Sistemas Periciais Tradicionais

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Sistemas Periciais Tradicionais

• Funcionam assumindo que tudo é Verdadeiro ou
  Falso
• Qualquer regra cujas condições sejam satisfeitas
• é disparável
• ? as suas conclusões são Verdadeiras
• Estas assunções são simplistas
• ? e conduzem a Sistemas Periciais Frágeis

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Fontes de Incerteza

• Informação incompleta
• Informação imprecisa
• Raciocínio com Incerteza exige
• Quantificação de Incerteza
• Método de combinação dos valores de Incerteza

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Principais Abordagens
Métodos
Quantitativos
Qualitativos
Valores
Conjuntos
Lógica Não Monotónica
Conjuntos Vagos
Unário
Binário
Dempster-Schafer
Probabilidades
Fact. Certeza
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Comparação das Teorias Quantitativas
Conj. Vagos
Fact. Certeza
Demp.-Schafer
Bayes
Método
Moderada
Fraca
Forte
Forte
Fundamentos Teóricos
Moderada
Baixa
Moderada
Baixa
Complexidade Computacional
Moderada
Baixa
Moderada
Moderada
Dificuldade Construção Modelo
Baixa
Baixa
Moderada
Moderada
Dificuldade Execução do Modelo
Baixa
Baixa
Moderada
Moderada
Complexidade da Teoria
Fácil
Fácil
Difícil
Moderada
Facilidade de Aplicação
5
Como escolher ?
6
Fontes de Incerteza

• Dada a regra
• Regra R1 Se A B então C
• Existem três potenciais áreas de Incerteza
• Incerteza nos dados (quão verdadeiros são A e B)
• Incerteza na regra (com que frequência A B
  implicam C)
• Imprecisão em geral
• As duas primeiras podem ser tratadas usando
  Probabilidades
• A terceira usando Lógica Fuzzy

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Teoria da Probabilidade

• É uma aproximação matemática para processar
  informação incerta
• As suas raízes remontam ao séc. XVII, foi criada
  por um grupo de jogadores franceses, com o
  intuito de tornar o jogo menos aleatório
• Mais tarde Pascal e Fermat desenvolveram a Teoria
  da Probabilidade Clássica usada ainda hoje para
  extrair inferências numéricas de dados
• Propõe a existência de um valor P(E)
  Probabilidade - que consiste na possibilidade de
  ocorrência de um evento E a partir de uma
  experiência de eventos aleatórios
• Ou seja, se realizarmos uma determinada
  experiência um número considerável de vezes,
  então podemos ter quase a certeza que a
  frequência relativa do evento E é aproximadamente
  igual a P(E)
• O conjunto de todos os possíveis resultados de
  uma experiência é denominado espaço da amostra S.

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Probabilidade Discreta

• Experiências com resultados discretos
• P(E) W(E)/N
• em que W(E) nº de vezes que um particular
  evento
• Ocorreu N nº de experiências realizadas
• Exemplo
• Considere-se o seguinte espaço resultante da
  experiência de rodar uma moeda
• S 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Cada evento neste espaço da amostra representa um
  possível resultado da experiência. N será o
  número de vezes que a moeda é rodada e W(E) o
  número de resultados de um particular evento.
• A probabilidade de cada evento neste espaço
• P(E) W(E)/N 1/6

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Probabilidade Contínua

• Espaços contínuos
• Em vez de calcular a probabilidade de um evento a
  partir de um conjunto discreto eventos, existe
  necessidade de calcular valores intermédios a
  partir de um conjunto de valores contínuos.
• Daí que seja necessário uma função de calculo da
  probabilidade da distribuição do evento.

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Probabilidade Contínua

• Probabilidade experimental
• Define a probabilidade de um evento P(E) como o
  limite de uma função de frequência de
  distribuição f(E)
• P(E) lim f(E)/N
• N??
• sendo f(E) frequência de observação de um
  evento
• Este tipo de probabilidade é também conhecido por
  probabilidade à posteriori o que significa
  após o evento.
• 0 lt P(E) lt 1
• ? P(Ei) 1
• 
  i
• P(E) P(E) 1 sendo E o
  complemento de E

