Representa

1
Representação Geométrica

• Rodrigo de Toledo
• (CG1, UFRJ)

2
Níveis de escala

• Objetos do mundo virtual

• Textura

Aqui

• Representação dos objetos

• Nível fotométrico

3
Representação da geometria

• Implícita
• Equação determina a descrição geométrica
• Ex quádricas, cúbicas e torus
• Paramétrica
• Função determina regra de construção
• Ex Bézier, Nurbs
• Explícita
• A geometria é descrita ponto-a-ponto
• Ex malha de triângulo e mapa de alturas

4
Representação Geométrica Implícita

• Quádricas, cúbicas, etc...
• CSG

5
Exemplo círculo
Representação Implícita Representação
Paramétrica Representação Explícita
6
Superfícies implícitas

• superfícies implícitas são definidas por uma
  função
• f R3?R
• A função divide o espaço em três
• surperfíce f(x,y,z) ? 0
• interior f(x,y,z) lt 0
• exterior f(x,y,z) gt 0

f ? 0
f ? 0
7
Classificação das superfícies implícitas

• O grau da polinomial da função é que define o
  grau da superfície.
• Grau 2 quádricas
• Grau 3 cúbicas
• Grau 4 quárticas
• A quantidade de parâmetros S para cada grau p
  pode ser calculada usando

8
Quádricas

• Quádricas

Esfera x2 y2 z2 1
9
Representação matricial das quádricas

• Matriz simétrica Q4x4 contendo os 10 coeficientes

10
Classificação das quádricas

• Para entender a nomenclatura 3D, primeiro vamos
  ver a nomenclatura 2D...

11
Curvas em 2D
12
Classificação das Quádricas
Saddle Cela do cavalo

• vide wikepedia

13
Cúbicas
14
Quárticas

• Torus é a quártica mais conhecida

15
Qual a complexidade da equação do coração?
f(x,y,z) (2x2 y2 z2 1)3 0.1 x2 z3 y2
z3
16
Cálculo da normal à superfície

• Gradiente da superfície no ponto x,y,z
• Qual é a normal de uma quádrica?
• Qual é a normal normalizada do ponto x,y,z numa
  esfera de raio unitário?

17
CSG (Constructive Solid Geometry)
18
CSG

• Operações booleanas

Diferença
União
Interseção
19
CSG

• Objeto é representado por uma árvore
• Operadores em nós internos
• Primitivas simples nas folhas
• Combinação bottom-up
• Obs
• Como há operações não comutativas, as arestas são
  ordenadas
• Pode haver nós de transformação rotação,
  translação e escala...

20
Half-spaces

• Alguns sistemas CSG, além de primitivas sólidas,
  também fazem uso de half-spaces, ou seja, planos
  que dividem o espaço em dois
• Como definir um cubo a partir de half-spaces?
• 6 half-spaces
• Vantagem
• Para se fazer um corte, não precisa usar um
  objeto com vários lados.
• Desvantagem
• Problema de validação
• nem toda combinação pode resultar em um objeto
  válido
• (talvez só faça sentido usar para subtração)

21
CSG raytracing

• Um objeto em CSG é comumente descrito por
  combinações de objetos implícitos, cujos cálculos
  de interseção com a reta são conhecidos, tornando
  o raytracing de objetos CSG uma extensão natural.

22
CSG raytracing

• Realizar operações booleanas com sólidos nem
  sempre é uma operação fácil
• É mais fácil interpretar o que acontece com um
  raio atravessando esse sólido.
• redução do problema a cálculos em intervalos 1D

Goldstein and Nagel, 3-D Visual Simulation,
Simulation, January 1971.
23
CSG 1D
A
B
A ? B
A
B
24
CSG 1D
A
B
A ? B
A B
B A
A B
B A
A ? B
25
CSG 1D

• Classificação in/out por região

A B A ? B A ? B A B B A
in in in in out out
in out in out in out
out in in out out in
out out out out out out
A B A ? B A ? B A B B A
in in
in out
out in
out out
Exercício Preencher a tabela acima!
26
CSG Rasterização

• Também é possível visualizar sólidos CSG com
  rasterização
• Ordenação a posteriori dos fragmentos (pixels de
  cada primitiva)
• Vide
• Rossignac and Requicha, Depth-buffering Display
  Techniques for Constructive Solid Geometry, CG
  A, September 1986.

