Fun

1
Funções Rosen 5th ed., 1.8

• Estruturas Discretas e Lógica Matemática
• Dep. de Informática UFMA
• Prof. Anselmo Paiva

2
Funções

• Conceito familiar no cálculo
• Função real f, que associa a cada número x?R um
  valor particular yf(x), onde y?R.
• Noção generalizada
• Conceito de associar elementos de um conjunto
  qualquer a elementos de um outro conjunto qualquer

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Definição Formal

• Sejam A e B dois conjuntos, então dizemos que um
  função f de A em B (fA?B) é uma associação de um
  único elemento f(x)?B a cada elemento x?A.
• Generalizações desta Idéia
• Função f associa zero ou elemento de B a cada
  elemento x?A.
• Funções de n argumentos relations.
• Mais na frente veremos

4
Gráficos de Funções

• Podemos representar uma função fA?B como o
  conjunto de pares ordenados (a,f(a)) a?A.
• Isto torna f uma relação entre A e B
• Para cada a?A, existe somente um par (a,b).
• Podemos representar os pares ordenados como
  pontos em um plano.
• Assim desenhamos uma curva com um único y para
  cada x.

5

• Funções pode ser representadas graficamente

A
B
f


f




y

a
b




x
A
Grafo Bipartido
B
Gráfico
Diagrama de Venn
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Funções que já vimos

• Uma proposição pode ser vista como uma funçãoque
  leva de situaçõesem valores veradade T,F
• pEstá chovendo.
• snossa situação aqui hoje
• p(s)?T,F.
• Um operador proposicional pode ser visto como uma
  função de pares ordenados em valores verdade
  e.g., ?((F,T)) T.

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Mais funções

• Um predicado pode ser visto como uma função de
  objetos em proposições P tem 2 metros de
  altura P(Zé) Zé tem 2 metros de altura.
• Uma bit string B de comprimento n pode ser vista
  como uma função de números 1,,n(posições dos
  bits) em bits 0,1.E.g., B101 ? B(3)1.

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Continuando

• Um conjunto S sobre um universo U pode ser visto
  como uma função dos elementos de U em T, F,
  definindo se cada elemento de U está no conjunto
  S
• Suponha U0,1,2,3. Então
• S3? S(0)S(1)S(2)F, S(3)T

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Continuando

• Um conjunto de operadores tal como ?,?,? pode
  ser visto como uam função de pares de conjuntos
  em conjuntos.
• Exemplo ?((1,3,3,4)) 3

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Notação

• Podemos escrever YX para denotar o conjunto F de
  todas as possíveis funções f X?Y.
• Assim, f ? YX é outra maneira de dizer que f
  X?Y.
• Notação apropriada
• Para X e Y finitos
• F YX.

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Detalhe

• Se usarmos F?0, T?1, então um subconjunto T?S é
  uma função de S em 0,1
• P(S) pode ser representado como 0,1S (o
  cojunto de todas as funções de S em 0,1 )

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Terminologia

• Se escrevemos fA?B, e f(a)b (onde a?A b?B),
  podemos dizer
• A é o domínio de f.
• B b é o contra-domínio de f.
• b é a imagem de a em f.
• O conjunto imagem de fA?B é o conjunto de todas
  as imagens de elementos de A.
• Dizemos que fA?B mapeia A em B.

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Funções

• Considere a função fP?C com
• P Linda, Max, Kathy, Peter
• C Boston, New York, Hong Kong, Moscow
• f(Linda) Moscow
• f(Max) Boston
• f(Kathy) Hong Kong
• f(Peter) New York
• O conjunto imagem de f é C.

