BIENVENIDOS

1
BIENVENIDOS
NIVEL II
2
Matemáticas Financieras

• A lo largo de este módulo, aprenderás conceptos
  básicos sobre Finanzas e Inversiones, que te
  ayudarán en tu trabajo diario.

3
(No Transcript)
4
Tasa de Interés

• La tasa de interés es el porcentaje al que está
  invertido un capital en una unidad de tiempo,
  determinando lo que se refiere como "el precio
  del dinero en el mercado financiero".
• La tasa de interés es fijada por el Banco central
  de cada país a los otros bancos y estos, a su
  vez, la fijan a las personas por los préstamos
  otorgados.
• Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y
  una tasa de interés baja incentiva al consumo.

5
BIENVENIDO
AL INTERÉS SIMPLE
6
Interés Simple
Comencemos revisando los conceptos claves
Capital, Interés y Tasa de Interés.
7
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de 10.000,
podemos decir que el CAPITAL que has prestado es
de 10.000.
8
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte 11.000 en un
mes más, podemos decir que obtendrás un interés
de 1.000.
9
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte 11.000 en un
mes más, podemos decir que obtendrás un interés
de 1.000.
10
Interés Simple
Pero además hay otro concepto importante asociado
a los dos anteriores. LA TASA DE INTERÉS, que es
el porcentaje que representa el interés sobre el
capital en un periodo determinado. A este
concepto de tasa de interés, también se le
denomina RENTABILIDAD en renta fija.
11
Interés Simple
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos
que serán permanentemente empleados en
operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas
en general.
Así abreviaremos
No confundas interés con tasa de interés.
Como ves son muy diferentes. Cuando ustedes
consultan por rentabilidad, puedes asociarla con
el concepto de TASA DE INTERÉS.
12
Interés Simple
EJEMPLO Imagina que vas al banco y
..............
13
Interés Simple
Veamos ahora si podemos reconocer y aplicar los
conceptos revisados.
C
I
i
14
Interés Simple
A continuación veremos como opera el cálculo de
intereses.. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO
15
Interés Simple
En el interés simple, el Capital y la Ganancia
por el interés permanece invariable en el tiempo.
16
Interés Simple
Analicemos el caso de un Capital de 10.000
colocado a una Tasa de Interés de 8 anual
durante 5 años Veamos ahora cómo funciona, en
el siguiente gráfico
17
Interés Simple
En el ejemplo anterior, notaste que el interés
simple era de 800. Ello es así porque el interés
simple es directamente proporcional al Capital, a
la tasa de interés y al número de
períodos. Matemáticamente, ello se expresa de la
siguiente forma
I C x i x n
I
i
Interés Simple
Tasa de interés
C
n
Capital
Período
18
Interés Simple
El interés Simple posee las siguientes
características
A mayor C A P I T A L
Mayor INTERÉS
A mayor TASA DE INTERÉS
Mayor INTERÉS
A mayor N DE PERÍODOS
Mayor INTERÉS
19
Interés Simple
Ejercicio 1 Si depositas en una cuenta de
ahorro 100.000 al 6 anual y mantienes este
ahorro durantes 5 años... Cuánto interés
recibirás al final del quinto año, si el interés
a recibir es de tipo SIMPLE ?
Es necesario precisar que la tasa de interés (i)
se expresa en porcentaje () y para usarla en una
fórmula, es necesario expresarla en
decimales. Por Ejemplo 6 0,06 (6 Dividido
por 100)
Seleccionamos la fórmula I C x i x n
Reemplazando los valores en la fórmula I
100.000 x 0.06 x 5
Efectuando los cálculos se obtiene I
30.000
20
Interés Simple
A modo de práctica, resolvamos los siguientes
ejercicios Qué capital colocado al 24 anual
producirá al cabo de 6 meses 24.000 de Interés
? Qué fórmula usaras ?
Muy bien! 200.000 es el CAPITAL
Verificando fórmula.....
En este caso n 6 meses o para homogeneizar,
0,5 años.
Correcto, en este caso la incógnita es el
Capital, al despejarla de la fórmula de Interés
Simple obtenemos la fórmula seleccionada.
21
Interés Simple
El interés que obtendría usted es de 83
Ejercicio 2 Si depositas en una cuenta de
ahorro 100.000 al 6 anual y mantienes este
ahorro durantes 5 días... Cuánto interés
recibirás al final del quinto día, si el interés
a recibir es de tipo SIMPLE ?
Seleccionamos la fórmula I C x i x n / 360
Reemplazando los valores en la fórmula I
100.000 x 0.06 x 5 / 360
Efectuando los cálculos se obtiene I 83,3
22
Interés Simple
Los ejemplos y actividades que verás, se basan en
el llamado tiempo ajustado, o Tiempo comercial,
que considera cada mes como de 30 días. El
denominado tiempo real que tiene meses de entre
28 y 31 días, no se usará por razones prácticas.
23
Interés Simple
OJO Debemos igualar las unidades de tiempo
en que están expresadas la tasa y el período.
24
BIENVENIDO
AL INTERÉS COMPUESTO
25
Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero
en la práctica se emplea muy poco. La gran
mayoría de los cálculos financieros se basan en
lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cada período el capital varía, y por
consiguiente, el interés que se generará será
mayor.
26
Interés Compuesto
Lo más importante que debes recordar es que para
efectuar el cálculo de cada período, el nuevo
capital es al anterior más el interés ganado en
el período.
27
Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo
de la fórmula para interés compuesto
28
Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo
de la fórmula para interés compuesto
Recuerda que el exponente de (1i) es igual al
número de períodos.
29
Interés Compuesto