27
Algumas questões

• A ordem na árvore tem importância?
• Sim, verticalmente e horizontalmente (dif.).
• Existe uma representação única, dado um objeto
  final e suas primitivas?
• Não
• A árvore tem que ser binária?
• Os nós de união e interseção poderiam ter mais de
  um filho, mas diferença é sempre entre dois
  filhos.

28
Possíveis questões de prova
Monte a árvore CSG deste sólido, sabendo que as
folhas são 2 cilindros e 1 esfera
Monte a árvore CSG deste sólido e desenhe o que
acontece com o raio r ao longo do seu caminho
para cada nó da árvore à raíz.
in
out
29
Representação Geométrica Paramétrica

• Curvas paramétricas cúbicas
• Introdução
• Continuidade
• Algoritmo de De Casteljau
• Hermite, Bézier e Splines (B-Splines e Nurbs)
• Superfícies paramétricas bicúbicas
• Bézier...

30
http//www.cin.ufpe.br/marcelow/Marcelow/Ensino.h
tml
31
Curvas Paramétricas Cúbicas

• Por que paramétricas?
• são descritas em t
• f(t), 0 t 1

0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t
32
Por que cúbicas?

• Grau 3
• Por que não lt3?
• Pouca flexibilidade
• Por que não gt3?
• Computacionalmente caro
• Franjas indesejáveis (unwanted wiggles)
• Por que 3?
• Controle suave (derivadas) da curva passando em
  dois pontos
• Menor grau de curva em 3D

33
Paramétricas

• Por que não f(x), ao invés de f(t)?
• Mas como representar esses casos?

f(x)
x
34
Uma função para cada dimensão
35
(No Transcript)
36
Matricialmente

• Derivada em t ?

37
Algoritmo de De Casteljau
Interpolação x Aproximação
38
John Edson R. de Carvalho
39
12
12
40
Algoritmo de De Casteljau
P1
P12 (u)
u 0.25
P02 (u)
P01 (u)
P0
P2
41
Algoritmo de De Casteljau
P1
u 0.5
P12 (u)
P02 (u)
P01 (u)
P0
P2
42
Algoritmo de De Casteljau
P1
P01 (u)
u 0.75
P02 (u)
P12 (u)
P2
P0
43
Algoritmo de De Casteljau
P1
0 u 1
P02(u)
P2
P0
44
u 0.25
P1
P12
P02
P01
P0
P2
45
13
13
46
http//en.wikipedia.org/wiki/Bézier_curve
47
(No Transcript)
48
(No Transcript)
49
Peso (influência) de cada ponto
?bi(u) 1, 0 u 1
50
Juntando curvas

• Como representar uma curva grande?
• Poderia se usar uma curva de grau n (n grande
  para caramba ?)
• Ou, pode-se fazer emendas de cúbicas
• Mas nesse caso, queremos garantir uma boa
  continuidade no ponto de junção

51
Continuidade

• Geometric Continuity G0
• Duas curvas tem um ponto de junção
• G1
• Se no ponto de junção, a direção (não
  necessariamente a magnitude) do vetor tangente é
  igual para as duas curvas
• C1
• Se, além da direção, a magnitude for igual.
• C2
• Se a direção e magnitude da derivada segunda for
  igual.
• Cn
• Se a direção e magnitude de for
  igual.
• Para funções de grau alto, pode-se ter
  continuidade de grau ainda maior n-polinomial ?
  Cn-1
• Existe G2? Existe C0?

