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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Entdeckung
Nach ca. 350 Jahren im Jahr 1993 wurde das letzte
große Rätsel der Mathematik endlich gelöst, nach
dem alle großen Mathematiker über 3 Jahrhunderte
sich vergeblich daran versucht hatten Es war
die wichtigste Mathematikvorlesung des
Jahrhunderts. Zweihundert Mathematiker lauschten
wie gebannt. Nur ein Viertel von ihnen verstand
den Inhalt der Vorlesung wirklich. Die meisten
waren gekommen, weil das Gerücht herumging, dass
etwas Bedeutendes geschehen sollte. Der
Vortragende war Andrew Wiles, ein Engländer, der
in den achtziger Jahren eine Professur in
Princeton angenommen hatte und der den Ruf
erworben hatte, einer der begnadetsten
Mathematiker seiner Generation zu sein. Er war
schon 40, ein Alter, in dem die meisten
Mathematiker keine bedeutenden Entdeckungen mehr
machen. In den letzten Jahren war es still um ihn
geworden, die meisten glaubten schon, seine
Karriere sei am Ende. Dabei hatte er sich sieben
Jahre lang insgeheim mit einer der letzten
ungelösten Fragen der Mathematik beschäftigt.
Andrew Wiles konnte als erster die Gültigkeit der
Fermatschen Behauptung beweisen.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Das Problem
Schon als 10-jähriger lernte Wiles, wie die
meisten anderen Schüler seines Alters auch, den
wichtigsten Satz der Schulmathematik, den Satz
des PythagorasIn einem rechtwinkligen Dreieck
ist das Quadrat über der Hypothenuse gleich der
Summe der Quadrate über den beiden anderen
Seiten. oder
c² a² b ² Interessant dabei sind solche
Lösungen, bei denen die Länge der drei Seiten
ganzzahlig sind. Beispiele dafür sinda3, b 4
und c 5, da gilt 3² 4² 5², oder
aucha 5, b 12 und c 13, da 5² 12² 13².
Es gibt unendlich viele solcher sog.
pythagoreischen Zahlentripel, sie sind nur nicht
immer einfach zu finden. Wiles interessierte sich
schon als Kind für die Frage, ob es solche
ganzzahligen Zahlentripel auch für Gleichungen
der Form geben mag, wenn n gt 2 ist.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Beginn der Geschichte

• Im 17. Jahrhundert hat der Hobbymathematiker
  Pierre de
• Fermat eine Behauptung aufgestellt, die die Welt
  der
• Mathematiker 350 Jahre lang in Atem halten
  sollte.
• Fermat beschäftigte sich mit den großen
  griechischen
• Mathematikern und studierte deren Schriften.
  Dabei stieß
• er auf den Satz des Pythagoras, der uns allen in
  der
• Form a² b² c² bekannt ist.
• Fermat wollte wissen, ob es solche ganzzahligen
  Lösungen
• auch für höhere Exponenten gibt. Also a³ b³
  c³ oder
• allgemein mit n gt 2

Pierre de Fermat1601 - 1655
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Beginn der Geschichte

• Fermat glaubte herausgefunden zu haben, dass es
  ganzzahlige
• Lösungen für diese Gleichungen nicht gibt.
  Allerdings, und das ist in
• der Mathematik fatal, fehlt der Beweis dafür.
  Fermat notierte
• lediglich an den Rand seiner Schrift, die er
  gerade studierte, den
• berühmten Satz
• Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben
  zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei
  Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz
  größer als die zweite in Potenzen gleichen
  Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft
  wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand
  hier zu schmal, um ihn zu fassen.
• Allgemein Eine Lösung für die Gleichung
• mit n gt 2 gibt es nicht.
• Darauf hin begann eine beispiellose Jagd nach dem
  Beweis
• dieser Aussage

Diese Briefmarke aus der tschechischen Republik
beschreibt den Satz von Fermat
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Kleine Geschichte der Mathematik
Mathematische Beweise

