PowerPoint-Pr

1
Die Korrespondenz zwischen Automaten und Logik
Moshe Vardi A match made in heaven
Jens Kerber
Betreuer Tim Priesnitz
Gert Smolka Programming Systems Lab Universität
des Saarlandes
Logische Aspekte von XML (SS03)
2
Einführendes Beispiel
3
Überblick

• Darstellungen mit Hilfe der charakteristischen
  Mengen
• schwache SkS
• Korrespondenz zwischen Baumautomaten und
  schwacher SkS
• Komplexität
• Anwendung auf Presburger Arithmetik

4
Isomorphie zwischen Prädikaten und Mengen
Charakteristische Funktion Charakteristisch
e Menge
5
String als Matrix
6
Charakterisierende Mengen als String
7
String als Matrix
8
String als Matrix
Tupel-Automat
9
String als Matrix
10
schwache SkS
Nur Variablen 2. Ordnung Atomare
Formeln Logische Verknüpfungen
11
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge
12
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel
13
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung
14
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge
15
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung
16
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit
17
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit
Gleicheit
18
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit
Gleicheit Leerheit
19
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit
Gleicheit Leerheit Einelementige Menge
20
Abgeleitete Prädikate
Teilmenge Wurzel Endliche Vereinigung Schnittme
nge Disjunkte Zerlegung Präfixabgeschlossenheit
Gleicheit Leerheit Einelementige
Menge Ordnung auf Individuen
21
Kodiere Bäume inschwacher SkS
Nicht leer
22
Kodiere Bäume inschwacher SkS
Nicht leer
X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn
23
Kodiere Bäume inschwacher SkS
Nicht leer
X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn
Präfixabgeschlossen
24
Kodiere Bäume inschwacher SkS
Nicht leer
X disjunkte Vereinigung von X1,...,Xn
Präfixabgeschlossen
Anzahl Nachfolger entspricht Stelligkeit
25
Wörter und Bäume in schwacher SkS
26
Entscheidbarkeit
Satz Büchi,1960ThatcherWright,1968 schwa
che SkS ist entscheidbar Beweisidee Rückführ
ung auf Automaten
27

• Satz Büchi,1960ThatcherWright,1968
• Schwache SkS und Baumautomaten
• haben die gleiche Expressivität
• Beweisidee Automat nach Formel
• Entwickle Formel die genau dann erfüllt ist wenn
• der entsprechende Automat den Baum akzeptiert
• Beweisidee Formel nach Automat
• - Induktion über die Struktur der Formel
• - Baue Automaten für jede Basisformel
• - Verknüpfe Automaten für Basisformeln

28
Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS
Es existiert Zustandsfolge
29
Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS
Es existiert Zustandsfolge
Baum markiert mit Funktionssymbolen
30
Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS
Es existiert Zustandsfolge
Baum markiert mit Funktionssymbolen
Baum markiert mit Zuständen
31
Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS
Es existiert Zustandsfolge
Baum markiert mit Funktionssymbolen
Baum markiert mit Zuständen
Wurzel im Endzustand
32
Bottom-up Baumautomat durch schwache SkS
Es existiert Zustandsfolge
Baum markiert mit Funktionssymbolen
Baum markiert mit Zuständen
Wurzel im Endzustand
Alle Transitionsregeln im Lauf respektiern ?
33
Endlicher Automat für atomare Formel
34
Endlicher Automat für atomare Formel
35
Endlicher Automat für atomare Formel
q1
q0
36
Endlicher Automat für atomare Formel
q1
q0
37
Baumautomat für atomare Formel
38
Endlicher Automat für atomare Formel
39
Endlicher Automat für atomare Formel
40
Endlicher Automat für atomare Formel
q0
q1
q2
q3
41
Endlicher Automat für atomare Formel
q0
q1
q2
q3
ü
42
Baumautomat für atomare Formel
43
Akzeptierter Baum für
44
Endliche charakteristische Funktion in schwacher
SkS
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 ...
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ...
fX
Shape(X)
45
Endliche charakteristische Funktion in schwacher
SkS
0 1 0 1 0 0 1 ? 0 0 ...
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ...
fX
Shape(X)
46
Endliche charakteristische Funktion in schwacher
SkS
0 1 0 1 0 0 1 ? 0 0 ...
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ...
fX
Shape(X)
47
Verknüpfung

• Negation
• Determinisierung
• Automat vervollständigen
• Normal- und Endzustände vertauschen
• Disjunktion
• Zylindrifikation
• Existenzquantifizierung
• Projektion

48
Zylindrifikation am Beispiel der Transitivität
q0
q1
q2
49
Automat für
50
Projektion am Beispiel
q0
q2
q1
q4
q3
51
Projektion am Beispiel
q0
q2
q1
q4
q3
52
Rückführung k-när auf binär
53
Rückführung k-när auf binär
WSkS
WS2S
54
Komplexität

• Existenz (Projektion) führt zu ND-Automaten
• Negation führt zu D-Automaten
• ND nach D führt zu exponentieller Größenzunahme
• Sei N Anzahl Quantoralternierungen
• Sogar WS1S nicht elementar

55
Presburger Arithmetik
Satz Presburger,1929Büchi,1960Elgot,1961
Presburger Arithmetik ist entscheidbar
56
Binärdarstellung in schwacher S1S
57
Binärdarstellung in schwacher S1S
20 21 22 23 24 25 ...
1 1 0 1 0 0 ...
Binärdarstellung der Zahl (11)10
58
Endlicher Automat für Addition
q0
q1
q2
59
Endlicher Automat für Addition
q0
q1
1 0 1 0 ? 0 ...
0 1 1 0 ? 0 ...
1 1 0 1 ? 0 ...
q2
60
Referenzen
1 Hubert Comon, Max Dauchet, Remi Gilleron,
Florent Jacquemard, Denis Lugiez, Sophie
Tison, Marc Tommasi Tree Automata
Techniques and Applications Online
Publication 2002 2 Wolfgang Thomas Languages,
Automata and Logic Technical Report 1996 3
Erich Grädel, Wolfgang Thomas, Thomas Wilke
Automata, Logics, and Infinite Games A Guide to
Current Research Springer 2002 (LNCS
2500) 4 Bakhadyr Khoussainov, Anil Nerode
Automata Theory and Its Applications
Birkhäuser 2001 5 Frank Neven Automata,
Logic, and XML CSL 2002 6 Frank Neven, Thomas
Schwentick Query Automata on finite
trees Theoretical Computer Science
2002 7 Frank Neven Automata theory for XML
researchers to appear in Sigmod Record