Slide sem t

1
OBJETIVO Comparar as médias de mais de duas
amostras
independentes.
Porque não posso comparar as médias duas a
duas com testes t ? Exemplo com 3grupos 1X2,
1X3 e 2X3.
Em cada teste que realizo tenho uma chance de
erro do tipo I (?) que estabeleço igual
a 0.05. Se realizo 3 testes estes meu erro é
multiplicativo então minha chance que de não
cometer o erro que era de (1 - 0.05) será de (1 -
0.05) (1 - 0.05) (1 - 0.05) 0.857 e ?
0.143, bem maior do que estipulamos.
Consequência Rejeitaríamos HO mais do que
deveríamos, encontraríamos mais diferenças
significativas do que elas realmente existem.
O teste estatístico que veremos protege contra
este tipo de situação comparando simultaneamente
mais de duas médias. Fixa o meu erro.
2
Variáveis envolvidas
1-A var. referente aos grupos que serão
comparados, que pode ser cat. nominal (Pr/Br/Am),
cat. Ordinal ou quantitativas contínuas ou não,
desde que categorizadas em 2 categorias
(0-20/21-40/41 ou ). Neste teste são bastante
conhecidos por FATORES ou tratamentos.
2 - A var. que será propriamente comparada, que
deve ser numérica (contínua ou discreta). Há
grande controvérsia quanto às ordinais,
teoricamente não, mas no mundo real utiliza-se
bastante também as ordinais.
Exemplos - A média da taxa de glicemia é
equivalente entre as raças (preto,branco
e amarelo) - O tempo gasto para o alivio da dor é
equivalente entre as drogas A, B, C e o
placebo - A o valor da escala de depressão (BECK)
varia conforme grupo com IMC lt 20, com IMC
entre 20 e 25 e com IMC gt 25
3
1 - A variável que será
comparada (2) precisa ter distribuição normal,
é necessário realizar um teste de normalidade
antes, c.c, a eficácia do teste é bastante
questionável. O procedimento correto é testar a
normalidade para cada nível da var. categorizada,
cada nível do FATOR (Usualmente testa-se somente
a variável como um todo).
SUPOSIÇÃO
2 - A amostras precisam ter variâncias
equivalentes, os fatores precisam ter variância
iguais. HOMOCEDASTICIDADE das variâncias. Rarament
e vejo alguém realizar esta verificação. OBS.
3 - As observações (xi) de cada grupo são
independentes uma das outras, e as amostras são
independentes entre si.
Graficamente
4
Tese de hipótese associado
H0 Média da amostra 1 Média da amostra 2 ...
Média da amostra n X H1 Média da amostra i ?
Média da amostra j para i ? j
Teste estatístico Verificada e não rejeitada a
hipótese de normalidade e a homocedasticidade é
o teste conhecido por Análise de Variância ou
ANOVA.
Lógica do teste Suponha K amostras Am.1
Am.2....Am.k Se tudo é
casual ,todas as variações x11 x12
x1k ? Mx1. s1. são casuais, a variação
DENTRO x21 x22 x2k? Mx2. s2.
de cada amostra deve equivalente x31 x32
x3k a variação
ENTRE cada amostra. xn1 xn2 xnk?
Mxk. Sk. Variação ENTRE 1 Mx.1
Mx.2 Mx.k Mx.. Variação
DENTRO s.1 s.2 s.k
5
Am.1 Am.2....Am.k x11 x12 x1k ?
Mx1. s1. x21 x22 x2k? Mx2.
s2. x31 x32 x3k. xn1 xn2
xnk? Mxk. Sk. Mx.1 Mx.2 Mx.k
Mx.. s.1 s.2 s.k

A variação ENTRE é a soma dos desvios das médias
das amostras em relação à média total ? ni(Mx. -
Mx..)²
A variação TOTAL é a soma dos desvios de cada
observação em relação à média Total ? ? (xij -
Mx..)²
Como var. TOTAL var. ENTRE var. DENTRO, a
var. DENTRO é calculada em função das outra duas.