• In der Naturwissenschaft und in unserem
  alltäglichen Leben ist ein
• Beweis wesentlich weniger anspruchsvoll als in
  der Mathematik.
• Wir gehen im Allgemeinen davon aus, dass eine
  Sache bewiesen ist,
• wenn das Gegenteil nach unseren Vorstellungen
  nicht existieren kann
• weil die Indizien überzeugend sind oder weil
  niemand bisher eine andere
• Erfahrung gemacht hat. Ein Fingerabdruck am
  Tatort gilt vor Gericht als
• Beweis, da man davon ausgeht, dass es keine zwei
  Menschen auf der
• Welt gibt, die den gleichen Fingerabdruck haben.
  Allerdings hat das noch
• niemand mit Sicherheit beweisen können.
• Mathematische Beweise hingegen sind unumstößlich.
  Wer einen
• mathematischen Beweis gefunden hat, kann sicher
  sein, dass dieser auch
• In hunderten von Jahren noch gültig ist.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Satz von Pythagoras und sein Beweis

• Ziel des Beweises ist es, zu zeigen, dass der
  Satz des
• Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt.
• Dabei einigen wir uns darauf, dass wir die
• die Katheten mit a und b bezeichnen und
• die dem rechten Winkel gegenüberliegende
• Seite mit c.
• Rechts sind vier identische rechtwinklige
  Dreiecke abgebildet, die
• zusammen mit dem gekippten Quadrat ein größeres
  Quadrat
• ergeben. Wenn der Satz des Pythagoras gilt, dann
  kann man die
• Fläche des großen Quadrates auf zwei Arten
  berechnen
• Als Summe der Flächen der vier rechtwinkligen
  Dreiecke und des gekippten Quadrates.
• Als Quadrat der Kantenlänge des Quadrates, wobei
  die Kantenlänge gleich a b ist.
• Wir führen auf der nächsten Seite den Beweis.

Büste von Pythagoras ca. 570 510 v. Chr.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Satz von Pythagoras und sein Beweis

• Zu 1 Die Fläche eines Dreieck berechnet sich aus
• F (g x h)/2.
• Damit gilt für die vier Dreiecke F 4
  x (a x b)/2 oder
• 2 a b.
• Das gekippte Quadrat hat die Kantenlänge
  c.
• Die Fläche ist also c²
• C² ergibt sich nach dem Satz des
  Pythagoras aus
• c² a² b². Daraus ergibt sich als
  Gesamtfläche
• F a² b² 2ab.
• Zu 2 Die Kantenlänge des großen Quadrates ist a
  b. Daraus
• ergibt sich als Fläche F (a b)².
• Wenn der Satz des Pythagoras gilt, müssen beide
  Flächen gleich sein.
• Also a² b² 2ab (ab)²
• Nach der 1. Binomischen Formel gilt
• a² b² 2ab a² 2ab b² ,offensichtlich
  steht auf beiden Seiten dasselbe, was zu
  beweisen war.
• Alternativ kann man auch schreiben
• c² 2ab a² 2ab b², so dass sich nach
  Subtraktion von 2ab wieder der Satz des
• Pythagoras ergibt.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Pythagoras und die Zahlentheorie

• Zur Zeit von Pythagoras (im 6. Jhd. v. Chr.) war
  die Welt der Zahlen noch
• weitgehend unerforscht. Ein Untersuchungsgegenstan
  d von Pythagoras und seinen
• Schülern war es, das Wesen der Zahlen und deren
  Besonderheiten genauer zu
• untersuchen. Dieses Gebiet der Mathematik wird
  Zahlentheorie genannt und ist
• auch heute noch ein beliebtes Forschungsgebiet in
  der Mathematik. Grundlage der
• Zahlentheorie ist die Erforschung der Primzahlen
  (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 usw.).Da
• alle natürlichen Zahlen aus Primfaktoren gebildet
  werden (z.B. 20 2 2 5),
• genügt es oft, Aussagen über Primzahlen zu
  machen. Diese können dann auf alle
• anderen natürlichen Zahlen übertragen werden.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Pythagoras und die Zahlentheorie