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Probabilidades Compostas

• Em muitos problemas é necessário considerar
  combinações de diferentes eventos, por exemplo,
  calcular a probabilidade de ocorrência de dois
  eventos diferentes, ou a probabilidade de nenhum
  deles ocorrer.
• Intersecção
• Para problemas relativos a múltiplos eventos, é
  necessário determinar a intersecção dos espaços
  das amostras de todos os eventos. A partir disto
  é possível determinar a probabilidade conjunta
• P(A ? B) n(A ? B) / n(S) P(A) P(B) ?
  fórmula válida para eventos
  independentes
• sendo P(A)
  n(A)/n(S)
• Exemplo
• Considere-se a probabilidade de retirar do
  conjunto S 1, 2, 3, 4, 5, 6 um número ímpar e
  um número divisível por 3 dois eventos
  independentes.
• A 1,3,5 B3,6 A ? B 3 P(A)
  3/6 P(B) 2/6 P(A ? B) 1/6
• Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um
  número ímpar e divisível por 3 é de 1/6.

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Probabilidades Compostas

• União
• Por vezes pode ser necessário determinar a
  probabilidade de nenhum ou vários eventos
  ocorrerem
• P(A ? B) P(A) P( B) - P(A ? B)
• Exemplo
• Considere-se a probabilidade de retirar do
  conjunto S 1, 2, 3, 4, 5, 6 um número ímpar
  ou um número divisível por 3 dois eventos
  independentes.
• A 1,3,5 B3,6 A ? B 3
• P(A) 3/6 P(B) 2/6 P(A ? B) 1/6
• ou P(A ? B) 3/6 2/6 1/6 2/3
• Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um
  número ímpar ou divisível por 3 é de 2/3.

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Probabilidade Condicional

• São usadas quando os eventos não são mutuamente
  exclusivos, ou seja, quando os eventos se podem
  influenciar.
• A probabilidade de ocorrência de um evento A
  sabendo que um evento B ocorreu é chamada
  Probabilidade Condicional e é dada por
• P(A B) P(A ? B) / P(B)
• A probabilidade condicional permite obter a
  probabilidade de um evento A sabendo que o evento
  B ocorreu
• Exemplo
• Qual a probabilidade de se retirar do conjunto S
  o número 3 (evento A) sabendo que um número
  divisível por 3 ocorreu (evento B)
• P (A B) n (A ? B) / n (S) / n(B)/n(S) n (A
  ? B) / n ( B )
• 1/6 / 2/6 1/2

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Fórmulas Básicas de Probabilidade

• Regra do Produto Probabilidade de conjunção de
  dois eventos A e B
• Regra da Soma Probabilidade de disjunção de dois
  eventos A e B
• Teorema da Multiplicação de Probabilidades
  permite calcular a probabilidade de ocorrência
  simultânea de vários eventos a partir das
  probabilidades condicionais
• P(A1 ? ... ? An ) P(An /A1 ? ... ? An-1)
  ... P(A2 /A1) ? P(A1)

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Teorema da Probabilidade Total
Se os eventos B1,..,Bn são mutuamente exclusivos
e formam uma partição certa do evento A
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Probabilidade à Posteriori

• A probabilidade condicional permite obter a
  probabilidade de um evento A sabendo que o evento
  B (anterior a A) ocorreu
• Muitas vezes estamos interessados na situação
  inversa
• Qual é a probabilidade de um anterior evento ter
  ocorrido sabendo que um evento posterior ocorreu
  ?
• ? Probabilidade à Posteriori
• O problema em determinar a probabilidade à
  posteriori foi resolvido por Thomas Bayes sendo
  conhecido por Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes

• P(h D) probabilidade à posteriori de h dado D
  (reflecte a confiança da hipótese h depois de se
  observar D)
• P(D h) probabilidade de D dado h
• P(h) probabilidade a priori da hipótese h
  (representa o conhecimento de domínio, se este
  conhecimento prévio não existir pode ser
  atribuída a mesma probabilidade a cada hipótese
  candidata)
• P(D) probabilidade a priori de D (sem
  conhecimento prévio)

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Teorema de Bayes

• A aplicação do teorema de Bayes como
  classificador requer que se conheçam
• duas probabilidades a priori - p (decisãoi)
• uma probabilidade condicional - p (x
  decisãoi)
• Em recursos ricos estatisticamente, é possível
  determinar a probabilidade das hipóteses serem
  verdadeiras, através de algumas evidências acerca
  do problema

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Teorema de Bayes

• O Teorema de Bayes é usado no desenvolvimento de
  Sistemas Periciais
• Dada a estrutura de uma regra típica
• If E then H (LS, LN)
• A fórmula de Bayes pode ser usada para calculo da
  probabilidade da hipótese H partindo da
  probabilidade apriori do facto E
• Exemplo
• Diagnóstico de avaria de uma máquina. Podemos
  observar os sintomas apresentados pela máquina
  mas o diagnóstico está relacionado com os eventos
  anteriores que causaram os sintomas que a máquina
  apresenta