TABELA DA ANOVA
Fontes de variação Soma dos Quadrados g.l.
Qua. Médio F Entre
? ni(Mx. - Mx..)2 k-1 SQ/(K-1)
QMEntre Dentro Total -
Entre N-k SQ/(N-k) QMDentro
Total ? ? (xij - Mx..)2
N-1
6
A estatística (Quadr.médio ENTRE)/(Quadr. Médio
Dentro) tem uma distribuição tabelada conhecida
por F ( de Snedecor).
Então acho o valor da est. e comparo com o valor
da distribuição F com (N-1)(N-k) g.l. e nível
de significância adotado. OU (mais comum)
verifico qual a probabilidade do valor da est.
numa distr. F com (N-1) (N-k) g.l. e comparo
com ? 0.05. Se for menor rejeito HO.
Observe que na tabela F tenho que verificar
dois graus de liberdade. Um relativo a variação
Entre e outro a variação Dentro
7
Exemplo direto no Minitab Desejo comparar as
notas (0 -100) no provão de 4 faculdades. Vou
em Stats e daí em ANOVA e depois One-way
Na nova tela coloco a var. Nota (que contém os
valores) em Response e a var. Fac (que contém
a que faculdade o aluno pertence) em Factor. E
OK
8
Na saída há a tabela da Anova, com os g.l, SQ,
QM, a estatística F e p. Além disso temos o
tamanho da amostra, média, dp para cada nível do
fator.
Portanto Rejeito H0. Concluo que há
diferença significativa entre as amostras,
mas quem é diferente de quem ?
9
Quando rejeito H0 em uma ANOVA necessito realizar
um teste post hoc. Este teste é que indicará quem
é diferente significativamente de quem.
Existem muitos testes post hoc, cada um tem sua
característica e é indicado para situações
específicas. O Minitab fornece dois bastante
utilizados, o de TUKEY, que veremos, e o de
DUNNET que é utilizado quando uma das amostras é
um controle que desejamos comparar com as demais.
Na tela da ANOVA clicamos em
COMPARISONS e obtemos a tela ao lado.
Nesta tela optamos por Tukeys, o valor 5
corresponde a 0.05 e é o default. E OK.
10

No output verificamos que há 6 intervalos de
confiança, cada um refere- se a uma comparação
específica, nesta ordem 1x2, 1x3, 1x4, 2x3, 2x4
e 3x4.
Regra Se o 0 não estiver dentro do intervalo
há diferença significativa entre os dois
fatores, c.c., se o 0 estiver dentro do intervalo
não há diferença significativa entre os fatores.
Quais as diferenças significativas ?
Resultado final é Há diferença quanto às
faculdades F1 gt F2 gt (F3F4)
11
Lembre que devemos testar a normalidade
(vocês já estão cansados de saber como) e devemos
testar também a homocedasticidade das variâncias
Em Anova vamos em Test for Equal Va Riances.
Lembre que nossa H0 neste tipo de teste é que as
variâncias são equivalentes e H1 de não
equivalência.
O preenchimento é o mesmo, a var. com os valores
em Response e a var. do grupo em Factors
12
Test for Equal Variances Response
Prova Factors Fac ConfLvl
95,0000 Bonferroni confidence intervals for
standard deviations Lower Sigma Upper
N Factor 11,6940 14,5611 19,1065 54
1 12,7417 14,9885 18,1156 103 2
10,5853 13,8308 19,6191 35 3 9,2218
15,4712 39,7042 8 4 Bartlett's Test
(normal distribution) Test Statistic
0,360 P-Value 0,948
Temos na saída um intervalo de confiança para o
dp de cada fator, e o resultado do teste de
Bartlett que compara mais de dois dps . Com p
0.948, não rejeito H0 e assumo a igualdade das
variâncias.
Resumindo 1 - Teste a normalidade da
variável (se não for normal tente alguma
transformação). 2 - Verifique a homocedasticidade
das variâncias. 3 - Se rejeitar HO, aplique um
teste post hoc.
