar. Observações
Importantes A) O valor de qualquer ativo que
produz/gera fluxo de caixa é o valor presente de
seus fluxos de caixa esperados. B) É dever de
quem toma decisões conceber, criar, descobrir e
desenvolver todas as alternativas que a situação
dada possibilite.
8
PRINCÍPIOS - SÃO A BASE DE TUDO
9
1. PRINCÍPIOS GUIAS
Orientações para análise de alternativas de
investimento. Com o tempo e a experiência reunir
novos princípios. Orientação Geral Estudar
alternativas e escolher a mais viável. Estudos
de viabilidade 1) técnica (dimensões e forma
para atender as demandas, por exemplo) 2)
econômica (lucro máximo, por período de
tempo) 3) financeira (fundos suficientes) 4)
política (desejos de autoridades, ou de
proprietários) 5) ambiental (leis de proteção do
meio ambiente) e 6)institucional (pessoal técnico
e/ou equipamentos capazes).
10
PRINCÍPIOS
1 - Retorno do investimento ou lucros totais
maximizados. Mesmo para os investimentos
públicos devem ser calculados os lucros
previstos, a serem recebidos pela comunidade. 2
- Capacidade dos fundos total até terminar.
Ganhos só são obtidos se for concluído. As
alternativas que vão se pagando à medida que são
construídas, devem ter um estudo especial, de
riscos. Obras não concluídas são deterioradas
pela ação do tempo. 3 - De início todas as
possíveis alternativas devem ser estudadas pois
qualquer revisão futura nos planos e projetos
deve ser submetida à mesma pesquisa e
justificativa econômica.Pode aparecer uma nova
idéia e se esta idéia não tiver sido ainda
considerada, todos os estudos terão que ser
refeitos (para provar se o palpiteiro de última
hora tem ou não razão). Embora à primeira vista
uma revisão pareça mais adequada, somente após
uma justificativa econômica (pesquisa) igual a do
projeto anterior, poderá ser vista se a
modificação realmente é conveniente.
11
4 - Os investimentos devem ater-se aos planos
efetuados. Gastos iniciais não previstos devem
ser evitados, devem ser o mínimo compatível com
os propósitos do projeto. Gastos iniciais
exagerados podem dificultar a conclusão do
projeto. Um orçamento bem elaborado de toda a
obra, antes de inicia-la é importante para o
controle dos gastos. 5 - Poderão haver acréscimos
de gastos, desde que haja viabilidade financeira
e que este gasto adicional prove ser um
investimento que traga aumento nos lucros
totais. As alternativas serão mutáveis com o
tempo, se aparecer uma máquina nova, que prove
que embora sendo mais cara trará maiores lucros
do que a prevista no projeto original, a mesma
pode ser considerada. 6 - A alternativa
escolhida, no caso de novo projeto, deve ter um
período de amadurecimento e desenvolvimento
(melhoras), especialmente quando depende de seus
próprios recursos para rendimento. Neste período
continua-se as pesquisas e procura-se melhorar o
projeto. Dependendo do tipo de projeto contudo,
deve-se ter cuidado para que este tempo não seja
demasiadamente grande e não invalide o projeto.
12
7 - A escolha das alternativas será efetuada,
tendo em vista que muito do valor de qualquer
estudo econômico, depende de precisão e validade
das estimativas de demanda futura, dos
rendimentos, custos e taxas de juros. As
projeções não devem ser feitas para mais de 20
anos, na maioria dos casos e, quando feitas, com
muitas reservas. As técnicas de construção, os
equipamentos, os veículos, etc. mudam o projeto
no decorrer do tempo. Os benefícios de uma
ponte ferroviária, por exemplo, devem ser
calculados só até 20 anos, pois embora, a ponte
possa ser usada por mais de 20 anos os valores
monetários previstos para mais de 20 anos,
dependendo das taxas de juros usadas, quando
trazidos para o valor atual representam
quantidades muito pequenas.
13
OUTROS PRINCÍPIOS
Outros princípios devem ser acrescentados à
lista. Eugene Grant, cita em seu livro
"Princípios de Engenharia Econômica", que o
General John I. Carty, quando engenheiro chefe da
Companhia de Telefones de Nova York, encarregado
dos novos investimentos, sempre fazia as
seguintes perguntas 1 - Por que fazer isto
agora? 2 - Por que fazer desta maneira? 3 - Por
que fazer desse modo até o fim? Outras perguntas,
importantes de serem respondidas são As
condições de mercado são favoráveis? Deve-se
construir, agora, com excesso de capacidade em
relação à demanda? ou somente com a capacidade
necessária para satisfazer a demanda
atual? Deve-se expandir as instalações atuais,
reformar ou fazer novas? Os procedimentos
operacionais estão atualizados? Haverá um novo
empreendimento mais lucrativo? Deve-se construir
ou comprar instalações próprias? Deve-se comprar
ou alugar as instalações? Deve-se comprar à vista
ou à prazo?
14
Dez Passos para despertar seu gênio financeiro
de Robert Kiyosaki (Pai Rico - Pai Pobre)
1 - TER MOTIVOS (RAZÕES) EMOCIONAIS
PROFUNDAS Não quero trabalhar a vida inteira.
Não quero ser empregado. Não quero só a segurança
de um emprego e uma boa casa. Quero ser livre
para viajar por todo o mundo e viver o estilo de
vida que gosto. Quero fazer isso ainda jovem.