• Un concepto importante que debes recordar,
• se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,
• es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado
• se agrega al Capital anterior a efectos de
• calcular nuevos intereses.
• En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa a
• Intervalos regulares
• Diario
• Mensual
• Trimestral
• Cuatrimestral
• Semestral
• Anual

30
Interés Compuesto
Se dice entonces que el interés es
CAPITALIZABLE, o convertible en capital, en
consecuencia, también gana interés El interés
aumenta periódicamente durante el tiempo que dura
la transacción. El capital al final de la
transacción se llama MONTO COMPUESTO y lo
designaremos MC. A la diferencia entre el MONTO
COMPUESTO y el CAPITAL (C) se le conoce como
INTERÉS COMPUESTO y lo designaremos por IC.
Obtenemos entonces la siguiente fórmula IC
MC C Interés Compuesto Monto Compuesto -
Capital
31
Interés Compuesto
De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a
INTERÉS COMPUESTO
Monto Compuesto, al final del periodo n estaría
dado por MC C(1i)n En los problemas
de Interés Compuesto el Principio
fundamental Establece que la Tasa De Interés y
el Tiempo deben estar en la misma unidad que
establece la capitalización.
El factor (1i)n Se denomina FACTOR
DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTO
32
Interés Compuesto
PARE Recuerde respetar las prioridades Operacio
nales 1 Resolvemos el paréntesis. 2
Multiplicamos.
Ejercicio 1 Cuál es el MONTO COMPUESTO de un
CAPITAL de 250.000 depositado a una TASA del 2
mensual durante 8 meses, capitalizable
mensualmente ?
Seleccionamos la fórmula MC C (1i)n
Reemplazando los valores en la fórmula MC
250.000 (10.02)8
Efectuando los cálculos se obtiene MC
292.915
33
Interés Compuesto
Ejercicio 2 Un CAPITAL de 200.000, colocados
a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5,
capitalizable mensualmente, se convirtió en un
MONTO COMPUESTO de 237.537 Cuánto TIEMPO duró
la operación?
Seleccionamos la fórmula N Log MC Log C /
Log (1i)
Reemplazando los valores en la fórmula N
Log 237.537 Log 200.000 / Log 1,035
Efectuando los cálculos se obtiene N
5,375731267 5,301029996 / 0,01494035
4,999969739 5
34
Interés Compuesto
Ejercicio 3 Un CAPITAL de 200.000, colocados
durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un
MONTO COMPUESTO de 237.537, capitalizable
mensualmente. Cuál es la TASA DE INTERÉS de la
operación?
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5
mensual.
Seleccionamos la fórmula i (MC / C ) 1/n
- 1
Reemplazando los valores en la fórmula i
((237.537 / 200.000) (1/5)) - 1
Efectuando los cálculos se obtiene i
1,187685 1/5 - 1 i 1,034999772 1
0,0349998 0,035
35
Interés Compuesto
Ejercicio 4 Cuánto CAPITAL depositó una
persona, a una TASA DE INTERÉS del 12 anual, si
al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de
250.000, capitalizable anualmente ?.
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de 199.298
Seleccionamos la fórmula C MC / (1 i)n
Reemplazando los valores en la fórmula C
250.000 / (1 0,12)2
Efectuando los cálculos se obtiene C
250.000 / 1,2544 199.298
36
Interés Real y Nominal
El ultimo concepto que revisaremos en esta
lección se refiere a INTERÉS REAL.
Los conceptos y ejercicios que hemos desarrollado
hasta ahora, siempre han considerado el interés
NOMINAL. No obstante, ustedes se deben
interesar siempre por el interés o
rentabilidad REAL de su inversión.
Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia
en el tiempo (tiene un menor valor). En el caso
del dinero, esto se produce por el efecto que
tiene sobre él un fenómeno denominado
INFLACIÓN. La inflación tiene un efecto directo
sobre la rentabilidad que exigirá un
Inversionista respecto de su inversión. El
interés que se pacta normalmente, no tiene en
cuenta el efecto de la INFLACIÓN. Se le denomina
INTERÉS NOMINAL.
37
INTERÉS NOMINAL
DESCONTADA
INFLACIÓN
IGUAL
INTERÉS REAL
38
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
Inflación
Aumento sostenido en el nivel general de precios.
Normalmente medido a través del cambio en el IPC
En presencia de inflación (p) , la capacidad de
compra o poder adquisitivo de un monto de dinero
es mayor hoy que en un año más.
39
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...