13
Vimos a situação em que comparamos uma var.
numérica entre os níve- is de uma outra var.
categórica ou categorizada. Podemos efetuar
este mesmo raciocínio para mais de uma var.
categorizada ao mesmo tempo e verificar se
existe uma interação entre as variáveis
categorizadas, p.exp

• Sexo e Raça influem nos valores de uma escala de
  ansiedade
• Escolaridade e Presença de trauma influem no
  tempo de resolução de um teste
• Renda (categorizada) e Situação conjugal influem
  nos resultados de um teste de stress ?

Em situações como esta, em que as variáveis
independentes são duas ou mais, podemos dizer que
estamos realizando uma análise multivariada, nas
situações anteriormente vistas tínhamos sempre
uma var. dependente e uma independente, análise
univariada, agora com duas vars. , multi,
aná lise multivariada.
Tipos de variáveis 1- A dependente, que deve ter
dist. Normal e homo- cedasticidade das
variâncias 2 - As independentes que precisam ser
cate- gorias e um número mínimo em cada categoria
(n 10). Conselho
14
Um pesquisador deseja saber se 4 diferentes
tipos de droga, bem como a raça (3 categorias,
raças) tem influência sobre os valores de uma
determinada medida em ratos .
Observe que colocamos cada variável em uma coluna.
O
método estatístico utilizado é conhecido por
ANOVA TWO
WAY, devido as duas variáveis,
ou ANOVA com 2 Fatores,
porém no Minitab a utilização deste método
requer um experimento BALANCEADO, i. é,
todas as combinações de Droga e raça (4 X 3 12
) precisam ter o mes- mo tamanho amostral.
Quando isto não ocorre (experimento não
balanceado) o Minitab não rea- liza o teste.
Usaremos então o módulo General Linear Model.
Em ANOVA vamos em General Linear Model.
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Nesta tela alocamos a var. resposta, dependente,
em Response, as vars. independentes, os
fatores, alocamos em Random factors e na
janela referente a Model explicitamos o modelo
que desejamos com os dois Fatores e a interação
Droga, Raça, DrogaRaça. E OK.
No output temos as vars. com os nú- meros de
níveis de cada uma e a tabela da Anova. O que
esta abaixo não nos interessa.
Na Anova vemos que há uma diferen- ça
significativa entre as Drogas ( p 0.008), não
há diferença significativa entre as Raças
(0.81)e a interação não foi significativa (p
0.60).
16
A interação verifica, testa, se a eventual
diferença encontrada em uma var. permanece a
mesma nos diferentes níveis da outra var., ou
seja, será que a diferença encontrada entre as
drogas é a mesma para as diferentes raças ?
Como a interação do nosso exemplo não foi
significativa (p 0.60), con- cluímos que sim.
Se a interação fosse significativa (p 0.05)
teríamos que a diferença entre as drogas
variaria significativamente conforme a raça
Para sabermos quem difere de quem nas drogas
podemos utilizar o ícone de Multiple
Comparisons da ANOVA ONE WAY
Perceba que quando fazemos um teste como este
estamos realizando 3 testes de hipótese 1 - que
compara os níveis da var. Droga 2 - // //
// // // // Raça 3 o que
verifica a interação se as diferenças
encontradas nos níveis de um determinado fator
variam ou não significativamente conforme os
níveis do outro fator (variável).
17
Outro exemplo Desejamos verificar se 3
diferentes tipos de terapia e o ní- vel
sócio-econômico (com 3 categorias) influem em uma
escala.
Observe, novamente, como fica a nossa tela no GLM
do Minitab.
Da tabela da Anova, inferimos que há diferença
significativa entre as clas- ses sociais, e que
esta diferença varia conforme a terapia
utilizada, a intera- ção foi significativa ( p
0.019).