52
(No Transcript)
53
C0, C1, C2, C3, C4
54
Classificação das curvas

• Definidas por 4 constrains geométricas
• Bézier (4 pontos)
• Hermite (2 pontos e 2 tangentes)
• Splines
• São C1 e C2 nos pontos de junção
• Porém, não interpolam os pontos (aproximam)
• 3 tipos
• B-splines
• Nonuniform B-splines (Nurbs)
• ß-splines

55
Blending Function

• Matricialmente, podemos definir a curva como
• Vamos reescrever C como o resultado da
  multiplicação entre M e G, onde G são as
  constrains geométricas
• Blending Function B T M

56
Bézier

• 70s
• Como vimos no algoritmo de De Casteljau para
  construção de curvas de Bézier
• 4 pontos definem a curva de Bézier
• No caso acima, quem são G1, G2, G3 e G4?

57
Bézier

• No caso de Bézier, quais são os valores de M11 a
  M44?

Lembrando que (a-b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
e (a-b)2 a2 2ab b2
58
Últimas observações Bézier

• Fecho convexo

59
Últimas observações Bézier

• Como garantir que duas curvas de Bézier P0P1P2P3
  e P4P5P6P7 tenham
• Continuidade G0?
• Continuidade G1?
• Continuidade C1?
• Qual a grau de continuidade da seguinte curva?

60
Hermite

• 4 constrains geométricos
• 2 pontos e suas 2 tangentes

R1
P4
P1
R4
61
Hermite

• Hermite Blending Function
• Familia de curvas alterando magnitude e direção
  de R1

62
Splines

• Origem ducks usados para retorcer uma chapa de
  metal flexível (spline) na determinação de
  superfícies curvas para navios, aviões e carros.
• Observe que a spline interpola todos os pontos de
  controle
• A spline é contínua em C0, C1 e C2.

63
B-splines

• Splines tem duas desvantagens
• Os coeficientes dependem de todos os pontos de
  controle
• ou seja, mover um ponto de controle pode afetar
  toda a curva
• A computação depende de inversão de matrizes
• B-splines são uma solução
• Os segmentos dependem de alguns poucos pontos de
  controle
• Tem a mesma continuidade das splines
• Menor computação
• Porém não interpolam todos os pontos
• Uniforme x não-uniforme
• Se os pontos de controles estiverem
  equidistantemente distribuídos, então ela é
  uniforme
• Caso contrário não uniforme NURBS

64
Superfícies paramétricas
65
Superfícies paramétricas bicúbicas

• Multiplicação de duas curvas
• A informação geométrica que define uma curva é
  também em função de uma variável paramétrica
• Forma geral de uma superfície 3D

66
Superfícies paramétricas bicúbicas

• Vimos que um curva cúbica pode ser definida por
  (onde G é o vetor geométrico)
• Substituindo t por s (temos que ter outra
  variável para o caso das superfícies), então
• Imaginemos os pontos em G variando em 3D,
  parametrizado por t
• Se Gi(t) forem cúbicos, então Q(s,t) é uma
  superfície paramétrica bicúbica

67

• Cada Gi(t) TMG, é definido por Gi gi1,
  gi2, gi3, gi4T
• Usando (ABC)T CT BT AT,
• Gi(t) GTMTTT gi1, gi2, gi3, gi4T MT TT,
  
• Então
• Escrito separadamente

68
Superfícies de Bèzier
69
Retalhos de Bézier

• Curvas na fronteira são curvas de Bézier
• Qualquer curva para s ou t constante é uma curva
  Bézier
• Podemos pensar assim
• Cada linha da grade com 4 pontos de controle
  define uma curva de Bézier para o parâmetro s
• Ao avaliar cada curva para um mesmo s obtemos 4
  pontos de controle virtuais
• Pontos de controle virtuais definem uma curva
  Bézier em t
• Avaliando esta curva em um dado t resulta no
  ponto x(s,t)

x(s,t)
70
Propriedades dos Retalhos de Bézier

• O retalho interpola os pontos dos cantos da grade
  de controle
• Decorre das propriedades análogas das curvas de
  Bézier
• O plano tangente em um ponto do canto é dado
  pelas duas arestas da grade incidentes no ponto
• Decorre do fato que as curvas Bézier das
  fronteiras incidentes têm tangentes definidas
  pelas arestas correspondentes
• O retalho é restrito ao fecho convexo da grade de
  controle
• As funções de base somam 1 e são positivas em
  toda parte