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LS versus LN
As regras são da forma IF E THEN H (LS,
LN) E denota alguma Evidência H
representa alguma Hipótese LS Likelihood of
Sufficiency representa a medida de Suporte
da Hipótese H dada a Evidência E LS P(E
H) / P(E H) LN Likelihood of Necessity
representa a medida de descredito da Hipótese H
se a Evidência E estiver em falta LN
P(E H) / P(E H)
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LS versus LN
IF E THEN H (LS, LN) Ambos os factores LS e LN
são fornecidos pelo perito e são usados para
calcular a Probabilidade à Posterior da Hipótese
O ( H E ) Ambos os factores variam 0
lt LS lt ? 0 lt LN lt ? LS Efeito na
Hipótese 0 H é Falso quando E
é Verd ou E é necessário para concluir H Pequeno
E não é favorável para concluir H 1
E não tem efeito para concluir H Grande
E é favorável para concluir H ? E
é logicamente suficiente para concluir H
22
LS versus LN
LN Efeito na Hipótese 0 H
é Falso quando E ausente ou E é necessário para
concluir H Pequeno Ausência de E não é
favorável para concluir H 1 Ausência de
E não tem efeito para concluir H Grande
Ausência de E é favorável para concluir H ?
Ausência de E é logicamente suficiente para
concluir H
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Aplicação do Teorema de Bayes Diagnóstico Médico
Seja M doença meningite S dor no pescoço Um
Doutor sabe P(SM) 0.5 P(M) 1/50000
P(S) 1/20
P(MS) P(SM)P(M)
P(S) 0,5(1/50000) 0,0002 1/20 A
probabilidade de uma pessoa ter meningite dado
que ela está com dor no pescoço é 0,02 ou ainda
1 em 5000.
1 Probabilidade condicional
2 Probabilidades a priori
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Exercício

• Pacientes com problemas cardíacos são sujeitos a
  um electrocardiograma (ECG)
• Os resultados são classificados
• positivos (ECG) sugerindo doença cardíaca (DC)
• negativos (-ECG) no caso de não haver doença
  cardíaca (-DC)
• Assumindo que um dado paciente realizou um
  electrocardiograma positivo pretende-se saber
  qual a probabilidade deste ter doença cardíaca ?
• ? P(DC ECD)
• Sabendo que
• 10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco
• 90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca
  produziram um electrocardiograma positivo
• 95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca
  produziram um electrocardiograma negativo

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Exercício

• 10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco
• ? P(DC) 0.1
• ? P(-DC) 1- P(DC) 1 - 0.1 0.9
• 90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca
  produziram um electrocardiograma positivo (ECD)
• ? P(ECD DC) 0.9
• 95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca
  produziram um electrocardiograma negativo (-ECD)
• ? P ( -ECD -DC) 0.95
• ? P (ECD -DC) 1 - P(-ECD -DC) 1
  - 0.95 0.05
• P(ECD) P(ECD DC) P(DC) P(ECD -DC)
  P(-DC)
• 0.9 0.1 0.05 0.9 0,135
• P(DC ECD) P(ECD DC) P(DC) / P(ECD
  )
• P(DC ECD) 0.1 0.9 / 0,135 0.67 ? 67

26
Teorema de Bayes

• A aplicação do teorema de Bayes requer que se
  conheçam
• duas probabilidades a priori - p (decisãoi)
• uma probabilidade condicional - p (x
  decisãoi)
• Na prática estas probabilidades são desconhecidas
  
• Estimativas fiáveis destas probabilidades requer
  um número infinito de exemplos
• Como ultrapassar o problema ?
• Assumindo simplificações no calculo de p (x
  decisão)
• O termo P(D) também pode ser escrito sob a forma
• P(D) P(D h) P(h) P(D h) P(h)

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Teorema de Bayes Generalizado

• Conjunto de evidências Ei
• Conjunto de Hipóteses plausíveis Hj
• Assumindo que as hipóteses são
• mutuamente exclusivas e
• colectivamente exaustivas
• Suposição Bayesiana Naive ? P (a1, a2,
  ..., an / vj) ? P (ai / vj)
• 
  i
• P (Hj E1.... Em) P (Hi E1 ,..., Em)
  P(Hj )
• ? P (Hi E1 ,..., Em) P(Hj )