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Temos que Nse 1 tem média 144.8 Nse 2 tem
média 107.6 Nse 3 tem média 64.2,
portanto NSE 1 gt NSE 2 gt NSE 3. MAS isto é para o
ge- ral, esta relação muda conforme a terapia.
Observando as médias dos NSE dentro de
cada terapia será que a relação Nse 1 gt Nse2 gt
Nse 3 mantém-se em cada uma as terapias ?
Não.
Dependendo do objetivo do pesquisador pode-se
realizar uma Anova one-way para cada terapia.
O raciocínio da Anova com 2 fatores pode ser
extendido para n fatores, uma Anova n fatorial
(multifatorial), tantas quantas forem as vars.
inde- pendentes. Vejamos um caso com 3
vars.
19
Desejamos testar se uma var. dependente (Esc2)
sofre influência do Sexo, Trauma (Sim/Não) e da
Idade categorizada em 3 níveis.
Ao lado temos como nos- sa tela do GLM é
organi- zada.
No output temos que a Idade influi na escala e
esta influên- cia varia conforme o Sexo
20
Como já foi dito, pode-se extender o raciocínio
para mais variáveis inde- pendentes, porém não é
muito comum pois
a)Devido a dificuldade de interpretação dos
resultados, não é fácilenxergar o que realmente
está acontecendo
b)É necessário uma amostra grande, consistente,
que tenha uma quantidade razoável de sujeitos em
cada nível de cada variável
c) O experimento precisa ser minimamente
balanceado, ou seja, todos os possíveis
cruzamentos necessitam ter um número de amostra
parecido e não muito pequeno.
Quando temos muitas variáveis dependentes
usualmente realizam-se as análises univariadas e
para a análise multivariada selecionamos aquelas
que na análise univariada apresentaram um p
menor que um valor pré- estabelecido (p 0.20 ou
0.10 ou 0.05) e as vars. que o pesquisador
acredita terem importância.
Na situação em que temos muitas vars.
dependentes, ou mesmo poucas mas o experimento
não é balanceado (quando determinados níveis de
uma ou mais vars. não possuem amostra
suficiente), utiliza-se a Anova mas sem
testar-se as interações, é a Anova somente com os
efeitos principais.
21
Todos os testes vistos até agora (teste z, teste
t para uma amostra, teste t para amostras
independentes, teste t para amostras pareadas
e Anova) possuem um ponto em comum e necessário
para que possam ser aplicados NORMALIDADE, a
variável que esta sendo comparada necessita ter
distribuição Normal
Mas e quando rejeitamos a normalidade ou está
claro que os dados não possuem distribuição
Normal, o que fazer ?
Em 1o. Lugar podemos tentar aplicar uma
transformação em nossos dados originais. Algumas
transformações são bastante conhecidas e em boa
parte das vezes levam nossos dados que não
possuem normalidade a uma distribuição normal.
No Minitab na barra de ferramentas na função
Calc. E depois Calculator.
São elas Log, Ln, Raiz quadrada, Arcseno, 1/x
...
Entretanto nem sempre as transformações funcionam
e há o caso de amostras muito pequenas, onde não
é possível nem testar a normalidade
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Nestes casos iremos utilizar testes conhecidos
por NÃO-PARAMÉTRICOS
Os testes não-paramétricos também são
conhecidos por testes de distribuição livre
(Free), pois não exigem nenhuma condição quanto à
forma da distribuição dos dados.
1 - O teste análogo ao teste t para duas
amostras independentes é o teste de
MANN-WHITNEY, cujo objetivo é comparar se a média
(mediana) de uma amostra possui valor
equivalente ao da outra amostra.
O tópico referente às variáveis envolvidas é
equivalente ao do teste t para duas amostras
independentes, com ênfase que este método é
bastante utilizado com variáveis qualitativas
ordinais.
O teste de hipótese
associado é HO Média (Mediana) da amostra 1
Média (Mediana) da amostra 2 X H1 Média
(Mediana) da amostra 1? Média (Mediana) da
amostra 2.