• La tasa de interés (conocida como tasa nominal)
  deberá incorporar
• A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente
  un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el
  tiempo) (tasa real)
• B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga
  el poder adquisitivo (tasa inflación)

La ecuación que relaciona las tasas nominal y
real, es conocida en la literatura con el nombre
de igualdad de Fischer
40
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
RESUMEN 2 conceptos Costo de oportunidad
(tasa interés real) Poder adquisitivo
(inflación)
Paso 1 Valora costo de oportunidad, tasa de
interés de 10
Paso 2 Valora costo de oportunidad y además
Mantiene poder adquisitivo, inflación
de 25
41
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
Ejemplo
Si tengo 500 y un banco me ofrece una tasa de
interés nominal anual del 37,5 y me encuentro en
una economía donde la inflación es del 25
anual. Cuál es la tasa real correspondiente
? cuánto es mi capital nominal al final del
año ?
42
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
Si ( 1 i ) ( 1 ? ) ( 1 r ) Donde
?0,25 y i 0,375 Entonces (10,375)
(10,25)(1r) (1r) 1,1 r
10 Si el capital inicial es C0 500
Entonces C1 C0(1i)
500(1,375) C1 687,5
43
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación
Nota importante
La evaluación de proyectos utiliza tasas de
interés reales y por tanto flujos reales, de esta
forma se evita trabajar con inflaciones que
normalmente tendrían que ser estimadas a futuro
con el consiguiente problema de incertidumbre.
44
Interés Real y Nominal
El interés REAL, es el ajuste que debe
efectuarse al interés NOMINAL para que refleje
correctamente la inflación del período. En otras
palabras, el interés REAL refleja el
PODER ADQUISITIVO de la rentabilidad obtenida
en una inversión. Si la inflación es positiva,
siempre el interés REAL será menor que el interés
NOMINAL.
45
Interés Real y Nominal
El impacto de la inflación se puede estimar. Ello
es necesario, para muchas decisiones financieras
donde lo que realmente importa es la rentabilidad
REAL.
46
(No Transcript)
47
Interés Real y Nominal
IPC
IPM
REAL
NOMINAL
REAL
NOMINAL
INFERIOR
IPC
NOMINAL
REAL
INFERIOR
NOMINAL
REAL
IPM
SIMPLE
48
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
MATEMÁTICA FINANCIERA
Temario

• Valor del dinero en el tiempo
• Valor futuro y valor actual

49
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo
Corresponde a la rentabilidad que un agente
económico exigirá por no hacer uso del dinero en
el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro

• Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el
  futuro.
• Un monto hoy puede al menos ser invertido en el
  banco ganando una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida
para determinar la equivalencia de un monto de
dinero en dos periodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también
tiene preferencia intertemporal entre consumo e
inversión presente y futura.
50
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
Ejemplo Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0)
de 1.000 por una sola vez y decide no consumir
nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en
el banco. a) Cuál será el valor de ese monto
dentro de un año si la tasa rentabilidad o de
interés (r) que puede obtener en el banco es de
10 ?
1.000 (0,1) 100 (rentabilidad) 100 1000
1.100 (valor dentro de un año)
51
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo ...continuación
b) Cuál sería el monto final disponible para
consumir dentro de un año si consume 200 hoy ?