Quero controlar meu tempo e minha vida. Quero que
o dinheiro trabalhe por mim.
2-ESCOLHA SER RICO TODOS OS DIAS Adquira ativos
(bens de capital). Invista primeiro na instrução.
Aprenda a investir. Livros de investimentos.
Seminários e Cursos.
3-ESCOLHA AMIGOS COM CUIDADO Amigos que falem de
R, de negócios de investimentos. Aprenda com
amigos pobres (descubra o que não fazer) e com os
ricos.
15
4-DOMINE UMA FÓRMULA E ENTÃO APRENDA OUTRA Você
se torna o que você estuda. Aprenda rápido.
Pratique
5-PAGUE A SI MESMO PRIMEIRO Autodisciplina.
Controle. Se pagar antes os outros não sobra
nada. Importantegestão do fluxo de caixa, de
pessoal e do tempo
6-PAGUE BEM A SEUS CORRETORES Contrate pessoas
que conhecem mais que você o assunto.
7-SEJA UM DOADOR ÍNDIO Ver rapidez do retorno
do dinheiro
8-NÃO TROQUE ATIVOS POR SUPÉRFLUOS Considere os
custos de oportunidade ao gastar em supérfluos
9-TENHA HERÓIS Se êles conseguiram eu também posso
10-ENSINA E RECEBERÁS Dinheiro, amor, felicidade,
vendas, contatos doe primeiro. Os pobres são mais
gananciosos do que os ricos.
16
COMO ATINGIR A INDEPENDÊNCIA FINANCEIRA? (Prof.
Mauro Halfeld - Investimentos - UFPR)
1-Ganhe mais dinheiro 2-Poupe 3-Evite ter
dívidas 4-Invista Corretamente 5-Tenha sua Casa
Própria 6-Faça Seguro de Vida e
Seguro-Saúde 7-Permita que você coma algumas
cenouras ao longo da caminhada 8-Busque adquirir
intensamente educação financeira 9-Se precisar,
contrate a ajuda de um personal
advisor 10-Entenda que o dinheiro é apenas um
meio, não o fim em si mesmo
17
Outros princípios básicos que se aplicam para
todas as situações são
- Sempre falar a verdade -Seguir os Mandamentos
religiosos (são mais ou menos iguais para todas
as religiões) -Caso continue de posse de algum
bem, considerar que o está comprando pelo preço
de mercado. Ou seja tudo que é mantido deve ter
para a pessoa um valor superior ao de mercado.
18
Mitos sobre Avaliação de Investimentos
1 Uma vez que os modelos de avaliação são
quantitativos, a avaliação é objetiva não, os
dados de entrada em geral, deixam margem para
julgamentos subjetivos. 2 Uma avaliação bem
pesquisada e bem feita é eterna não, com o
tempo mudam os gostos. 3 Uma boa avaliação
oferece uma estimativa precisa de valor não,
sempre haverão incertezas, os valores dos fluxos
de caixa e das taxas de desconto são estimados
com erros. 4 Quanto mais quantitativo o modelo,
melhor a avaliação não, depende da precisão dos
dados a qualidade da avaliação é proporcional ao
tempo gasto para reunir os dados e à compreensão
do projeto.
19
JUROS
Para Albert Einsten os Juros Compostos eram a
maior invenção da humanidade. A Ilha de Manhattan
foi comprada por US24 em badulaques e contas de
vidro. Se este valor tivesse sido investido a
juros de 8 ao ano, o valor em 1995 seria de US
28 trilhões dando para recomprar a ilha com tudo
que foi feito e mais boa parte de Los Angeles .
(Fonte. Pai Rico - Pai Pobre)
20
2. JUROS
Definição É a remuneração do fator capital
J Ao emprestar-se uma certa quantia de dinheiro
(P valor presente), ao devolve-la (F valor
futuro) seu valor, normalmente é maior a
diferença entre a quantia emprestada e a
devolvida é chamado de juro. J F - P Tipos
de Juros 1) Simples pago unicamente sobre o
capital inicial, também chamado principal, e é
diretamente proporcional a esse capital e ao
tempo em que este é aplicado, ou seja, o juro não
é incorporado ao capital inicial. J P x i x n
Os juros simples, para períodos de tempo da
taxa de juros menores do que a unidade são
maiores que os juros compostos, e são muito
usados na prática nestes casos.
21
2) Compostoapós a unidade de tempo, é
incorporado ao capital, tornando-se um novo
capital para o período seguinte. Assim, além de
ter-se juros sobre o capital inicial, após o
segundo período começamos a ter também juros
sobre juros. Neste caso, o total de juros é dado
pela fórmula J Px (1i)n - P Obs. Esta
fórmula será deduzida no estudo de relações de
equivalência a seguir. Exemplo Calcular o valor
dos juros totais para um empréstimo de R 100,00
com juros de 10 ao mês, capitalizados
mensalmente, durante 3,5 meses. Juros Compostos
J 100(10,1)3,5 - 100 R 39,60 Juros
Simples J 100x0,1x3,5 R 35,00 Juros
Compostos e Simples J100(10,1)3-100
100(10,1)3x0,1x0,5 33,10 6,65 R 39,75
22
Na prática, para os empréstimos são cobrados
juros compostos, para períodos inteiros e os
juros simples para os períodos fracionários. Para
os depósitos só são pagos os juros em períodos
inteiros. 3) Postecipados quando cobrado no fim
do período de tempo. Neste caso os juros só são
pagos (recebidos) ou incorporados ao capital,
após decorrido o período de tempo especificado na
taxa de juros. 4) Antecipados quando é cobrado
no início do período de tempo. Neste caso os
juros são retirados do capital, ou são pagos na
hora em que é feito o empréstimo, e a seguir,
sempre que comece um novo período de tempo, deve
o juro ser pago (recebido) ou incorporado ao
capital. No caso, por exemplo dos penhores da
Caixa Econômica os juros cobrados são
antecipados.