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Funções

• Let us re-specify f as follows
• f(Linda) Moscow
• f(Max) Boston
• f(Kathy) Hong Kong
• f(Peter) Boston
• Is f still a function?

yes
Moscow, Boston, Hong Kong
What is its range?
15
Funções

• Other ways to represent f

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Funções

• Se o domínio de f for grande, é conveniente
  especificar f com uma fórmula, e.g.
• fR?R
• f(x) 2x
• Isto leva a
• f(1) 2
• f(3) 6
• f(-3) -6

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Funções

• Sejam f1 e f2 funções de A em R.
• Então a soma e o produto de f1 e f2 são também
  funções de A em R definidas por
• (f1 f2)(x) f1(x) f2(x)
• (f1f2)(x) f1(x) f2(x)
• Exemplo
• f1(x) 3x, f2(x) x 5
• (f1 f2)(x) f1(x)f2(x)3x x 5 4x 5
• (f1f2)(x) f1(x) f2(x) 3x(x 5) 3x2 15x

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Funções

• Seja fA?B.
• Se tomarmos um subcon
• If we only rejunto S?A, o conjunto de todas as
  imagens de elementos s?S é denominado imagem de
  S.
• Denotada por f(S)
• f(S) f(s) s?S

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Funções

• Considere a seguinte função
• f(Linda) Moscow
• f(Max) Boston
• f(Kathy) Hong Kong
• f(Peter) Boston
• Qual a imagem de S Linda, Max ?
• f(S) Moscow, Boston
• Qual a imagem de S Max, Peter ?
• f(S) Boston

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Composição

• A composição de duas funções gA?B e fB?C,
  denotada por f?g, é definida como
• (f?g)(a) f(g(a))
• Isto significa que
• a primeira função é aplicada ao elemento a?A,
• mapeando ele em um elemento de B,
• Então f é aplicada a este elemento de B
• Mapeando eme em um elemento de C.
• Assim
• função composta mapeia elementos de A em C.

21
Composição

• Exemplo
• f(x) 7x 4, g(x) 3x,
• fR?R, gR?R
• (f?g)(5) f(g(5)) f(15) 105 4 101
• (f?g)(x) f(g(x)) f(3x) 21x - 4

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Composição

• Composição de função e sua inversa
• (f-1?f)(x) f-1(f(x)) x
• É a função identidade I(x) x.

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Propriedades das Funções

• Uma função fA?B é dita injetora sss
• ?x, y?A (f(x) f(y) ? x y)
• ?x, y?A(??x,y x?y ? f(x)?f(y)).
• F é injetora sss não mapeia dois elementos
  distintos de A no mesmo elemento de B.

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Propriedades das Funções
g(Linda) Moscow g(Max) Boston g(Kathy)
Hong Kong g(Peter) New York G é é
injetora? Sim

• De novo
• f(Linda) Moscow
• f(Max) Boston
• f(Kathy) Hong Kong
• f(Peter) Boston
• F é injetora?
• Não,
• Max e Peter são mapeados na mesma imagem.

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Propriedades das Funções

• Como provar que um função é injetora?
• Olhe a definição primeiro
• ?x, y?A (f(x) f(y) ? x y)
• Exemplo
• fR?R
• f(x) x2
• Use contra exemplo pra provar que não é
• f(3) f(-3), but 3 ? -3, so f is not one-to-one.

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Propriedades das Funções

• outro exemplo
• fR?R
• f(x) 3x
• Injetora ?x, y?A (f(x) f(y) ? x y)
• Mostrar que f(x) ? f(y) quando x ? y
• x ? y
• 3x ? 3y
• f(x) ? f(y),
• assim se x ? y, então f(x) ? f(y), logo, f é
  injetora.

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Propriedades das Funções

• A função fA?B com A,B ? R é denominada
  estritamente crescente, se
• ?x,y?A (x lt y ? f(x) lt f(y)),
• E estritamente descrescente se
• ?x,y?A (x lt y ? f(x) gt f(y)).
• Um função que é estritamente crescente ou
  estritamente descrescente é injetora.

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Propriedades das Funções

• Uma função fA?B é denominada sobrejetora, sss
  para cada elemento b?B existe um elemento a?A com
  f(a) b.
• Se o cojunto imagem for igual ao contra-domínio
• Uma função f A?B é bijetora sss é injetora e
  sobrejetora.
• Logo se f é bijetora e A e B são conjuntos
  finitos, então A B.

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Propriedades das Funções

• F é injetora?
• Não.
• F é sobrejetora?
• Não.
• F é bijetora?
• Não.

30
Propriedades das Funções

• F é injetora?
• Não.
• F é sobrejetora?
• Sim.
• F é bijetora?
• Não.

Paul
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Propriedades das Funções

• F é injetora?
• Sim.
• F é sobrejetora?
• Não.
• F é bijetora?
• Não.