23
Suposição Não há suposição de normalidade, mas
há a suposição de independência entre as unidades
amostrais (xi).
Procedimento Exemplo Desejamos comparar os
scores de dois grupos para um determinado teste
psicológico
Valores do grupo A 5, 10, 2, 8 ,9, 1, 12
Valores do grupo B 4, 3, 5, 0, 6, 7, 2
O 1o. passo é ordenar as duas amostras
simultaneamente e atribuir RANKS ( em português
POSTOS) a ordenação Valor Rank Valor
Rank 0 1
6 9 Após esta
operação retornamos 1 2 7
10 aos grupos os valores
dos ranks 2 3.5 8
11 2 3.5 9 12
Grupo A 7.5, 13, 3.5, 11, 12, 2, 14 3
5 10 13 Grupo
B 6, 5, 7.5, 1, 9, 10, 3.5 4 6
12 14 5 7.5
Com este valores
(ranks) é que 5 7.5
serão efetuados os
cálculos do teste.
24
A estatística T S - ni(ni1)/2 onde S ?
(Ranks de uma das amostras tem uma distribuição
tabelada.ni Tamanho da amostra escolhida.
Então S 7.5 13 ... 14 63 e T 63 -
(78)/2 35 que equivale na tabela específica a
um p value 0.20, logo não rejeitamos H0
(0.20 gt 0.05).
Desejamos comparar a renda de homens e
mulheres numa determina da função.
Stats, daí vamos em Nonparame trics e depois
em Mann-Whitney.
Observe que apesar das amostras serem
independentes elas estão em colunas diferentes.
25
Aloco uma amostra em First Sample, a outra
amostra em Second Sample. Observe que optei por
um teste bicaudal e OK
No output temos os tamanhos de amostra, as
medianas, um interva- lo de confiança para a
diferença das medianas, a estatística calculada
teste de hipótese, seu
tipo e o p-value.
Mann-Whitney Test and CI renmas renfem renmas
N 13 Median 518,1 renfem N
19 Median 401,1 Point estimate for
ETA1-ETA2 is 101,4 95,4 Percent CI for
ETA1-ETA2 is (23,2286,0) W 219,0 Test of ETA1
ETA2 vs ETA1 not ETA2 is significant at
0,0193 The test is significant at 0.0189
(adjusted for ties
Portanto rejeitamos H0. Para fugir de polêmicas,
conclua assim
O sexo masc. apresentou valores
significativamente superiores aos do fem.
26
2 - O teste análogo ao teste t para duas
amostras pareadas é o teste de WILCOXON, cujo
objetivo é comparar as médias (medianas) de
duas amostras correlacionadas, pareadas, ou seja,
não independentes .
Tudo o que foi visto anteriormente a respeito das
duas medidas serem realizadas na mesma unidade
amostral contínua válido aqui.
O tópico referente às variáveis envolvidas é
equivalente ao do teste t para duas amostras
pareadas, com ênfase que este método é bastante
utilizado com variáveis qualitativas ordinais.
O teste de hipótese associado é HO A diferença
entre as medianas (médias) 0 X H1 A
diferença entre as medianas (médias) ? 0
Observe que este teste é semelhante a testarmos ,
se a variável diferença difere ou não
significativamente de 0.
Suposição A variável DIFERENÇA não necessita
ter distribuição normal, a suposição de
independência entre as diferenças é necessária..
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Infelizmente o Minitab não possui um módulo
específico para a realização do teste de
Wilcoxon para amostras pareadas. Adotaremos um
procedimento que fornecerá o mesmo resultado.
ProcedimentoExemplo Desejamos comparar o de
resposta de um tipo de tratamento em dois lotes
de células tumorais

Após calcular as diferenças entre a
unidades amostrais realizarei u m teste que
verifica se a mediana das diferenças é
equivalente a 0 H0 Antes Depois ? Antes -
Depois 0 Diferença Antes -Depois ?