23
Considerando o mesmo valor da taxa de juros o
juro antecipado é sempre maior que o
postecipado. Exemplo Qual a taxa de juros
postecipada equivalente à taxa de 10 ao mês,
capitalizada mensalmente, cobrada de forma
antecipada? Sejam R 100,00 emprestados por um
mês com a taxa de juros de 10. Juros
postecipados P 100 i 10 postecipados e F
110 (valor futuro ou montante) Juros antecipados
P 90 (ou 100 - 10 de juros antecipados) i10
antecipados e F 100. A taxa postecipada
equivalente que esta sendo cobrada neste segundo
caso é dada por FP(1i), como veremos no estudo
de montantes ou seja 100 90 (1i) 100/90
(1i) 1,111 (1 i) logo i 11,11
postecipada. Caso a taxa antecipada fosse de 20
a taxa equivalente postecipada seria de 25.
24
5) Exatos e 6) Ordinários (ou Comercial) Nas
operações correntes a curto prazo, normalmente o
prazo estipulado é o de dias, no entanto, em
geral a taxa de juros mais frequente é a anual.
Precisamos, então, expressar o prazo de dias em
anos, para isto, podemos dividir o prazo por 365
ou 360, conforme consideremos o ano civil ou o
comercial. Juros calculados considerando o ano
com 365 dias, são exatos. No outro caso (360
dias) os juros serão ditos ordinários ou
comerciais. Além disso, na contagem dos dias,
poderão ter dois tipos de tempo empregados, com
as seguintes denominações Tempo exato, quando
conta-se todos os dias do mês e Tempo aproximado,
quando considera-se todos os meses como tendo 30
dias. Deve-se observar que os bancos utilizam o
juro ordinário e o tempo exato.
25
Exemplo Emprestando um capital de R 100,00 em
1o. de março, taxa de 50 ao ano, capitalizada
anualmente, deseja-se saber quanto será pago de
juros em 10 de abril? Como o período da taxa é
maior do que o do empréstimo, para ter a operação
financeiramente certa, usa-se a fórmula de juros
simples logo J P x i x n Pode-se ter as
seguintes respostas J 100 x 0,5 x 41/365
5,616 (tempo exato e juro exato) J 100x0,5x
41/360 5,694 (tempo exato e juro ordinário) J
100x0,5x40/3655,479 (tempo aprox. e juro
exato) J 100 x0,5x40/3605,555 (tempo aprox. e
juro ordinário) Como pode-se observar, o maior
valor é o utilizado pelas entidades financeiras
no caso dos empréstimos. No caso de depósitos, em
geral, os juros só serão pagos após decorrido o
período de capitalização da taxa.
26
3. TAXAS
Definição É o juro da unidade de capital na
unidade de tempo i A taxa de juro representa
a remuneração pela utilização da unidade de
capital durante os períodos(2) a que esta taxa se
refere. Têm que ser revelados para cada taxa dois
períodos de tempo O primeiro é chamado de
período de referência da taxa e o segundo é o
período de capitalização dos juros, ou seja
quando os juros passam a ser incorporados ao
capital para efeito de renderem também juros num
período seguinte. O valor da taxa de juros
apresentado só pode ser usado quando ambos os
períodos da taxa forem iguais, caso contrário é
preciso transformar a chamada taxa nominal numa
taxa efetiva conforme será visto a seguir. Os
períodos de tempo a que se refere a taxa de juros
podem ser dia, mês, semestre, ano.
27
Tipos de Taxas
1) Proporcionais- Quando referidas a tempos
diferentes, mantém entre si a mesma relação que
seus períodos de referência. (neste caso os
períodos de capitalização não são
observados). Dados "i1" e "i2" nos tempos de
referência "t1" e "t2", expressando-se os
períodos a que se referem numa mesma unidade de
tempo, para que as taxas sejam proporcionais deve
existir a relação i1/i2 t1/t2 Exemplo
12 ao ano é proporcional a 1 ao mês. 2)
Equivalentes- Duas taxas são ditas equivalentes
se, no mesmo período de tempo, produzirem a mesma
quantidade de juros, para o mesmo capital inicial
empregado. Desde que os juros sejam simples, duas
taxas proporcionais também serão equivalentes.
28
Para o caso de juros compostos isto já não é
verdadeiro, a não ser para um empréstimo de
vigência menor do que o menor período de
capitalização das duas taxas, quando então,
volta-se a usar a fórmula de juros simples no
cálculo destes. 3) Efetiva É aquela em que seu
período de referência coincide com o período de
capitalização. 4) Nominal- É aquela em que seu
período de referência não coincide com o período
de capitalização. É um tipo de taxa bastante
usada. Exemplo taxa de 12 ao ano, com
capitalização mensal. Para o cálculo dos juros, a
taxa nominal deve ser transformada na taxa
efetiva que lhe seja proporcional, para isso
divide-se o período da taxa nominal pelo período
de capitalização, a taxa efetiva correspondente é
dado pelo valor da taxa nominal dividido pelo
resultado anterior.
