Introdu

1
Introdução aos métodos numéricos

• Representação Numérica e
• Erros

2
Motivação
Foguete Ariane 5 explode segundos depois de seu
lançamento em 1996
O foguete transportava um satélite de
comunicações
A causa do acidente foi um erro numérico
(overflow) no cálculo da velocidade horizontal do
foguete
3
Motivação

• Qual foi o prejuízo?
• 500 milhões de Dólares (preço do satélite)
• 7 bilhões de Dólares foram gastos no projeto do
  foguete

4
Soluções numéricas para problemas físicos
Problema Físico
Modelagem
Modelo Matemático
Resolução
Solução
5
Erros na Modelagem

• Suponha uma queda livre de um prédio
• d d0 vot 1/2at2
• Suponha os dados
• d 0 0x3 1/2x9.8x9
• d 44,1
• Este resultado é coerente?

6
Representação Numérica

• Computadores possuem memória finita
• O conjunto de números que os computadores podem
  representar é finito

7
Erros na Resolução

• Fortemente influenciados pela precisão
• Relacionados à Representação numérica
• Erro do Foguete (máquinas com precisão diferente
  com mesmo software)

8
Representação numérica

• Cada computador possui uma precisão numérica
  diferente
• Esta precisão é dependente do hardware, sistema
  operacional, compilador, etc

9
Representação Numérica

• O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de
  0 a 9)
• Computadores modernos usam a base numérica 2
  (dígitos 0 e 1)

10
Mudança de Bases

• 510 1012
• 5/2 2 resto 1
• 2/2 1 resto 0
• 510 1012

11
Mudança de Base

• 5,25 5 0,25
• 5 sabemos como resolver
• Mas e a parte decimal?

12
Mudança de base

• Método das multiplicações sucessivas
• 0,25 x 2 0,5
• 0,5 x 2 1,0
• Logo 0,2510 0,012

13
Mudança de Base

• Conversão de base 2 para base 10
• 1002 410
• 1002 1x22 0x21 0x20 400 410
• 1012 1x22 0x21 1x20 401 510
• 100,12 1x22 0x21 0x201x2-1
• 4000,5 4,510

14
Representação Numérica

• Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante
  Normalizado
• 0,c1c2c3cn x be
• cn digito entre 0 e b-1 (mantissa)
• b número natural (base)
• e número Inteiro (expoente)

15
Representação Numérica

• Devido à questão da memória finita, os sistemas
  de ponto flutuante normalizados possuem
  parâmetros bem definidos durante o projeto
• Número de caracteres da mantissa (n)
• Valor da base (b)
• Valor e1 menor e e2 maior expoentes do sistema
• e1 lt 0 e e2 gt 0

16
Representação Numérica

• Menor número positivo x10,10...0xbe1
• Maior número x2 0,c1c2...cnxbe2
• Quantidade de números
• 2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e11)1

17
Representação Numérica
-x2
x1
x2
-x1
18
Representação Numérica
underflow
x1
x2
-x1
-x2
overflow
overflow
19
Representação Binárias
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
mantissa
Sinal do expoente
sinal
expoente
20
Representação Binárias
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
mantissa
Sinal do expoente
sinal
expoente
Sinal 0 positivo, 1 negativo
21
Representação Numérica

• A distribuição dos números na reta real não é
  uniforme
• Há concentração de números em trechos da reta

22
Representação Numérica
B2, n3, e1-1 e e22
23
Representação Numérica

• Resultados de operações aritméticas em sistemas
  de ponto flutuante nem sempre estão corretos

24
Representação Numérica
B2, n3, e1-1 e e22
25
Representação Numérica

• Propriedades aritméticas nem sempre são
  verificadas
• Suponha x10,3491x104, x20,2345x100
• (x2x1)-x1 x2 (x1-x1)
• A propriedade só se mantém com maquinas de
  precisão maior do que 7 digitos com truncamento

26
Representação Numérica

• Para somar x1 e x2 precisamos coloca-los na mesma
  base decimal
• x10,3491x104
• x20,2345x1000,00002345x104
• Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes
  de representar x2

27
Representação Numérica

• (x2x1)-x1 (0,0000234x1040,3491x104)
  -0,3491x104 (0,3491234x104) -0,3491x104
  (0,0000234x104) 0,234x10
• x2(x1-x1)0,2345x10(0,3491x104 -0,3491x104)
  0,2345x10 0 0,2345x10

28
Tipos de Erro por Precisão

• Arredondamento - para Cima
• Truncamento para baixo
• Para o Número de máquina mais próximo

29
Erro por Truncamento

• São erros decorridos de processos que deveriam
  ser infinitos
• Calculo de séries infinitas
• Sen(x) x - x3/3! x5/5! x7/7!...

30
Erro por truncamento

• Dizimas periódicas binárias
• 0,110 0,0001100110011...2
• Calculadora do Windows - sqrt(2)

31
Erros

• Sendo x o valor real e x o valor representado
• Absoluto x x
• Relativos x - x/ x

32
Revisão

• Consequências dos erros
• Sistema de Ponto Flutuante
• Representação numérica em computadores
• Erros

33
Conclusão

• Erros devem ser evitados quando possível
• Quando não for possível evita-los
• Não devem ser ignorados
• Devem ser reduzidos