• Si
• Sólo hay sólo 2 periodos
• Ingreso sólo hoy (Y01.000)
• Puede consumir hoy o en un año
• (C0, C1)
• Rentabilidad exigida por no
• consumir hoy r10

Entonces C1 (Y0 C0)(1r)
Si C0200, C1(1000-200)1,1 880
Consumo total 200 880 1.080
52
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
VALOR FUTURO
53
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación...
VALOR ACTUAL
54
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación...
Ejemplos VF y VA
a) Si se tiene 1.000 hoy y la tasa de interés
anual es de 12. Cuál será su valor al
final del tercer año?
Año 0 1.000 Año 1 1.000 (10,12)
1.120 Año 2 1.120 (10,12) 1.254 Año
3 1.254 (10,12) 1.405
Alternativamente
VF 1.000 (10,12)3 1.000 1,4049 1.405
55
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación
Ejemplos VF y VA
b) Si en cuatro años más necesito tener 3.300 y
la tasa de interés anual es de 15. Cuál
es el monto que requiero depositar hoy para
lograr la meta?
Año 4 3.300 Año 3 3.300 / (10,15)
2.869,6 Año 2 2.869,6 / (10,15) 2.495,3 Año
1 2.495,3 / (10,15) 2.169,8 Año 0 2.169,8
/ (10,15) 1.886,8
Alternativamente
VA 3.300 / (10,15)4 3.300 / 1,749 1.886,8
56
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación
Ejemplos VF y VA
Caso especial c) Si los 1.000 de hoy equivalen a
1.643 al final del año 3. Cuál será la
tasa de interés anual relevante?
57
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés compuesta
Corresponde al mismo concepto asociado a la
conversión de un valor actual (VA) en un valor
final (VF) y viceversa. El monto inicial se va
capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo,
luego del primer periodo se suma el capital más
los intereses ganados y este total es el que gana
intereses para un segundo periodo.
58
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
...continuación...
Tasa de interés simple
Concepto poco utilizado en el cálculo financiero,
es de fácil obtención, pero con deficiencias por
no capitalizar la inversión periodo a
periodo. El capital invertido es llevado
directamente al final sin que se capitalice
periodo a periodo con los intereses ganados
59
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
...continuación...
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa
interés simple
Si se tiene 1.000 hoy y la tasa de interés anual
es de 12. Cuál será su valor al final del
tercer año?
Con tasa interés compuesta C 1.000
(10,12)3 1.000 1,4049 1.405
Intereses ganados Año 1 120 Año 2 134 Año
3 151
Con tasa interés simple C 1.000 (10,123)
1.000 1,36 1.360
Intereses ganados Año 1 120 Año 2 120 Año
3 120
60
Interés Real y Nominal
A continuación resolveremos unos ejercicios, que
nos ayudarán a determinar si has adquirido los
conocimientos entregados en esta LECCIÓN.
61
NIVEL II
Responde las siguientes preguntas para que puedas
verificar tu avance
La diferencia fundamental entre interés SIMPLE
y COMPUESTO es que en el cálculo del interés
SIMPLE, el capital es constante, en cambio en el
interés COMPUESTO, el capital va aumentando según
se capitalizan los intereses ganados.
v
F
El cálculo del interés COMPUESTO es poco
empleado en la practica.
v
F
Los conceptos claves para resolver problemas de
INTERÉS SIMPLE son CAPITAL, INTERÉS, TASA DE
INTERÉS y PERÍODO TIEMPO.
v
F
La fórmula básica para resolver un problema de
interés simple es i C I n
v
F
62

• Ejercicios

Cuál es la alternativa correcta ? Si una
persona invierte 30.000 a un interés simple de
7 anual, al final de un período de 30 años,
habrá obtenido un interés de a)
63.000 b) 90.000 c)
42.000 d) 65.000 e) Ninguna
de las anteriores
63

• Ejercicios

Qué opciones son correctas ? Marca aquellas
sentencias que consideres correctas, respecto al
interés compuesto a) Es aquella que se
utiliza en las aplicaciones financieras
prácticas. b) Debe especificar un período
de capitalización c) Si la inflación es
0, el interés nominal siempre será
mayor al interés real en un mismo período
de tiempo. d) Ninguna de las
anteriores
64

• Ejercicios

Qué opciones son correctas ? Marca aquellas
sentencias que consideres correctas, respecto al
interés real a) El interés real es
siempre compuesto. b) Es aquel que tiene
incorporado el efecto de la
inflación. c) Si la inflación medida por
el IPC, es positiva, el interés
nominal será siempre mayor que el real.
d) Ninguna de las anteriores.
65
CONCLUSIÓN FINAL
En este módulo hemos revisado conceptos claves
que son permanentemente utilizados en tú
desarrollo profesional 1) Definimos Capital,
Interés y Tasa de Interés 2) Interés Simple y
ejemplos. 3) Interés Compuesto y ejemplos. 4)
Analizamos el impacto de la inflación sobre el
interés o la rentabilidad de una inversión. 5)
Interés nominal v/s Interés real.
66
FIN