29
Exemplo 12/ i ano (12 meses)/ 1
mês Portanto a taxa efetiva correspondente à taxa
nominal de 12 ao ano com capitalização mensal é
de 1 ao mês com capitalização mensal. A taxa
anual com capitalização anual (ia) equivalente à
taxa de 1 ao mês com capitalização mensal é dada
por FP(1ia) P (10,01)12 (1ia)
(10,01)12 1,126825 ia 12,6825
ao ano com capitalização anual. 5) Contínua ou
Instantânea É a taxa nominal (i) em que o número
de capitalizações ao longo do período da taxa for
infinito ou quando a capitalização for
instantânea ou contínua.
30
Pode-se iniciar calculando qual a taxa efetiva
anual (i1) equivalente à 60 ao ano com
capitalização mensal (i2 taxa nominal), ou 5
ao mês com capitalização mensal (taxa
efetiva). Por definição F1 P(1i1)F2P(1i2)n
ou (1i1) (10,05)12 ou (1i1)
1,795856 ou i1
79,58 Observa-se que a fórmula genérica
utilizada foi (1i1) (1i2/n)n Utilizando-se
esta fórmula pode-se calcular as várias taxas
efetivas a medida que aumenta o número dos
períodos de capitalização, conforme tabela a
seguir Taxa Nominal (i2)
Taxa efetiva (i1) 60 a.a. c/c.sem (2 vezes
ao ano) 69 a.a.c/c.a. 60 a.a.c/c.trim (4 vezes
ao ano) 74,9 a.a. c/c.a. 60 a.a.c/c.m.
(12 vezes ao ano) 79,58 a.a. c/c.a. 60
a.a. c/c.dia (360 vezes ao ano) 82,12 a.a.
c/c.a.
31
Retornando a fórmula geral (1i1) (1i2/n)n
sendo i1 t. efetiva e i2 t.nominal
Fazendo-se n/i2 q tem-se (1i)
(11/q)qxi2 Quando n tende a
infinito, q também tenderá a infinito, e da
matemática, sabe-se que Lim
(11/q)q e (base dos logaritmos
neperianos), portanto (1i1)
ei2 e 2,71828182846 ou
i1 ei2 - 1 ExemploPara i2 100 a.a c/c.c.
i1 171,82a.a.c/c.a. Para i2 10 a.m.c/c.c.
i1 10,52 a.m.c/c.m. Para i2
20 a.a.c/c.c. i1 22,14
a.a.c/c.a. Para i2 200 a.a. c/c.c.
i2 638,90 a.a.c/c.a. Nos casos de
empréstimos, em geral, as financeiras tendem a
apresentar o valor nominal da taxa, para dar
aparência de que os juros serão menores.
32
No caso de depósitos, as financeiras tendem a
apresentar a taxa efetiva que é maior. Se for
conhecida a taxa efetiva e deseja-se saber qual
a taxa nominal contínua correspondente,
faz-se ln (1i1) ln ei2 ln (1i1) i2
i2 ln (1i1) Exemplo Para a taxa efetiva de
100 a.a.c/c.a. qual a taxa nominal contínua
correspondente? i2 ln (11) ln 2
69,31 6)Taxa Interna de Retorno (TIR) É a taxa
de rendimento do projeto, corresponde ao valor da
taxa que anula o fluxo de caixa, ou seja, é uma
taxa que trazendo todos os valores do fluxo de
caixa para a mesma época os mesmos se anulam.
7)Taxa de Mínima Atratividade (TMA) É a taxa de
oportunidade da empresa. Portanto, um projeto
para ser viável deve apresentar uma TIR maior do
que a TMA.
33
Em caso de financiamentos, a TMA pode ser a taxa
cobrada pelo financiamento, logo,o projeto deve
conseguir pagar o financiamento. Em economia
considera-se que todo recurso monetário deve
estar aplicado, ou seja, rendendo algum juro.
Esta taxa de aplicação corresponde ao valor da
TMA. Diz-se também que a TMA corresponde à
valorização do dinheiro, quanto maior a TMA, mais
cuidados devem haver com os gastos à vista.
8)Taxa Global (ig) usada no caso de haver
inflação. A taxa de inflação (?) corresponde a um
novo juro. A taxa real (ir) deve ser considerada
junto com a taxa de inflação (?) para o cálculo
dos juros conforme expressões a seguir ig
(1ir)(1?) 1 para um
período ig (1ir)n.(1?1)(1?2)(1?3)...(1?n)
1 para n períodos.
34
A taxa global também pode ser chamada de taxa
pré-fixada, isto é, uma taxa que normalmente
inclui a taxa de inflação. Nos investimentos com
taxa pós-fixada, é revelada a taxa real no
momento da aplicação e a taxa global paga no
final só é obtida após ser dada a taxa de
inflação do período considerado. Exemplo Um dado
investimento pré-fixado, paga 20 ao ano com
capitalização anual de taxa global, enquanto
outro pós-fixado paga 10 ao ano com
capitalização anual de taxa real e a inflação.
Pede-se, escolher qual o melhor investimento em
função da taxa de inflação Neste caso, deve-se
obter a taxa de inflação para a qual os
investimentos sejam equivalentes, ou seja F
Px(1ig) Px(1ir)x(1?) ou (1ig)
(1ir)x(1?) (1 ?) (1
ig)/(1ir) 1,2/1,1 1,091 logo ?