71
Retalhos Bézier em Forma Matricial

• Se os pontos de controle não se modificam,
  pode-se pré-computar o produto das 3 matrizes do
  meio

72
Malhas de Retalhos Bézier

• São malhas compostas de diversos retalhos unidos
  ao longo de suas fronteiras
• As arestas das grades de controle precisam se
  justapor perfeitamente
• As grades precisam ser quadriláteros

OK
Não
Não
OK
73
Continuidade em Malhas de Retalhos Bézier

• Como no caso das curvas Bézier, os pontos de
  controle precisam satisfazer restrições para
  assegurar continuidade paramétrica
• Continuidade ao longo das arestas dos retalhos
• C0 ? Pontos de controle da aresta são os mesmos
  em ambos retalhos
• C1 ? Pontos de controle vizinhos aos da aresta
  têm que ser colineares e eqüidistantes
• C2 ? Restrições sobre pontos de controle mais
  distantes da aresta
• Para obter continuidade geométrica, as restrições
  são menos rígidas
• G1 ? Pontos de controle vizinhos aos da aresta
  têm que ser colineares mas não precisam ser
  eqüidistantes
• Para obter continuidade C1 nos vértices das
  grades
• Todas as arestas incidentes no ponto têm que ser
  colineares

74
Desenhando Retalhos Bézier

• Opção 1 Avaliar o retalho para um conjunto de
  pontos do domínio paramétrico e triangular
• Normalmente, s e t são tomados em intervalos
  (regulares ou não) de forma que os pontos
  avaliados formam uma grade
• Cada célula da grade é constituída de quatro
  pontos que vão gerar 2 triângulos
• Não se usa quadriláteros visto que os pontos não
  são necessariamente co-planares
• Renderização fácil com triangle strips
• Vantagem Simples e suportado pelo OpenGL
• Desvantagem Não há uma maneira fácil de
  controlar o aspecto da superfície de forma
  adaptativa

75
Desenhando Retalhos Bézier

• Opção 2 Usar subdivisão
• Permite controle de erro durante a aproximação
• Definida de forma semelhante à subdivisão de
  curvas Bézier, mas refinamento é feito de forma
  alternada nos dois eixos de parâmetros
• Sucessivamente computar pontos médios dos
  vértices e uní-los
• Aplicar procedimento inicialmente em cada linha
  da grade de controle 4x4 ? 4x7
• Repetir procedimento para cada coluna da grade de
  controle 4x7 ? 7x7

76
Procedimento Adaptativo

• Através da subdivisão obtemos 4 grades de
  controle e testamos
• Se a grade é aproximadamente plana, ela é
  desenhada
• Senão, subdividir em 4 sub-grades e aplicar o
  procedimento recursivamente
• Problema Retalhos vizinhos podem não ser
  subdivididos uniformemente
• Rachaduras polígonos de controle não se
  justapõem
• Pode ser consertado forçando grades mais
  subdivididas a se justaporem às grades menos
  subdivididas ao longo da aresta comum

Rachadura
77
Normal

• Como calcular a normal de uma superfície
  paramétrica Q(s,t) no ponto sa e tß ?

t ß
s a
78
Computando o Vetor Normal

• Derivadas parciais em relação a t e a s pertencem
  ao plano tangente
• Vetor normal é calculado normalizando o produto
  cruzado de ambas

79
Exemplos de outras superfícies paramétricas

• Superfícies criadas por rotação de um curva em
  torno de um eixo

• Knots movimentação de um círculo no espaço
• Exemplo Trefoil Knot

80
Representação Geométrica Explícita

• Referências das transparências
• Prof. Paulo Roma
• Prof. Thomas Ottmann e Khaireel A. Mohamed

81
Paradigma dos quatro universos.

• Objetos do universo físico sólidos (formas)
• Universo matemático, descrição
• Implícita x Paramétrica x Explícita
• Explicitamente, exemplos de representação

mapa de altura
por bordo (superfícies poliédricas)
82
Representação explícita por bordo (superfícies
poliédricas)