• Pythagoras entdeckte z.B. die vollkommenen
  Zahlen. Das sind Zahlen, deren
• Teiler addiert genau die Zahl selber ergeben. Die
  Zahl 6 hat z.B. die Teiler 1, 2 und
• 3. Deren Summe 123 ergibt wieder die Zahl 6.
  Die nächste vollkommene Zahl ist
• die Zahl 28, da die Summe ihrer Teiler 124714
  wieder 28 ergibt. Pythagoras
• entdeckte außerdem, dass vollkommene Zahlen immer
  die Summe aufeinander-
• folgender Zahlen sind. So ist 28 1234567.
• Die nächste vollkommene Zahl ist die Zahl 496.
  (1248163162124248496)
• Heute versucht man, große, vollkommene Zahlen mit
  Hilfe von Computern zu finden.
• Die Abstände zwischen den vollkommenen Zahlen
  sind also recht groß und werden
• immer größer. Bis heute ist es noch nicht
  gelungen, zu beweisen, ob die Anzahl der
• vollkommenen Zahlen endlich oder unendlich groß
  ist.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Euklid (geb. um 330 v. Chr.)

• Euklid war ein weiterer großer griechischer
  Mathematiker, der die Zahlentheorie
• weiter entwickelte. Bis zu seiner Zeit ging man
  davon aus, dass jede Zahl entweder
• eine ganze Zahl sei oder durch einen Bruch
  ausgedrückt werden konnte. Es gab
• also nur die Menge der rationalen Zahlen.
• Euklid bewies als erster, dass es so genannte
  irrationale Zahlen geben muss, die
• nicht durch einen Bruch dargestellt werden
  können. Sein berühmter Beweis zeigt,
• dass die eine irrationale Zahl sein
  muss.
• Die berühmteste irrationale Zahl ist die Zahl pi
  3,141592...
• Die Zahl pi wurde im Jahr 1996 bis auf 6
  Milliarden Stellen nach dem Komma
• berechnet.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Über 1000 Jahre Stillstand

• Mit den Griechen endete die Entwicklung der
  Mathematik zunächst. Der
• Grieche Diophant verfasste das berühmte Buch
  Arithmetica, dass den
• damaligen Stand der Mathematik widerspiegelte.
• Erst weit über 1000 Jahre später wird die
  Mathematik weiterentwickelt.
• Berühmte Mathematiker des 17. Und 18.
  Jahrhunderts sind z.B.
• Pierre de Fermat, Rene Descartes, Leonhard Euler
  oder Isaac
• Newton, die sich alle mit den Problemen der
  griechischen Mathematiker
• auseinander setzten.
• Eine beliebte Aufgabe der Zahlentheorie der
  damaligen Zeit war es,
• sog. befreundete Zahlen zu finden.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Freunde

• Befreundete Zahlen sind zwei Zahlen, deren
  Teilersumme die jeweils andere Zahl
• bildet. Zwei solche befreundete Zahlen sind z.B.
  220 und 284.
• Die Teiler von 220 sind 1245101120224455
  110 ergibt 284
• Die Teiler von 284 sind 12471142 ergibt 220.
• Diese beiden Zahlen galten schon im Mittelalter
  als Symbol der Freundschaft und
• der Liebe.
• Erst Fermat entdeckte ein weiteres Paar
  befreundeter Zahlen, die Zahlen 17296
• 18416. Leonard Euler entdeckte 22 weitere Paare
  sehr großer Zahlen.
• 1866 entdeckte ein 16 jähriger Italiener ein
  Paar, das bisher übersehen worden war.
• Die Zahlen 1184 und 1210.
• Die Suche nach besonderen Zahlen an sich bringt
  die Menschheit sicherlich nicht
• wesentlich weiter. Bei der Suche wurden aber neue
  mathematische Verfahren
• entdeckt, die die Mathematik als Ganzes
  voranbringen.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Leonard Euler

• Einer der größten Mathematiker des 18.
  Jahrhunderts war
• Leonard Euler. Er verbrachte viele Jahre seines
  Lebens am
• Hof der russischen Zaren, für die er viele
  mathematische
• Probleme von der Navigation über Finanzfragen bis
  zur
• Fragen der Akustik und der Bewässerung löste.
• Ihm gelang als erster der Durchbruch bei Fermats
  Problem,
• Indem er die Frage nach der Lösung für die
  Gleichung
• für n 3 beantworten
  konnte. Sein Beweis
• zeigte, dass es keine Lösung dafür gibt. Um den
  Beweis zu
• führen, musste er mit imaginären Zahlen rechnen,
  die erst im
• 16. Jhd. durch den Italiener Bombelli entdeckt
  wurden.
• Imaginäre Zahlen beantworten die Antwort nach der
  Frage, was
• denn die Wurzel aus 1 sei. Dieses Problem war
  bis dahin
• unlösbar. Bombelli führte die Zahl i als
  imaginäre Zahl ein,
• definert als

