Deformierbare Medien

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Deformierbare Medien
Ideales Gas Volumenänderung bei kleinem
Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit
Ideale Flüssigkeit Keine Volumenänderung
(inkompressibel) Formänderung ohne Arbeit (reale
Flüssigkeit innere Reibung, Oberflächenkräfte)
Fester Körper Volumenänderung erfordert (große)
Kraft Formänderung unter Kraftwirkung. Extreme
a) elastische Verformung, b) plastische
Formänderung. Auch Zwischenformen!
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Deformierbare feste Körper
Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen
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Dehnungselastizität
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Dehnung Hookesches Gesetz
Formel SI Einheit Anmerkung
1 N / m2 Dehnung
E 1 N / m2 Elastizitätsmodul
1 Dehnung, relative Längen Änderung
1 N / m2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche)
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Beispiele für Elastizitätsmoduli
Formel Einheit Erläuterung Erläuterung Erläuterung
Spannung Spannung Spannung
1 Dehnung, relative Längenänderung Dehnung, relative Längenänderung Dehnung, relative Längenänderung
Elastizitätsmodul, Beispiele Elastizitätsmodul, Beispiele Elastizitätsmodul, Beispiele
Material
Fe
Al
Glas
Holz (Esche)
Gummi
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Voraussetzung Das Hookesches Gesetz gelte im
Material

• sowohl bei Dehnung
• als auch bei Verdichtung

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Die Poisson-Zahl

• Wird das Material verlängert, dann wird sein
  Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd
  konstant bleibt.
• Das Verhältnis der relativen Änderungen des
  Durchmessers und der Länge heißt Faktor der
  Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt
  zwischen 0,2 und 0,5.

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Die Poisson-Zahl
ist die Poisson-Zahl,
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Spannung und Dehnung
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Elastizitätsmodul
11
Spannungs-Dehnungs-Diagramme
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E-Modul und Zugfestigkeit
13
Scherspannung
Scherwinkel
14
Torsion eines Drahts
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Festkörper und Flüssigkeiten

• Die atomaren Baugruppen liegen in beiden
  Aggregatzuständen auf Kontakt deshalb ist die
  Dichte eines Materials in beiden
  Aggregatzuständen praktisch gleich
• Aber Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw.
  Torsion instabil

Flüssig
Fest
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Druck in Flüssigkeiten

• Im Unterschied zum Festkörper kann eine
  Flüssigkeit keine Scherspannung aufbauen (der
  Schubmodul ist 0)
• Flüssigkeiten können Behälter beliebiger Form
  ausfüllen
• Taucht man einen Körper in eine Flüssigkeit,
  so wirken Kräfte auf die Oberfläche des Körpers.
• Flüssigkeiten üben auch Kräfte auf die
  Behälterwände aus.

Gestaltsänderung
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Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper
Druck p
1
0
Kraft F
0,5
Volumenänderung ?V
Volumen V
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Kompression Formveränderung durch Druck auf
Festkörper und Flüssigkeiten
Einheit
1 Die relative Änderung des Volumens ?V/V ist proportional zum Druck p
K 1/Pa Kompressionsmodul
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Kompressionsmodul einiger Materialien
Einheit Kompressionsmodul K
Wasser 1 Pa
Benzol 1 Pa
Kupfer 1 Pa
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Kompressibilität Beispiele
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Kompressibilität
Bei Flüssigkeiten ist die Kompressibilität meist
so klein, daß schon geringe Volumenänderungeen
eine sehr große Druckänderung bewirken.
Einige Werte für Kompressibilitäten
H2O k510-10 Pa-1
Benzol k110-9 Pa-1
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Hydraulische Kraftverstärkung
Druck p
1
0
Kraft F2
0,5
Fläche A2
Kraft F1
Fläche A1
Der Druck in diesem statischen System ist überall
der gleiche
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Hydraulische Kraftverstärkung
Einheit
1 Pa Konstanter Druck im System
1 N Kraft an der Fläche 2
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Hydraulische Presse
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Flüssigkeiten unter dem Einfluß der
Gravitationskraft
26
Flüssigkeitsmanometer
27
Flüssigkeitsbarometer
28
Bodendruck in Gefäßen
29
Bodendruck in Gefäßen (Erklärung)
30
Auftrieb
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Die Auftriebskraft
F(h1)
h1
p(h1)
h2

p(h2)
F(h2)
Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper
Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers
Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft
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Die Auftriebskraft
Einheit
1 N Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1
1 N Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2
1 N Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht
1 N Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht
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Bedingung fürs Schwimmen ?K lt ?Fl

?Fl
Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des
Mediums Die Auftriebskraft minus der
Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben
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Bedingung fürs Schweben ?K ?Fl