• Qualquer poliedro convexo pode ser representado
  por uma subdivisão planar (representação linear
  por partes)
• Malha de polígonos (ou malha de triângulos)

83
Representação Linear por Partes

• Superfície com geometria complexa pode ser
  aproximada por uma superfície linear por partes.
• Particiona-se o domínio da parametrização por um
  conjunto de polígonos.
• Cada vértice no domínio poligonal é levado para a
  superfície pela parametrização.
• A conectividade entre vértices adjacentes se
  mantem.

84
Propriedades

• Gera uma malha poligonal, definida por um
  conjunto de vértices, arestas e faces.
• Cada aresta é compartilhada por no máximo duas
  faces.
• A interseção de duas faces é uma aresta, um
  vértice ou vazia.
• Relação de Euler
• F V A 2
• Adjacência de vértices, arestas e faces é chamada
  de topologia da superfície.

85
Relação de Euler

• F V A 2(Foi Você que Assassinou o 2)
• Existe uma face externa
• F V A 2s
• s é a quantidade de bordas da malha (depende do
  genus do objeto)
• O genus do objeto depende da quantidade de
  alças (handles)

g 0
g 1
g 2
86
Geometria x Topologia

• Dois objetos com a mesma geometria podem ter
  topologias diferentes
• Dois objetos com a mesma topologia podem ter
  geometrias diferentes
• Vamos nos concentrar na topologia!
• Problema em 2D

87
Manifold

• Uma superfície é 2-manifold se em todo o seu
  domínio ela for localmente homeomorfa a um disco

manifold
non-manifold edge
Non-manifold vertex
88
Subdivisão Planar

• Como representar (codificar)?
• lista de vértices e arestas, ou
• lista de vértices e faces,
• Winged edge ou Half edge ou ...
• Operações sobre Malhas Poligonais
• Achar todas as arestas que incidem em um vértice.
• Achar as faces que incidem numa aresta ou
  vértice.
• Achar as arestas na fronteira de uma face
• As 9 perguntas devem ser respondidas em tempo
  ótimo!

89
9 tipos de Relacionamentos de Adjacência
90
Codificação

• Explícita.
• Ponteiros para lista de vértices.
• Ponteiros para lista de arestas.
• Winged-Edge (Half-Edge, Face-Edge).
• Quad-Edge (Guibas-Stolfi).
• Radial-Edge.
• Half-Edge.

91
Sugestões?
92
Codificação Explícita

• A mais simples.
• Cada face armazena explicitamente a lista
  ordenada das coordenadas dos seus vértices
• Muita redundância de informação.
• Consultas são complicadas.
• Obriga a execução de algoritmos geométricos para
  determinar adjacências.

93
Desenho da Malha

• Cada aresta é desenhada duas vezes, pelos duas
  faces que a compartilham.
• Não é bom para plotadoras ou filmes.

94
Ponteiros para Lista de Vértices

• Vértices são armazenados separadamente.
• Há uma lista de vértices.
• Faces referenciam seus vértices através de
  ponteiros.
• Proporciona maior economia de memória.
• Achar adjacências ainda é complicado.
• Arestas ainda são desenhadas duas vezes.

95
Exemplo
96
Ponteiros para Lista de Arestas

• Há também uma lista de arestas.
• Faces referenciam as suas arestas através de
  ponteiros.
• Arestas são desenhadas percorrendo-se a lista de
  arestas.
• Introduzem-se referências para as duas faces que
  compartilham uma aresta.
• Facilita a determinação das duas faces incidentes
  na aresta.