9,1 Resposta Para uma taxa de inflação de até
9,1 o investimento pré-fixado é melhor, caso a
inflação resulte maior que 9,1 o investimento
pós-fixado.
35
Deve-se observar que a taxa global não é igual á
taxa real mais a taxa de inflação, é preciso
igualar os valores futuros para encontrar a
relação entre estas taxas. 9)Taxa Bruta e Taxa
Líquida Nas aplicações de pessoas físicas, é
descontado de cada rendimento mensal o imposto de
renda, diretamente pela entidade
financeira. Exemplo Para uma aplicação de R
1000,00 a taxa bruta é de 20, resultando num
valor futuro de R 1200,00. Sobre o lucro de R
200,00 é descontado 20, ou seja o valor futuro
líquido será de R 1160,00, portanto a taxa
líquida da aplicação seria de 16. Nas aplicações
poderão haver outras taxas, como taxa de
administração, taxa de abertura de conta, taxa de
performance e outras, deste modo só conhecendo-se
o valor aplicado e o resgatado pode-se com
exatidão conhecer a taxa final de rendimento
paga.
36
4.ELEMENTOS DO FLUXO DE CAIXA
Valor Futuro ou Montante F
0 1 2 3 4
Prestações ou Séries A ou PMT
Valor Presente ou Atual P
37
ELEMENTOS DO FLUXO DE CAIXA
Montante ou Valor Futuro (F) É o capital total
acumulado ao final de certo período de tempo. Com
o termo capital total designa-se o capital
inicial, mais todos os juros existentes, até o
final do período de tempo considerado. É costume
empregar-se também o termo valor nominal para
designar-se o montante de uma certa dívida, ou
seja, o valor nominal seria o valor do resgate,
na data de vencimento de um compromisso.
Para juros simples F P(1n.i) Para
juros compostos FP(1i)n Principal, Valor
Presente ou Valor Atual (P) É o capital que, se
colocado a render juros a partir da data de hoje,
nos dá determinado montante. O valor atual também
é chamado de capital inicial. Para juros simples
P F/(1n.i) e Para juros compostos P
F/(1i)n
38
Séries, Anuidades ou Prestações (A ou PMT) É uma
sucessão de pagamentos A1, A2, ..., An em
períodos de tempos t1, t2,...,tn
respectivamente. 1) Perpétuas ou 2)
Temporárias Se o número de pagamentos é infinito,
as prestações são ditas perpétuas, ou de
perpetuidade caso contrário, ou seja, com número
finito de termos, a anuidade é chamada de
temporária. 3) Constante ou 4) Variável Quando os
termos de uma anuidade forem todos iguais entre
si, esta será dita constante caso contrário, a
anuidade será denominada de variável. 5)
Periódica ou 6) Não periódica Quanto os
valores ocorrem em datas separadas por intervalos
de tempos constantes a série é dita periódica, ou
no caso em que os valores ocorrem em datas que
não guardem relações fixas entre si a série é
chamada de não-periódica.
39
7) Antecipadas ou 8) Postecipadas As séries são
ditas antecipadas quando os termos tem vencimento
no início de cada período, neste caso, o primeiro
pagamento ocorre na data de origem e não existe
pagamento no final do último período. As séries
são ditas postecipadas quando os pagamentos são
efetuados no fim de cada intervalo de tempo.
Neste caso não existe pagamento na data de
origem. 9) Diferidas ou com carência Quando os
pagamentos só se iniciam após a passagem de
determinado número de períodos. O primeiro
pagamento só é efetuado no fim de m1 períodos,
contando a partir da origem. O prazo m de que é
atrasado o início da anuidade, é chamado de
diferimento ou carência da anuidade. Em alguns
casos não são cobrados os juros do prazo de
carência.
40

5. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Para se obter as relações de equivalência
usam-se séries unitárias, temporárias,
constantes, periódicas, postecipadas e sem
carência. Os recursos financeiros devem ser
sempre referidos a uma data. Os valores
monetários são diferentes conforme a data de
referência. Um dinheiro hoje será diferente de um
dinheiro amanhã. Para comparar as alternativas de
investimentos há necessidade de deslocar os
valores monetários no tempo para isso usam-se as
relações de equivalência. Seja P um valor hoje.
Quando aplicado numa dada taxa de juros valerá,
após o período dito de capitalização, quando a
taxa é incorporada ao capital F1 P P x i
P(1i) Após 2 períodos tem-se F2 F1 F1 x i
ou F2 P(1i) P(1i).i P(1i)2
41
F1 PPxi P(1i) F2 F1 F1x1 F1(1i)
P(1i)2
42
Após 3 períodos tem-se F3 F2 F2 x i
ou F3 P(1I) 2 P(1I) 2.i P(1i) 2(1i)
P(1i)3 Após um número "n" qualquer de períodos
tem-se FnPx(1i)n Simbolicamente F
P (F/Pin) Nesta fórmula verifica-se a
importância da taxa de juros (i) e do número
períodos (n). Exemplo Qual o valor futuro de R
1,00 aplicados na taxa de 10 ao mês com
capitalização mensal após 240 meses (20 anos).
