Met

1
Metóda Konecných Prvkovvo výrobných technológiach

• prednáška c. 2

2
Obsah prednášky

• Vektor, matica, tenzor
• Základné matematické operácie
• Spôsoby riešenia sústavy lineárnych algebraických
  rovníc
• Príklady
• Spôsoby riešenia sústavy nelineárnych
  algebraických rovníc
• Riešice používané programom ANSYS

3
Základná terminológia

• Tenzor
• je fyzikálna velicina nezávislá od aktuálne
  definovaného súradnicového systému
• je urcená stupnom a usporiadaním
• Matica
• tenzor 2-ého rádu (stupna)
• Vektor
• tenzor 1-ého rádu (stupna)
• pre úplné urcenie veliciny je potrebné poznat
  velkost, smer a nositelku
• (volný, viazaný, polohový, jednotkový)
• Skalár
• tenzor 0-tého rádu (stupna)
• je urcený velkostou

4
Základná terminológia

• pri uvažovaní 3D súradnicového systému je
  tenzorom 2-ého rádu napr. napätie v bode telesa
• tenzorom 1-ého rádu je napr. sila
• materiálové vlastnosti, ...

5
Základné matematické operácie
Systém lineárnych algebraických
rovníc môžeme v maticovom tvare zapísat A x
b
6
Základné matematické operácie
kde aij - prvok matice na i-tom riadku
a j-tom stlpci Ak m n - štvorcová matica m
1 - riadková matica (vektor) n 1 - stlpcová
matica (vektor)
7
Základné matematické operácie
Scítavanie (odcítavanie) matíc ! matice A, B
musia mat rovnaký rozmer (m ? n) C A
B cij aij bij C A - B cij aij
bij Násobenie matíc kA C k aij
cij i 1, 2, ... l j 1, 2, ... n
asociatívnost A (B C) (A B) C avšak A B
? B A
8
Základné matematické operácie
Transponovaná matica ak A aij potom AT
aji Symetrická matica štvorcová (n ? n)
matica A sa nazýva symetrická ak platí A AT
aij aji Jednotková matica IA AI A

9
Základné matematické operácie
Determinant matice Cramerovo pravidlo Si
ngulárna matica det A 0

10
Základné matematické operácie
Pozitívne definitná matica štvorcová (n ? n)
matica A sa nazýva pozitívne definitná ak pre
lubovolný nenulový vektor x platí xTA x gt 0
Matica A je potom nesingulárna. Inverzná
matica ! existuje iba pre štvorcové a
nesingulárne matice, ak det A ? 0 A A-1 A-1A
I kde C cij cij (-1)ij Mij Mij
je determinant matice, ktorá vznikne vynechaním
i-teho riadku a j-teho stlpca z matice A.
11
Základné matematické operácie
Derivovanie a integrovanie matíc Okrem toho
platí (A B)T BTAT (A B C)T CT(A B)T
CTBTAT pre štvorcové matice A B BTA (A B)-1
B-1A-1
12
Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc

• Na vyriešenie systému lineárnych algebraických
  rovníc môžeme použit
• Priame metódy
• inverznú maticu
• Gaussovu eliminacnú metódu (Gauss Elimination)
• Gauss-Jordanovu metódu (Gauss-Jordan Elimination)
• Cramerove pravidlo (Cramers Rule)
• LU rozklad (LU Decomposition)
• Choleskyho rozklad (Cholesky Decomposition)
• Nepriame metódy
• iteracné metódy (približné) napr.
  Gauss-Seidelovu metódu, Jacobiho metódu vhodné
  pre riešenie velkých sústav rovníc
• ...