?Fl
Die Dichte des Körpers ist gleich der des
Mediums Die Auftriebskraft ist gleich der
Gewichtskraft es gibt keine beschleunigende
Kraft
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Bedingung fürs Sinken ?K gt ?Fl

?Fl
Die Dichte des Körpers ist größer als die des
Mediums Die Gewichtskraft minus der
Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten
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Kräfte an einem Körper
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Auftriebsmethode nach Archimedes
Heureka
???
Goldene Krone ???
Wiegen in Luft
Archimedes 287-212 BC
Hiero II, König von Syrakus 306-215 BC
Wiegen in Wasser
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Problem des Archimedes
39
Gesetz des Archimedes
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Ideale stationäre Strömungen
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Die Volumenstromstärke

• Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit
  ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt

Zeit dt
10
0
5
ds
A
dV
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Die Volumenstromstärke
Einheit
1 m3/s Volumenstromstärke
A 1 m Querschnittsfläche des Rohres
v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit
Zeit dt
0
10
ds
A
5
dV
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Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit
  veränderlichem Querschnitt
• Die Kontinuitätsgleichung besagt
• Die Volumenstromstärke ist konstant unabhängig
  vom Querschnitt

Zeit dt
10
0
5
44
Die Kontinuitätsgleichung
dV
dV
Das in einem Zeitintervall transportierte
Volumen ist in beiden Röhren gleich
45
Die Kontinuitätsgleichung
Einheit
1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt
1 m3/s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung
1 m3/s Kontinuitätsgleichung Die Volumenstromstärke ist konstant unabhängig vom Querschnitt
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Der menschliche Blutkreislauf
Wird die Kontinuitätsgleichung auf den
menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die
geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren
verständlich, ohne die lebensnotwendige
Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße
stattfinden können.
Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm
. In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut
durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine
mittlere Strömungsgeschwindigkeit von

20,8 cm
s-1. Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche
der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man
eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von

0,017
cm s-1.
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Kontinuitätsgleichung
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Der Bernoulli Effekt

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit
  veränderlichem Querschnitt
• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die
  Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

49
Der Bernoulli-Effekt
Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt
der Druck
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Versuch zur Bernoulli-Gleichung

• Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindi
  gkeit einer Flüssigkeit
• Niederer Druck in den Rohren mit kleinem
  Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit
• Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und
  kleiner Strömungsgeschwindigkeit

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Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des
Mediums Kraft mal Weg
Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt
zurückgelegt
52
Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu
versetzen
Volumen links Volumen rechts
1 J Kraft mal Weg
1 J Arbeit gegen den Druck
A1
A2
Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt
53
Kontinuitätsgleichung beim Übergang
Einheit
1 m3/s Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten
1 m3/s Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten
1 m3 Konstante Volumina
Zeit dt
10
0
A1
5
A2
Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird,
ist zu beiden Seiten gleich
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Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu
versetzen
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren
1J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren
A1
A2
Zur Beachtung Das Volumen im kleinerer Rohr
bewegt sich schneller
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Die Überraschung der Bernoulli Gleichung

• Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina
  sind in beiden Röhren gleich
• Aber Die dazu benötigte Arbeit ist
  unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden
  Röhren unterscheidet
• Q Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche
  Arbeit zum Versetzen zu erwarten?
• A Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr
  mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

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und um ein Volumen dV zu beschleunigen
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung
1J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung
1 J Energieerhaltung
dV
dV
Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das
Medium beschleunigt
57
Die Bernoulli-Gleichung
1 J Die Masse wird durch m?dV ersetzt
1 Pa Bernoulli Gleichung Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab
p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen
v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen
? 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums
58
Druckverteilung in Rohren
59
Druckverteilung in Rohren
Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr
wird eine Verengungsstelle eingebaut und der
Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen
(Venturirohr)
Wie groß ist der Wasserstrom (? 1000 kg/m3),
wenn bei einer Verengung von d1 80 mm auf d2
60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt?
60
Druckverteilung in Rohren
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt
Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung
Der Volumenstrom ist somit
61
Bernoulli-Gleichung
62
Energieänderungen
63
Energieänderungen
64
Energiebilanz
65
Bernoulli-Gleichung
66
Gesetz von Torricelli
67
Loch im Wassertank
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Fragen zu deformierbaren Medien

1. An einem 1m langen Stahldraht (E1011N/m2) der
   Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres
   Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die
   Längenänderung?
2. Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil
   (Rm520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm
   hängen?
3. Eine Kugel (Vkugel10-7 m3) wird in eine mit
   Wasser (k510-10 Pa-1) gefüllte Kiste
   (Vkiste10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die
   Druckänderung?