F 1x(10,1)240 R 8.594.971.441,07 (mais de 8
bilhões). Pode-se também verificar qual o valor
de "n" para que R 1,00 aplicados em 10 ao mês
com capitalização mensal se transforme em R
1.000,00. 1000 1x (1 0,1)n Resolvendo com o
auxílio de logarítmos ou com calculadora
financeira, "n" resulta 72,48 meses.
43
Da mesma forma tendo-se Fn pode-se obter o valor
"P fazendo PFn/(1i)n Simbolicamente
P F (P/Fin) Exemplo 1 Seja um curso de
Métodos de Estudo que cobra os seguinte valores
(fonte Prof. Renato Luiz Chaves - 1998) Valor a
vista R 65,00 Valor a prazo Entrada de R 37
e mais uma de R 37 ou
Entrada de R 27 e mais duas de R 27 Vejamos
quais as taxas de juros usadas pelo Prof.
Renato P 65 37 37/(1i) 2837/(1i) ou
(1i) 37/281,321428 Portanto i
32,142857 a.m.c/c.m. na primeira condição à
prazo. A segunda condição à prazo será vista após
o exemplo à seguir.
44
Exemplo 2 Quanto será que uma pessoa teria se
aplicasse 10 reais ao final de todos os meses à
taxa de juros do exemplo anterior, durante 10
anos (120 meses)? Fn 10 10(1i)10(1i)
2...10(1i) 119 Fn 101(1i)(1i)2
...(1i)119 A expressão Fn'
1(1i)(1i)2... (1i)119 A
multiplicada por (1i) resulta Fn(1i)
(1i)(1i)2... (1i)119 (1i)120 B
Fazendo (B - A) tem-se Fn(1i) - Fn
(1i)120- 1 ou Fn' (1i)n -1/i ou Fn
A(1i)n -1/i Simbolicamente F A
(F/Ain) Esta relação de equivalência também
permite obter o valor de "A" conhecendo-se o
valor de "F" A Fxi/(1i)n -1 Simbolicamente
A F (A/Fin)
45
No exemplo Fn 10(1i) 120 -1/i Fn
10(10,32142857)120 -1/0,32142857 Fn
1,04E16 Valor extremamente grande. Utilizando
uma taxa de juros menor, por exemplo para i 5
ao mês com capitalização mensal teríamos Fn
10(10,05) 120 -1/0,05 Fn
69.582,40 ExemploQual a taxa de juros para a
segunda alternativa à prazo do exemplo No.1
(curso de Métodos de Estudo do Prof. Renato Luiz
Chaves). P 65 27 27/(1i) 27/(1i)2 65
2711/(1i)1/(1i)2 Genericamente, teríamos
P AA1/(1i)1/(1i)2...1/(1i)n A
expressão P A1/(1i)1/(1i)2...1/(1i)n
(1) pode ser simplicada da seguinte forma
46
Multiplicando tudo por (1i) tem-se P.(1i)
A(11/(1i)...1/(1i) n-1
(2) Subtraindo a expressão (1) de (2)
tem-se (2) - (1) P(1i) - P A1-1/(1i) n
A(1i) n -1/(1i) n ou P
A(1i) n - 1/(1i) n x i Simbolicamente
P A (P/Ain) Pode-se também
calcular "A" conhecendo-se "P", aplicando-se a
relação inversa A P(1i) n x i/(1i) n -
1 ou A P (A/Pin) Caso o valor de n
seja infinito P A/i ou A P x i
ou i A/P Para obter esta última
relação de equivalência procura-se o limite
quando n tenda a infinito da expressão (1i)
n -1/(1i) n x i. Para eliminar a
indeterminação divide-se o numerador e o
denominador por (1i) n
47
No exemplo temos 65/2711/(1i) 1/(1i)
2 2,407407 11/(1i)1/(1i) 2 1,407407
1/(1i)1/(1i)2 Resolvendo por tentativas
temos "i"
1/(1i)1/(1i)2 0,2
1,527777 0,25 1,44 0,26
1,423532 0,27
1,407402 Portanto a taxa nesta 2a.
alternativa é de 27
48
Esses cálculos são facilitados pelos computadores
e máquinas de calcular financeiras.
Em computador é comum o uso de Programa com
planilhas de cálculo como o Excell. Neste caso
monta-se o fluxo de caixa e entra-se em Inserir
- Função - Financeira - TIR (inserir os valores
do fluxo de caixa e uma taxa estimada próxima do
resultado).
Nas máquinas de calcular financeiras, são
considerados dados ou incógnitas os seguintes
elementos Nnúmero de períodos iTaxa de juros
em porcentagem (TMA ou TIR se incógnita) PvValor
Presente A ou Pmtvalor constante por
período FvValor Futuro Usar os valores
monetários com o sinal - para custos e (ou sem
sinal) para receitas
49
Introduzir na calculadora ou nos programas de
computador os seguintes dados para este exemplo
N 2 Pv -65-(-27 - 38 APMT 27
Fv0 em seguida Solicita-se o valor
de "i", obtendo-se i26,9997123126 Cabe a
pergunta Será que o Prof. Renato estaria
perdendo dinheiro nesta segunda alternativa? O
investimento na 2a. alternativa (65-27) é maior
do que o investimento na 1a. alternativa a prazo
(65-37). Como o maior investimento da 1a.
alternativa (38) tem uma taxa menor que o menor
investimento da 2a. alternativa (28),
necessita-se calcular qual a taxa do investimento
extra. Para isso subtraímos os fluxos de caixa
obtendo Pv Investimento adicional 38-28
10 Após o primeiro período temos (27 - 37) -10
ou seja deixa-se de ganhar 10 reais Após o
segundo período ganha-se 27 reais na 2a.
alternativa.