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Kleine Geschichte der Mathematik
Weitere Schritte

• Hundert Jahre nach Fermats Tod waren erst zwei
  Fälle der Gleichung
• gelöst. Es war bewiesen, dass es keine Lösung
  gibt für die Gleichung
• durch Euler und durch Fermat
  selbst.
• Noch immer aber standen Beweise aus für eine
  unendliche Zahl von Gleichungen
• 
  usw.
• Wir haben schon gehört, dass die Primzahlen bei
  der Lösung des Problems eine
• entscheidende Rolle spielen. Ist der Beweis für n
  3 angetreten, so muss er nicht
• auch für n 6 oder n 9 angetreten werden, da 6
  und 9 aus den Primfaktoren 2
• und 3 bestehen. Es genügt also, den Beweis für
  solche n anzutreten, die
• Primzahlen sind. Allerdings ein schwacher Trost,
  denn auch die Anzahl der
• Primzahlen ist vermutlich unendlich groß.

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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Jagd beginnt
Im 19. Jahrhundert beginnt die Jagd nach der
Lösung des Fermat-Problems richtig.Es wurden
sogar Preise für das Auffinden des Beweises
ausgesetzt.Bekannt geworden ist unter vielen
andern die Französin Sophie Germain, die mit dem
deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß über
das Fermat-Problem korrespondierte. Da es sich
damals für eine Frau nicht schickte, Mathematik
zu betreiben, musste sie sich als Mann ausgeben.
Anfang des 20. Jahrhunderts hat der Industrielle
Paul Wolfskehl einen Preis in Höhe von 100 000
Mark ausgeschrieben für denjenigen, der Fermats
Satz beweisen könne. Wolfskehl war ein
Hobbymathematiker, der sich wegen einer
unglücklichen Liebe umbringen wollte. Am Abend
vor seinem geplanten Selbstmord befasste er sich
mit den Aufzeichnungen von Ernst Kummer über das
Fermat-Problem. Da fand er eine Lücke in der
Argumentation und unter dieser Beschäftigung
vergaß er seine geplanten Freitodabsichten. Nach
Aussetzung des Preises ging eine Flut von
angeblichen Beweisen beim Preiskomitee ein.
Sämtliche Lösungsvorschläge erwiesen sich jedoch
als fehlerhaft.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Jagd ist zu Ende
Der Wolfskehl-Preis ging aber doch endlich nach
fast 90 Jahren an Andrew Wiles.Wiles Arbeit
stützte sich auf die Vorarbeit zweier Japaner,
die in den 50 Jahren diesog. Taniyama-Shimura
Vermutung äußerten. Diese besagt, dass es
zwischen elliptischen Kurven und Modulformen eine
engeVerbindung gibt. Was auch immer dieses
bedeuten mag, auf jeden Fall hat Wiles diese
Vermutung bewiesen und damit wurde gleichzeitig
bewiesen, dass Fermatsletzter Satz richtig war
Es gibt keine natürlichen
Zahlen n für die gilt mit n gt 2
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Kleine Geschichte der Mathematik
Wozu das Ganze?
Sie könnten fragen, warum ich unbegrenzte Zeit
auf ein Problem verwende, dass vielleicht einfach
nicht lösbar ist. Die Antwort ist, dass ich gerne
an diesem Problem arbeitete und ganz besessen
davon war. Ich genoss es, meinen Grips daran zu
erproben. (Andrew Wiles)
Der Mathematiker Titchmarsh hat einmal gesagt Zu
wissen, dass pi irrational ist, kann praktisch
nicht von Nutzen sein, doch wenn wir es wissen
können, wäre es sicher unerträglich, es nicht zu
wissen.
Andrew Wiles im Jahr 2005