H0Diferença 0 X H1 Diferença ? 0
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Após digitar meus grupos A e B nas colunas C1
e C2, na barra de ferramentas vou em Calc e daí
em Calculator
Na tela resultante no espaço Expression indico
a operação que desejo, que é var. A - var.B, e
aviso que desejo armazena-lá na coluna C6 em
Store result ... . E OK
29
Depois vamos em Stat, Nonparametrics e daí em
1-Sample Wilcoxon
Na tela do teste especificamos a variável C6
(Diferença), ativamos Test median e colocamos
o valor 0
Wilcoxon Signed Rank Test C6 Test of median
0,000000 versus median not 0,000000 N for
Wilcoxon Estimated N Test
Statistic P Median C6 9 8
33,0 0,042 5,000
Na saída temos o teste de hipótese, o p-value e
a mediana estimada.
Rejeitamos H0, portanto a diferença entre as
amostras A e B e A gt B, pois a mediana estimada é
positiva.
30
3 - O teste análogo ao teste para comparar mais
de duas amostras independentes (ANOVA) é o teste
de KRUSKAL-WALLIS, também conhecido por Análise
de Variância Não-Paramétrica
O tópico referente às variáveis envolvidas é
equivalente ao do teste t para duas amostras
independentes, com ênfase que este método é
bastante utilizado com variáveis qualitativas
ordinais.
O teste de hipótese
associado é HO Média (Mediana) da amostra 1
Média (Mediana) da amostra 2 X H1 Média
(Mediana) da amostra 1? Média (Mediana) da
amostra 2.
Suposição Não há suposição de normalidade, mas
há a suposição de independência entre as unidades
amostrais (xi)e entre as unidades das diferentes
amostras.
A estatística
onde Ri é o ranking

médio de cada amostra K
número de amostras (fatores, grupos) , N
tamanho total da amostra e ni tamanho de cada
amostra tem distribuição Qui-Quadrado com
k-1 graus de liberdade.
31
Exemplo da distribuição Qui- Quadrado com g.l.
4.
Exemplo direto no Minitab Quero verificar se 3
tratamentos produzem resultados equivalentes ou
não.
Stats, Nonparametrics, e daí
em Kruskal-Wallis
Na tela alocamos a var. X emResponse e a var.
dos grupos em Factor.
32
Kruskal-Wallis Test X versus Trat Kruskal-Wallis
Test on X Trat N Median Ave Rank
Z 1 10 1,882 8,8 -2,95 2 10
3,903 24,0 3,74 3 10 2,289 13,7
-0,79 Overall 30 15,5 H 15,53 DF
2 P 0,000
Na saída temos para cada fator o n, a mediana, o
rank médio, a esta tística calculada, os g.l. e o
p-value lt 0.001, portanto Rejeito H0,
há diferença entre os tratamentos.
Entretanto, quase sempre desejamos saber quais as
diferenças significativas entre os tratamentos. O
Minitab não fornece nenhum teste post hoc quando
rejeitamos H0 em sua ANOVA não-paramétrica. O
teste post hoc utilizado é o de DUNN, portanto
pesquise um programa que faça este teste. Outro
recomendado é o de Newman-Keuls, encontra do nos
módulos da ANOVA paramétrica, normal em alguns
programas..
33
1) Comparar uma média (mediana) amostral
Normal ? Teste t para uma amostra
Não Normal ? Teste de Wicoxon para uma
amostra
2) Comparar duas médias medianas amostrais
independentes (unidades amostrais
independentes) Normal ? Teste t para
amostras independentes Não Normal ? Teste de
Mann-Whitney
3) Comparar duas médias amostrais pareadas ou
correlacionadas (mesma unidade
amostral) Normal ? Teste t para amostras
pareadas ou correlacionadas Não Normal ? Teste de
Wilcoxon para amostras pareadas Normalidade da
variável DIFERENÇA
4) Comparar mais de duas amostras
independentes Normal ? ANOVA (Análise de
Variância) Não Normal ? Teste de Kruskal-Wallis.