50
Dessa forma a taxa do investimento adicional pode
ser calculada fazendo-se 10 - 10/(1i)27/(1i)
2 Por tentativas tem-se i
-10/(1i) 27/(1i) 2 Total 10
-9,090909 22,31404 13,22314 12
-8,928571 21,52423 12,59566 15
-8,695652 20,41587 11,72022 20
-8,333333 18,75 10,41666 25
-8 17,28
9,28 21 -8,264462 18,44136
10,17690 21,50 -8,230452 18,28989
10,05944 Portanto pode se dizer das alternativas
anteriores que Na primeira alternativa a prazo o
Prof. Renato aplica seus recursos há 32 por um
mês e em seguida segue aplicando na TMA.
51
Na segunda alternativa o Prof. Renato aplica
seus recursos há 27 durante dois meses. Para
saber qual o melhor investimento temos que
conhecer qual a TMA do professor. Pode-se
calcular qual o capital do Prof. Renato após 2
meses em função de valores atribuidos para a
TMA TMA 10 A vista 65.(10,1) 2
78,65 1a. Alt.prazo 37(10,1) 2
37(10,1) 85,47 2a. Alt.prazo
27(10,1) 2 27(10,1)27 89,37 25
A vista 65.(10,25) 2 101,5625
1a. Alt.prazo 37(10,25) 2 37(10,25)
104,0625 2a. Alt.prazo 27(10,25) 2
27(10,25) 27 102,9375
52
Neste exemplo até uma TMA de 21,75 a 2a.
Alternativa a prazo é melhor, com taxas maiores
que este valor a 1a. Alternativa a prazo é a
melhor até 31,14 se a TMA fosse superior à
31,14 ao mês, com capitalização mensal (valor
esse extremamente elevado e que, certamente, só
ocorre na prática, em casos muito especiais) a
melhor alternativa para o professor seria receber
o pagamento à vista. Portanto esse exemplo,
serve para demonstrar que nem sempre o
investimento com a maior taxa interna de retorno
é o melhor. Caso os investimentos pudessem ser
duplicados, a maior taxa interna de retorno
seria sempre a melhor.
53
EXEMPLO CÁLCULO DA TIR DE UM EMPREENDIMENTO DE
CONSTRUÇÃO CIVIL
RespostaTIR 8,192 a.m.c/c.m sem aplicar no
terreno TIR27,81
Qual o número de meses (n) de prazo total para
vender se a TIR desejada for de 3a.m.c/c.m ou
1a.m.c/c.m? Resposta8,7 meses ou 24 meses
54
SÉRIE DE GRADIENTE UNIFORME ARITMÉTICO O valor
das parcelas dos períodos de tempos consecutivos
aumentam de um valor constante (chamado de
gradiente G) e não ocorre nenhum valor no
primeiro período da série.
O valor futuro (F) da série de gradiente uniforme
é obtido considerando que a mesma seja composta
de várias séries constantes uniformes e usando as
fórmulas de relações de equivalência já
apresentadas F G(1i)n-1 - 1/i G(1i)n-2
- 1/i G(1i)n-3 - 1/i ... G(1i)2 - 1/i
G(1i)1 - 1/i ou colocando em
evidência F G/i(1i)n-1 (1i)n-2 (1i)n-3
... (1i)2 (1i)1 - (n -1) Lembrando-se
da dedução do valor futuro das séries constantes
uniformes F G/i(1i)n - 1/i - n
ou F G(1i)n -1/i2 - n/i ou
simbolicamente FG(F/Gin)
55
Exemplo Um veículo pode ser adquirido por R
20.000 prevendo-se custos de manutenção e
operação de R 1.000 no primeiro ano de operação
R 2.000 no segundo ano R 3.000 no terceiro ano
e assim por diante. Pretende-se vender o veículo
por R 10.000 após 5 anos. Pergunta-se Qual o
custo anual uniforme equivalente deste veículo
para uma empresa que possui TMA de 20
a.a.c/c.a.? A -20.000 (A/P205) 10.000
(A/F205) - 1.000 - 1000(A/G205) A
-20.000x0,33438 10.000x0,13438 - 1.000 -
1.000x1,641 Resposta A R 7.984,80
56
SÉRIE DE GRADIENTE GEOMÉTRICO
Valores do diagrama do fluxo de caixa aumentam
numa taxa geométrica.
P A/(1TMA) x(1g)/(1TMA)n - 1 /
(1g)/(1TMA) -1
Exemplo Calcular o valor presente dados A
100,00 g 10 TMA 8 n5 P 100/1,08
x (1,1/1,08)5 - 1 / (1,1/1,08) -1
480,42 Para n 100 resultaria P
26.322,97 e F 57.904.249,56
57
EXEMPLO DE RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA COMPRA E
VENDA
Seja um equipamento com 3 alternativas de venda
a)Venda à vista por R 10.000,00 b)Venda à
prazo com R 5.000,00 de entrada e mais 5
prestações mensais iguais à R 1.500,00 cada
uma. c)Venda à prazo com R 3.000,00 de entrada
e mais 10 prestações mensais iguais à R 1.000,00
cada uma. Escolher a melhor alternativa para o
comprador e o vendedor em função de suas
TMA. 1)Encontrar as TIR dos investimentos. Investi
mento "a-b" -gt P R 5.000,00 (R 10.000,00 - R
5.000,00) para receber (ou deixar de pagar) 5
prestações de R 1.500,00. R. "TIR a-b"
15,23 Investimento "a - c" -gt P R 7.000,00 (R
10.000,00 - R 3.000,00) para receber (ou deixar
de pagar) 10 prestações de R 1.000,00. R.
