Paradoxos Cl

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(No Transcript)
2

• DIVISIBILIDADE
• No Reino dos
• Números Primos
• Carlos Tenreiro
• Departamento de Matemática
• Universidade de Coimbra
• 18 de Março de 2006

3
Divisores de um número

• Divisores de um número são os números que dividem
  o número exactamente com resto zero

3 é divisor de 15
15 é divisível por 3
15 é múltiplo de 3
4
Divisores de um número

• Quais são os divisores de 3?

1 e 3

• Quais são os divisores de 5?

1 e 5

• Quais são os divisores de 6?

1, 2, 3 e 6

• Quais são os divisores de 28?

1, 2, 4, 7,...
5
Número primo
Um número é primo se só tem dois divisores a
unidade e ele próprio
Caso contrário, o número é composto
6
Primo ou Indecomponível

• 15 é composto. Pode decompor-se
• 15 3 x 5

• 7 é primo. Não se pode decompor
• 7 7

7
Alguns números primos




8
Alguns números primos




9
Mais números primos




10
Primo Importante Primeiro

• Os números primos são muito importantes. Qualquer
  número inteiro pode ser escrito como produto de
  números primos

220
2 x 110
2 x 2 x 55
2 x 2 x 5 x 11
11
Decomposição em factores primos
2
220
2
110
55
5
11
11
1
220 2 x 2 x 5 x 11
12
Decomposição em factores primos
220 2 x 2 x 5 x 11
Quais são os divisores de 220?
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220
13
Divisores de um número

• Quais são os divisores de 3?

1 e 3

• Quais são os divisores de 5?

1 e 5

• Quais são os divisores de 6?

1, 2, 3 e 6

• Quais são os divisores de 28?

1, 2, 4, 7,...
14
Número perfeito
Um número é perfeito se só é igual à soma dos
seus divisores próprios
Divisores de 6 1, 2, 3, 6
1 2 3 6
15
Decomposição em factores primos de 28
2
28
2
14
28 2 x 2 x 7
7
7
1
Divisores de 28
12471428
1, 2, 4, 7, 14, 28
16

• Desde quando se conhecem e estudam os números
  primos?

17
O osso de Ishango
18
O osso de Ishango
19
O osso de Ishango
20
Babilónios, Egípcios e Gregos
D.C.
A.C.
2006
20000
6000
Babilónios Egípcios Conheciam o Teorema de
Pitágoras
Gregos Pitágoras (569 475) Platão (427
347) Aristóteles (384 322) Euclides (325 265)
21
Babilónios

• Escrita cuneiforme
• Sistema de numeração posicional de base 60 (3000
  a.c.)
• Conheciam o teorema de pitágoras (1850 a.c.)

22
Babilónios
23
Babilónios
24
Egípcios

• Números por hieróglifos (3000 a.c.)
• Sistema de numeração desapropriado para cálculo
  numérico

Papirus de Rhind (1650 a.c.)
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Egípcios
26
Gregos(600 a.c.- 300 a.c.)
Pitágoras (569 a.c. 475 a.c.)
Platão (427 a.c. 347 a.c.)
Aristóteles (384 a.c. 322 a.c.)
Euclides (325 a.c. 265 a.c.)
27
Gregos
28
Pitágoras de Samos

• Fundou uma escola de filosofia e religião.
• Os pitagóricos conheciam diversas propriedades
  dos números estudaram as noções de divisor e de
  número perfeito.

(569 A.C. 475 A.C.)
29
Platão

• Conhecia o trabalho de Pitágoras (399 a.c.).
• Fundou a Academia em Atenas (387 a.c.).
• O seu nome está ligado aos sólidos platónicos.

(427 A.C. 347 A.C.)
30

31
Aristóteles

• Foi aluno de Platão (367 a.c.).
• Nos seus trabalhos são evocados por diversas
  vezes os números compostos e primos.

(384 A.C. 322 A.C.)
32
Euclides de Alexandria

• Mais importante matemático da antiguidade.
• Escreveu Os Elementos, mais
  importante obra matemática da antiguidade.

(325 A.C. 265 A.C.)
33
Os Elementos
Uma página de Os Elementos numa tradução
latina publicada em1482.
34
Os Elementos
O que diz Euclides
Um número é primo se só pode ser medido pela
unidade e por ele próprio
Caso contrário, o número é composto
35
Os Elementos
O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo
4
15
5
4
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Os Elementos
O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3
(além do 1 e do 15)
15
5
3
37
Os Elementos
Euclides dizia 3 e 5 medem 15
Nós dizemos 3 e 5 dividem 15
38
Os Elementos

• Se um número primo divide um produto de dois
  números, então divide, pelo menos, um deles.
  (Princípio de Euclides)

• Todos os números naturais ou são primos ou podem
  ser expressos como produto de primos de uma forma
  única, para além da ordem com que são escritos.
• (Teorema fundamental da aritmética)

• Existe um número infinito de números primos, ou
  seja,
• há sempre novos números primos.

39
Há sempre novos primos
40
Os Elementos
Existe um número infinito de números primos, ou
seja, há sempre novos números primos.
41
Há sempre novos primos
2
3
5
...
42
Há sempre novos primos
2, 3, 5, 7, 11, 13
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 1 30031
Como nenhum dos primos anteriores divide 30031
terá de existir um novo primo
43
Crivo de Eratóstenes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
44
Primos enormes
Com 50 algarismos
Com 100 algarismos
Com 200 algarismos
45
Primos enormes
Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que até
1951 foi o maior primo conhecido
2127-1 17014118346046923173168730 3715884105727
Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a
ajuda de uma calculadora mecânica
(21481)/17 209889366574405864861512 64256610222
593863921
46
Primos enormes
909 526 algarismos
Primo de Mersenne (1588-1648).
47
Primos de Mersenne
Os primos da forma
2p - 1
Mp
com p primo, são chamados primos de Mersenne
(1588-1648).
48
Números de Mersenne
Primo
Número de Mersenne

2
22 1 2 x 2 1 3
5
25 1 31
11
211 1 2047
2047 89 x 23
49
Primos de Mersenne
Nº p Mp ano
1 2 3
2 3 7
3 5 31
4 7 127
5 13 8191 1461
6 17 131071 1588
7 19 524287 1588
Os primeiros primos de Mersenne eram conhecidos
desde a antiguidade
50
Primos de Mersenne
Em 1644 Mersenne afirma que são primos os
números gerados a partir de
p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257
Faltavam
p 61, 89, 107
51
Primos de Mersenne
Nº p Algarismos de Mp Ano
37 3021377 909526 Jan. 1998
38 6972593 2098960 Jun. 1999
39 13466917 4053946 Nov. 2001
40? 20996011 6320430 Nov. 2003
... ... ... ...
43? 30402457 9152052 Dez. 2005
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Primos de Mersenne e números perfeitos
Euclides sabia como obter números perfeitos a
partir dos primos de Mersenne
p Mp Número perfeito
2 22-1 3 21x3 6
3 23-1 7 22x7 28
5 25-1 31 24x31 496
7 27-1 127 26x127 8128
53
Primos de Mersenne e números perfeitos
Mais alguns números perfeitos
p Número perfeito
13 33550336
17 8589869056
19 137438691328
31 2305843008139952128
54
Queres ficar famoso?
Basta saber responder a uma destas questões

• Haverá um número infinito de primos
• de Mersenne?

• Haverá um número infinito de números
• compostos de Mersenne?

• Haverá números perfeitos ímpares?

55
Um problema perfeito
Números perfeitos
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
Mostra que um número perfeito par termina em 6
ou 8.
56

BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE