Sem

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Semântica
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Roteiro

• Revisão
• Sintática x Semântica
• Interpretação Semântica
• Propriedades Básicas
• Relações entre Propriedades.

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Revisão

• O que é lógica?
• Estudo do raciocínio
• Começou com Aristóteles
• Argumento
• Proposições e premissas
• Consequência Lógica

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Revisão
5
Revisão

• Objetivo descobrir se o argumento é válido
• Argumento dedutivo
• Conclusão a partir das premissas
• Indutivo
• Probabilidade

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Revisão

• Alfabeto Lógica Proposicional
• Símbolos de pontuação ( ) ,
• Símbolos de verdade true, false
• Símbolos proposicionais P, Q, R, S, P1, Q1, P2,
  Q2...
• Conectivos proposicionais ?,v,, ? , ?

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Semântica

• Existe uma diferença entre os objetos e seu
  significado
• Existe um mundo sintático e um mundo semântico
• Sintático símbolos do alfabeto e fórmulas
  (consideradas apenas como concatenações de
  símbolos)
• Semântico significado dos símbolos e fórmulas
• Em Lógica, semântica é a associação entre um
  objeto sintático e seu significado, de forma a,
  num nível de representação, garantir inferências

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Gaiarsa
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Semântica

• P (símbolo sintático) representa
• Está chovendo
• Q representa
• A rua está molhada
• Quando a fórmula (PQ ) é Verdadeira?

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Interpretação

•  

11
Interpretação

•  

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Interpretação de fórmulas

• Dado uma fórmula E e uma interpretação I, então o
  significado de E (IE) é dado pelas seguintes
  regras
• Se EP, onde P é um símbolo proposicional,
  IEIP
• Se H é uma fórmula e E?H, então
• IEI?HT se IHF e
• IEI?HF se IHT

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Interpretação de fórmulas (cont.)

• Se H e G são fórmulas, e E(HvG), então
• IEIHvGT se IHT e/ou IGT e
• IEIHvGF se IHF e IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(HG), então
• IEIHGT se IHT e IGT e
• IEIHGF se IHF e/ou IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(H?G), então
• IEIH?GT se IHF e/ou IGT e
• IEIH?GF se IHT e IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(H?G), então
• IEIH?GT se IHIG
• IEIH?GF se IH ? IG

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Interpretação de uma fórmula

• Se temos a fórmula H((?P)v(?Q))?R e a
  interpretação IPT,IQF,IRT
• IH True

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Interpretação de uma fórmula (cont.)

• Se E ((?P)Q)?(RvP1) e H(E?P) e as
  interpretações I e J
• IPT,IQF,IRT,IP1F
• IH?
• True
• JPF,JQT,JRF
• JH?
• True

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Propriedades semânticas básicas

• Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e
  somente se para toda interpretação I, IHT
• H é factível ou satisfaztvel se existe uma
  interpretação I tal que IHT
• H é contraditória ou insatisfatível se e somente
  se para toda interpretação I, IHF
• H é Falsificável se existe uma interpretação I
  tal que IHF

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Propriedades semânticas básicas (cont.)

• Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e
  somente se IHT
• Dadas 2 fórmulas H e G,H?G para toda
  interpretação I, se IHT então IGT
• Dadas H e G,H?G para toda interpretação I ser
  satisfatível, IHIG

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Exemplo de Tautologia

• A fórmula HPv?P é uma tautologia, pois toda
  IHT
• IHT DIPv?PT
• D IPT e/ou I?PT D
  IPT e/ou IPF
• (D aqui quer dizer o mesmo que, equivale a)

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Exemplo de Satisfatibilidade

• A fórmula H(PvQ) é satisfazível, pois há
  interpretações que a interpretam como verdadeira.
• H é tautologia? Por quê?

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Exemplo de Contradição

• A fórmula H(P?P) é contraditória
• Suponham (por absurdo) que exista IHT
• IHT D IP?PT
• D IPT e I?PT D IPT e
  IPF

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Exercícios

• Quais das fórmulas abaixo são tautologias,
  satisfazíveis ou contraditórias?
• H1P1vP2vQ?Q
• Tautologia
• H2P1P2Q??Q
• Satisfatível
• H3(Pv?P)?(Q?Q)
• Contraditória

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Implicação

• Se E((PQ)VQ) e
• H(PQ) e
• G(P?Q)

• E ?G?
• E ?H?
• H ?G?
• H ?E?
• G ?H?
• G ?E?

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Exercício

• Prove que se temos as fórmulas proposicionais
  H(PQ) e GP, então H ? G
• Se HF, G?
• Tabela Verdade
• Se IH T

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Equivalência

• Exemplo (Lei de Morgan)H(?P?Q) e G?(PvQ)
• Temos que demonstrar que, para toda interpretação
  I, IHIG
• Casos IHT e IHF

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(?P?Q) ? ?(PvQ) ?

• Caso IHT
• IHT
• D I?P?QT
• D I?PT e I?QT
• D IPF e IQF
• D IPvQF
• D I?(PvQ)T
• D IGT
• D IHT
• D IHIG

• Caso IHF
• Exercício ou
• Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas

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Relações entre as Propriedades Semânticas

• Validade e factibilidade
• H é válida D ?H é contraditória
• H é válida a H é satisfazível
• (a quer dizer se então)
• ?H não é satisfazível D ?H é contraditória