"TIR a-c" 7,07 Investimento "b - c" -gt P R
2.000,00 (R 5.000,00 - R 3.000,00) e mais 5
prestações de R 500,00 para receber (ou deixar
de pagar) e após mais 5 meses outras 5 prestações
de R 1.000,00. R. "TIR b-c" é dada por P 0
-2.000 - 500(P/Ai5) 1.000(P/Ai5)(P/Fi5) TI
R 1,67 --gt as alternativas "b" e "c" são
equivalentes.
58
2)Calcular valores presentes das 3 alternativas
para "TIRs" anteriores e para outros valores
arbitrados para a TMA.
RESPOSTA
Comprador deverá escolher a 1a. alternativa se
tiver "TMA" entre 0 e 7,07 e a 3a. alternativa
se tiver "TMA" maior que 7,07. Vendedor obteria
os mesmos valores do quadro anterior só que com
resultados positivos, portanto deveria escolher
a 3a. alternativa para "TMA" entre 0 e 1,67
escolher a 2a. alternativa para "TMA" entre 1,67
e 15,23 e escolher a 1a. alternativa (venda à
vista) se sua "TMA" fosse gt 15,23.
59
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA - RESUMO
1000
0,1
10
163
----
1000
0,05
10
130
----
60
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA - RESUMO (Cont.)
P i n
A F
61
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - FATOR CAPITAL
1) Em quanto tempo um capital dobra se for
aplicado à taxa de 0,5 a.m.c/c.m. Idem se a taxa
for de 5 a.m.c/c.m. R. 139 meses e 14 meses.
2) Um estudante do 3o. ano de engenharia
pretende fazer seu curso de mestrado no exterior
para isso conta com uma bolsa de Iniciação
Científica da UFPR (R 300,00 por mês para 10
horas de trabalho semanal) e pretende
economizar R 3.000 até o final do curso (após
30 meses), já que morando com seus pais ainda não
tem grandes despesas. Quanto terá que economizar
mensalmente durante os 30 meses se a)Depositar
as economias na Caderneta de Poupança (taxa de 6
a.a.c/c.m.)? R. R 92,94 b)Depositar numa Empresa
de Factoring ou emprestar para comerciantes que
paga a taxa de 10 ao bimestre c/c.m.? R. R
45,15
62
c)Iniciar sua empresa de engenharia prevendo uma
taxa de 80 ao ano.c/c.semestral.Obs. Desprezar a
inflação. R. R 66,40
3) Um estudante deseja fazer um curso de mestrado
daqui a 3 (três) anos, para o qual há necessidade
de dispor, na época de início do curso, de R
5.000,00. O estudante para isso resolve vender
seu carro atual, pelo valor de R 15.000,00,
aplicar certa quantia em empresas que pagam 5
a.m.c/c.m e comprar um carro mais barato.
Pergunta-se qual o valor máximo, à vista, do novo
carro? Obs. Desprezar a inflação. R. R
14.137,00 4) É possível comprar um apartamento de
R 100.000,00 daqui a 5 anos, economizando R300
por mês? a) Em que condições (taxa de juros)?
R. i 4,853 a.m.c/c.m. b) Se a pessoa deixar
suas economias depositadas em caderneta de
poupança (taxa de 0,5 a.m.c/c.m.) quantos anos
serão necessários para esta mesma compra. Obs.
Desprezar a inflação. R. 196 meses.
63
5) Um estudante do 3o. ano de engenharia estuda a
compra de um terreno em São José dos Pinhais.
Tendo em vista a instalação da nova fábrica da
Renault sabe que o valor deste terreno será de R
10.000,00 daqui a 2 anos . a)Qual o valor máximo
(preço à vista) que poderá pagar hoje pelo
terreno, se pretende receber à vista com a venda
do mesmo daqui a 2 anos uma TIR (taxa interna de
retorno) de 4 a.m.c/c.m. (ao mês com
capitalização mensal) ? R. R 3.901,21 b) Se o
estudante possue atualmente uma TMA (taxa de
mínima atratividade) de 2 a.m. c/c.m. e o preço
do terreno citado for de R 2.500,00 de entrada e
mais 10 prestações mensais de R350,00 o mesmo
deve ser adquirido? R. Sim a 2 ficaria com R
9.077,86 daqui a 2 anos.
64
6) A compra de um novo equipamento em uma dada
fábrica de pré-moldados, aumenta a produção do
único produto fabricado em 50 unidades mensais. O
preço a vista da máquina é de R 10.000,00 e seu
valor de revenda após 5 (cinco) anos é igual a R
4.000,00. Sabendo que a empresa tem uma TMA
4a.m.c/c.m., pergunta-se qual o preço mínimo de
venda de cada unidade para se justificar a compra
do equipamento?Obs. Desprezar todos os demais
custos (operação e manutenção). R. R 8,50.
65
FIM DA 2a. AULA - FATOR CAPITAL