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PROSPECTOR

• PROSPECTOR - Sistema Pericial no domínio da
  Geologia
• desenvolvido para auxiliar os geólogos na procura
  de depósitos minerais Duda-79
• Um dos Sistemas Periciais mais populares de
  Aplicação da Teoria Bayesiana para Apoio à
  Decisão
• Dado o sucesso deste Sistema Pericial surgiu a
  Linguagem KAS que permite o desenvolvimento de
  Sistemas Periciais usando a Teoria Bayesiana de
  Probabilidades

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PROSPECTOR - Medida de Certeza

• Em vez de se usar P( E E) introduziram o
  conceito
• Medida de Certeza C ( E E) variável - 5 lt C
  ( E E) lt 5
• Se C ( E E) -5 então P ( E E) 0
• C ( E E) 0 então P ( E E) P(E)
• C ( E E) 5 então P ( E E) 1
• Para P(E Etotal) gt P(E)
• C(HE) 5 P(E Etotal) P(E) / 1-P(E)
• Para P(E Etotal) lt P(E)
• C(HE) 5 P(E Etotal) P(E) / P(E)

A razão principal para introduzir este conceito
prendeu-se meramente com questões psicológicas. É
mais fácil para um perito dizer Penso que
estou a apanhar uma constipação Do que dizer
A probabilidade de estar a apanhar uma
constipação é de 90
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Exemplo usando a Linguagem KAS

• Problema Decidir se compra ou não um carro
• Com base na seguinte rede de inferência

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Exemplo

• Regras que formam a rede de inferência
• Regra R1 Se Carro em Mau Estado
• Ou Preço do carro Elev
• Então Não compra carro
• Regra R2 Se Kilometragem do carro gt 100 000 Km
• E Carro de cidade
• E carroçaria degradada
• Então carro em mau estado
• Regra R3 Se carro tem amolgadelas
• Então carroçaria degradada LS 1000, LN
  0.001
• Regra R4 Se carro tem ferrugem
• Então carroçaria degradada LS 100, LN 1

32
Exemplo

• Regra R3 Se carro tem amolgadelas
• Então carroçaria degradada LS 1000, LN
  0.001
• Regra R4 Se carro tem ferrugem
• Então carroçaria degradada LS 100, LN 1
• A presença de amolgadelas no carro é muito
  favorável à conclusão Carroçaria degradada,
  enquanto que a não observação de amolgadelas é
  bastante desfavorável no suporte da conclusão
• No caso da regra R4 a ferrugem é de algum modo
  favorável ao suporte da conclusão, enquanto que a
  ausência de ferrugem não tem qualquer efeito na
  conclusão

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Exemplo

• Assumindo que todas as Probabilidades à priori
  das Evidências P( Ei ) 0,1
• Sistema KAS com que Grau de Confiança se pode
  assumir que
• a Kilometragem do carro é superior 100 000 Km ?
  Utilizador 5
• o carro é de cidade ? Utilizador 5
• o carro tem amolgadelas ? Utilizador
  4
• o carro tem ferrugem ? Utilizador -1
• o preço do carro é elevado ?
  Utilizador 1
• Conclusão A minha certeza em não comprar o Carro
  é de 3.97
• O valor da Confiança C(H1) 3.97 com base no
  intervalo -5, 5
• Sendo o valor mais próximo de 5 conclui-se
• Recomenda-se vivamente a não comprar o carro

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Operações Internas

• C(E3 E3) C(E4 E4) 5 o utilizador
  observando E3 e E4 está totalmente
  certo de E3 e E4
• C(E5 E6, E7) ?
• É calculado através do Teorema Bayes por
  manipulação das diversas fórmulas de
  Probabilidades
• C(E5 E6, E7) 3,97
• A confiança em E1 é dada pela conjunção das
  condições E3, E4, E5, pelo que
• C(E1) min 5, 5, 3,97 3,97
• A confiança em H1 é dada pela disjunção das
  condições E1 e E2
• C(H1) max 3,97, 1 3,97

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Inconvenientes da Abordagem Bayesiana

• Só é matematicamente correcta se os eventos
  respeitarem a independência estatística
• Requer a existência de valores difíceis de obter
  Probabilidades à Priori
• Não admite incerteza associada às evidências
• Alguns problemas em que os dados ou a informação
  está continuamente a ser alterada é necessário
  recalcular as probabilidades
• Em bases de conhecimento de dimensão apreciável,
  torna-se difícil efectuar alterações dado que se
  tem de verificar
• P(H1) P(H2) ... P(Hn) 1