13
Príklad Nájdite riešenie (x1 až x3) sústavy
rovníc x1 3x2 2x3 2 2x1 4x2 2x3
1 4x2 x3 3 Sústavu je možné v maticovom
tvare zapísat
14
Inverzná matica A x b A-1A x A-1b I x
A-1b x A-1b Matica kofaktorov
15
Inverzná matica det A A -6 Výpocet
korenov x A-1b
16
Inverzná matica Vzhladom na nárocný výpocet
inverznej matice, z dôvodu nutnosti pocítat
determinanty matíc, sa táto metóda v pocítacovej
mechanike prakticky nepoužíva. (vid Cramerova
metóda)
17
Cramerovo pravidlo kde D(i) je matica,
ktorej i-ty stlpec je nahradený vektorom
b. Výpocet korenov
18
Cramerovo pravidlo
19
Cramerovo pravidlo Praktické použitie tejto
metódy je obmedzené na malé matice n ? m
(približne n,m 5). Napr. pre výpocet
determinantu matice 10x10 by bolo potrebné
vykonat cez 30 miliónov operácií. Determinant by
mal 10! 3 628 800 clenov. Preto sa táto metóda
v pocítacovej mechanike, podobne ako metóda
inverznej matice, nepoužíva.
20
Gaussova eliminacná metóda
21
Gaussova eliminacná metóda 1. krok
22
Gaussova eliminacná metóda úprava druhého
riadku matice
23
Gaussova eliminacná metóda
24
Gaussova eliminacná metóda
25
Gaussova eliminacná metóda
26
Gaussova eliminacná metóda 1. krok
27
Gaussova eliminacná metóda 2. krok
28
Gaussova eliminacná metóda Spätnou
substitúciou - posledný koren n -
ostatné korene (n-1) až 1 Výpocet korenov
29
Gaussova eliminacná metóda Táto metóda v
pocítacovej mechanike používa velmi casto.
30
LU dekompozícia A L U A x L U x L (U
x) b L y b U x y
31
LU rozklad
32
LU rozklad
33
LU rozklad L y b Doprednou
substitúciou
34
LU rozklad U x y Spätnou substitúciou
35
LU rozklad Skúška správnosti A x b
36
LU rozklad Táto metóda v pocítacovej mechanike
používa velmi casto.
37
Choleskyho dekompozícia metóda použitelná len
pre symetrické matice matica musí byt
dostatocne pozitívne definitná A U T U
alternatívne A L LT
38
Choleskyho rozklad A x b
39
Choleskyho rozklad
40
Choleskyho rozklad
41
Choleskyho rozklad Doprednou
substitúciou
42
Choleskyho rozklad Spätnou
substitúciou
43
Choleskyho rozklad Skúška správnosti A x
b
44
Choleskyho rozklad Táto metóda v pocítacovej
mechanike používa velmi casto.
45
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Majme sústavu rovníc A x b Pre
maticu A (n x n) platí aii ? 0 pre i
1...n Maticu A rozložme A AL AD
AU AL dolná trojuholníková matica AD
diagonálna matica diagaii AU horná
trojuholníková matica príp. ALT transponovaná
dolná trojuholníková matica Dalej uvažujeme len
prípad AU ALT (pre symetrické
matice) teda A AL AD ALT
46
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda
47
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Iteracný algoritmus pre výpocet korenov
Jacobiho iteracná metóda Gauss-Seidelova
iteracná metóda
48
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Iteracný algoritmus pre výpocet korenov
Jacobiho iteracná metóda kde Gauss-Seidelova
iteracná metóda kde
49
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Príklad Jacobiho metódou nájdite korene
sústavy rovníc s presnostou ? 0,0003 A x
b Rozložíme maticu A
50
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda
51
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Štartovacie riešenie (zvolené
riešenie) 1. iterácia
52
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 2.
iterácia
53
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 3.
iterácia
54
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 4.
iterácia
55
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 164.
iterácia Presné riešenie
56
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Skúška správnosti A x b Presné
riešenie
57
Zle podmienené matice Majme sústavu rovníc
A x b Ak je matica A zle podmienená
(ill-conditioned matrix), riešenie úlohy môže byt
obtiažne. Napr. malé zaokrúhlenia clenov b
vektora, môže výrazne ovplyvnit riešenie /korene/
sústavy rovníc (x vektor).
58
Zle podmienené matice Príklad Riešením
sústavy rovníc 9x 8y 0,8 8x 7y
0,7 sú korene x 0 y 0,1 Ak zavedieme
malú chybu do pravej strany rovníc (vektor b)
(napr. zaokrúhlovacou chybou) 9x 8y
0,81 8x 7y 0,69 sú korene x -0,15 y
0,27
59
Riešenie systému nelineárnych algebraických rovníc
60
Riešice implementované v programe ?NSYS

• Direct Solvers - priame riešice
• Sparse Direct Solver využíva LU rozklad
• Frontal (Wavefront) Solver založený na metóde
  Gaussovej eliminácie
• Iterative Solver - iteratívne riešice
• Jacobi Conjugate Gradient (JCG) Solver
• Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Solver
• Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG)
  Solver
• Automatic Iterative (Fast) Solver Option
• Parallel/Distributed Solvers - distribuované
  riešice
• Algebraic Multigrid (AMG) Solver
• Distributed Jacobi Conjugate Gradient (DJCG)
  Solver
• Distributed Preconditioned Conjugate Gradient
  (DPCG) Solver