97
Exemplo
98
Outra linha de solução...

• DCEL Doubly-Connected Edge List
• winged-edge
• radial-edge
• half-edge

99
Winged-Edge
100
Winged-Edge

• Criada em 1974 por Baumgart.
• Foi um marco na representação por fronteira.
• Armazena informação na estrutura associada às
  arestas (número de campos é fixo).
• Todos os 9 tipos de adjacência entre vértices,
  arestas e faces são determinados em tempo
  constante.
• Atualizada com o uso de operadores de Euler, que
  garantem V A F 2.
• Porém, o tamanho da estrutura é 3V 8A F

101
DCEL (Doubly-Connected Edge List )

• Winged-Edge
• Facial-Edge
• Resolve faces dentro de faces
• Radial-Edge (Weiler, 1986)
• Representa objetos non-manifold.
• Armazena a lista ordenada de faces incidentes em
  uma aresta.
• Muito mais complicada que a Winged-Edge.
• Half-edge
• Enxuta
• A mais popular!!!

102
Estrutura de dados Half-edge

• A estrutura de dados de uma Half-edge deve
  armazenar
• Ponteiro para a half-edge seguinte
• Ponteiro para a half-edge oposta
• Ponteiro para sua face
• Ponteiro para o vértice de origem
• Face data structure stores
• Ponteiro para uma das half-edges da face
• Vertex data structure stores
• Ponteiro para uma das half-edges de origem no
  vértice

103
Código da estrutura Half-edge
class H_Edge Vertex vOrig H_Edge
eTwin H_Edge eNext Face f
class Vertex Point2D p H_Edge hEdge
class Face H_Edge hEdge

• Observações
• Para um mesmo Vertex podem existir diversos
  H_Edge, porém, basta guardar um deles com origem
  no Vertex.
• Na face, basta guardar uma de suas H_Edge

104
DCEL Example Planar Subdivision
Vertex v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
p (1,1) (10,0) (9,5) (2,7) (5,8) (8,9) (5,11) (7,1
3) (1,13) (11,12) (6,15)
hEdge e1_3 e2_3 e3_4 e4_9 e5_9 e6_7 e7_8 e8_6 e9_1
1
((Fazer exemplo no quadro))
105
DCEL Example Planar Subdivision
Half-Edge e1_3 e3_1 e2_3 e3_2 e10_3 e11_10 e9_11 e
4_9 e3_4 e4_3 e9_4 e5_9 e3_5 e5_3 e9_5 e11_9
vOrig v1
eTwin e3_1
f f1
eNext e3_4
ePrev e3_1
106
DCEL Example Planar Subdivision
Half-Edge e10_11 e3_10 e6_7 e8_6 e7_8 e8_7 e7_6 e6
_8
vOrig v10
eTwin e11_10
f f3
eNext e11_9
ePrev e3_10
Face f1 f2 f3 f4
eOuterComp NULL
eInnerComps e1_3
107
Half-edge data structure

• Example

• Face list
• f e
• 0 e0
• e8

• Vertex list
• V coord he
• 0 0 0 0 0
• 1 0 0 1
• 1 1 0 2
• ..

• Half-edge list
• he to_vertex next_he opposite_he
  face
• 0 1 1
  6 0
• 2 2
  11 0
• 3 3
  15 0
• 0 0
  18 0

9
10
108
Exemplos de questões de prova
109
Triângulos

• Muitos sistemas trabalham exclusivamente com
  malhas de triângulos
• Por que triângulos?
• Algumas propriedades especiais
• Vértices são sempre coplanares
• Sempre convexo
• Interpolação linear (coordenadas baricêntricas)
• Qualquer malha de polígonos pode ser transformada
  em malha de triângulos
• Especialidade das GPUs
• Triângulo é sempre rígido (ex Torre Eifel)

110
Outros Temas em Geometria Computacional

• Interseção de segmento de linhas
• Localização de Ponto
• Em um polígono
• Em uma subdivisão planar
• Triangulação de Delaunay
• Delaunay (maximiza o menor ângulo de todos os
  triângulos)
• gordura dos triângulos
• Diagramas de Voronoi
• Mapa de localização de ponto mais próximo
• Grafo complementar ao Delaunay
• Fecho Convexo 3D
• Planejamento de Movimentação de Robôs
• Grafos de Visibilidade
• Árvores Espaciais
• Kd-Trees
• Quadtrees
• BSP (Binary Space Partition)