32
Propriedades das Funções

• F é injetora?
• Não.
• F não é função

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Propriedades das Funções

• F é injetora?
• Sim
• F é sobrejetora?
• Sim
• F é bijetora?
• Sim

Linda
Boston
Max
New York
Kathy
Hong Kong
Peter
Moscow
Lübeck
Helena
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Inversa

• As funções bijetora possuem uma função inversa.
• fA?B tem como função inversa
• f-1B?A com f-1(b) a tal que f(a) b.

35
Inversa
Exemplo f(Linda) Moscow f(Max)
Boston f(Kathy) Hong Kong f(Peter)
Lübeck f(Helena) New York É um função bijetora
A inversa é dada por f-1(Moscow)
Linda f-1(Boston) Max f-1(Hong Kong)
Kathy f-1(Lübeck) Peter f-1(New York)
Helena Inversão so é possível para bijetoras
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Inversa
Linda
Boston
Max
New York

• f-1C?P não é função
• Não está definida para todos os elementos de C
• Associa duas imagens a New York.

Kathy
Hong Kong
Peter
Moscow
Lübeck
Helena
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Função teto e piso

• Mapeiam números reais em inteiros (R?Z).
• Piso(floor) associa r?R ao maior z?Z com z ? r,
  denotado por ?r?.
• ?2.3? 2, ?2? 2, ?0.5? 0, ?-3.5? -4
• Teto (ceiling) associa r?R ao menor z?Z com z ?
  r, denotado por ?r?.
• ?2.3? 3, ?2? 2, ?0.5? 1, ?-3.5? -3

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SequênciasRosen 5th ed., 1.8

• Estruturas Discretas e Lógica Matemática
• Dep. de Informática UFMA
• Prof. Anselmo Paiva

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Sequências

• Representam listas ordenadas de elementos.
• É definida como uma função de um subconjunto de N
  em um conjunto S.
• Usamos a notação an para denotar a imagem do
  inteiro n
• Chamamos an de um termo da sequência.
• Subconjunto de N 1 2 3 4 5

40
Sequências

• Usamos a Notação an para descrever uma
  sequência.
• É conveniente descrever uma sequência com uma
  fórmula.
• Por exemplo a sequência do slide anterior
• an, where an 2n.

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As Fórmulas de Sequências
Quais as fórmulas pras seguintes sequências a1,
a2, a3, ?
an 2n - 1

• 1, 3, 5, 7, 9,

-1, 1, -1, 1, -1,
an (-1)n
2, 5, 10, 17, 26,
an n2 1
0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25
an 0.25n
3, 9, 27, 81, 243,
an 3n
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Strings

• Sequências finitas são denominadas de strings,
  denotadas por a1a2a3an.
• O comprimento de uma string S é o número de
  termos que S possui.
• A string vazia não contém termos. Possui
  comprimento zero

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Somatórios
O que isto significa?

• A variável j é denominada índice do somatório,
  indo do seu limite inferior m ao limite superior
  n.

44
Somatórios
Como expressar a soma dos primeiros mil termos de
uma sequência an com ann2 para n 1, 2, 3,
?
Escrevemos como
Qual o valor de ?

• 1 2 3 4 5 6 21.

Qual o valor de ?
Muito trabalho pra calcular isto
45
Somatórios

• Gauss apresentou a seguinte fórmula

Quando temos esta fórmula, podemos calcular o
valor de qualquer somatório
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Séries Aritméticas
???

• Como

Observe que 1 2 3 n/2 (n/2 1) (n
- 2) (n - 1) n
1 n 2 (n - 1) 3 (n - 2)
n/2 (n/2 1)
(n 1) (n 1) (n 1) (n 1)
(com n/2 termos)
n(n 1)/2.
47
Séries Geométricas

• Como

???
Observe que S 1 a a2 a3 an
aS a a2 a3 an a(n1)
assim, (aS - S) (a - 1)S a(n1) - 1
Entao, 1 a a2 an (a(n1) - 1) / (a -
1).
E.G. 1 2 4 8 1024 2047.
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Séries Úteis

• 1.
• 2.
• 3.
• 4.

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Somatórios Duplos

• Correspondendo a loops aninhados em linguagens de
  programação
• Exemplo