Fun

1
Funções

• Tipo de relação onde não pode ocorrer a situação
  um para vários (1-to-N). Daí, a denominação
  determinística.
• Notação Usa-se f x y em lugar de x R y
• Em Z, funções são baseadas em Teoria de Conjuntos
  com Tipos. Apesar disso, cada classe de função
  tem sua representação própria

2
Funções Parciais
Alicerce para definir as demais classes de
funções. Portanto, as funções parciais são as
mais simples.

X Y RXY "xX y,zY x R y Ù x R z ? yz
Exemplos
Seja ASCIIA,B,...,Z,a,b,...,z
asc N ASCII asc65 A, 66 B,
..., 90 Z, 97 a, 98 b, 122 z
I
Simetrico Z N " p Z n N Simetrico p
n Û - p n
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
3
Funções Totais
A função deve ser bem definida em todo o seu
domínio.

XY f X Y dom f X
Exemplos
Seja BYTE65,...,122
asc BYTE ? ASCII asc65 A, 66 B, ...,
90 Z, 97 a, 98 b, 122 z
suc N N " x N suc x x 1
I
I
I
4
Operações sobre Funções
Os operadores de relações e conjuntos podem ser
usados em funções, mas isso não implica
fechamento. ExemploJoão Maria, José
Neide È José Magda ß
João Maria, José Neide, José
Magda A união de duas funções é fechada se
" f, g X Y f È g Î X Y Û " x X
x Î (dom f) Ç (dom g) f x g x
5
Operações sobre Funções (cont.)
Pode-se evitar a restrição anterior assumindo a
sobreposição dos pares de f pelos de g
quando x Î (dom f) Ç (dom g) Notação f Å
g ExemploJoão Maria, José Neide Å
José Magda ß João
Maria, José Magda Obs. A sobreposição
pode ser usada, por exemplo, para realizar
atualizações em bancos de dados.
6
Definição Formal de Sobreposição
X, Y __ Å __ (X Y) (X Y) (X
Y) " f, g X Y f Å g ((dom g) f) È g
Teoremas 1. f Å f f 2. f Å (g Å h) (f Å g) Å
h 3. Å f f 4. f Å f 5. (dom f Ç dom g)
Þ f Å g f È g g Å f
7
Abstrações Lambda
Usada para definir uma função sem nome. Notação
lltArgsgt ltPredicadogt ltExpressãogt Exemplos l
n N nn n N n (nn) l n N n ¹ 0
n-1 n N n ¹ 0 n (n-1)
I
I
I
I
Aplicação Quadrado 2 (l n N n n) 2 2
2 4
I
8
Algumas Funções Especiais
Funções Parciais Injetivas de X para Y

X Y f XY " x1, x2 dom f f x1 f x2
Þ x1 x2
gt
Funções Totais Injetivas de X para Y

X Y (XY) Ç (X Y)
gt
gt
Funções Parciais Sobrejetivas de X para Y

X Y f XY ran f Y

Funções Totais Sobrejetivas de X para Y

X Y (XY) Ç (X Y)


Funções Parciais Bijetivas de X para Y

X Y (X Y) Ç (X Y)


gt
gt
Funções Totais Bijetivas de X para Y

X Y (X Y) Ç (XY)


gt
gt
9
Conjuntos Finitos
I
I
I
I
I
I
Conjunto dos Subconjuntos Finitos de X

F X S P X ( n N f1 .. n S
true) (Enumeração)


I
I
I
gt
10
Conjuntos Finitos (cont.)
Cardinalidade
X __ F X N " S F X n N f1
.. n S S n
I
I


I
I
gt
Funções Finitas
Parciais

X Y f X Y dom f Î F X
I
Parciais Injetivas

X Y X Y Ç X Y
gt
gt
11
Exemplo de Especificação Usando Função
Obs. Este exemplo pode ser encontrado no livro
Specification Case Studies, 2nd Edition, sob o
nome de Flexitime, págs. 134-138
12
O Estado do Sistema
Time N Period P Time Ident
I
I
Flexi Standard_Hours, Flexitime_Hours Time
Period worked Ident Period in Ident
Time dom(in) Í dom(worked)
13
Operações sobre o Estado
Response In Out Balance IdUnknown
D Clocking D Flexi ident? Ident t?
Time ind! Response ident? Î dom(worked) Standard_
Hours Standard_Hours Flexitime_Hours
Flexitime_Hours
14
Operações sobre o Estado (cont.)
0
0
15
Operações sobre o Estado (cont.)
RelMinutes Z
Ù
ClockIn ClockIn Ù Worked ClockOut ClockOut
Ù Worked
0
Ù
0
16
Operações sobre o Estado (cont.)
ReadOut Worked ident? Ï dom(in) t? Ï
Flexitime_Hours(t?) ind! Balance q Flexi q
Flexi
Unknown X Flexi ident? Ident ind!
Response ident? Ï dom(worked) ind! Unknown
17
Operações sobre o Estado (Final)
Add_Employee D Flexi ident! Ident ident! Ï
dom(worked) worked worked È ident!
in in Standard_Hours Standard_Hours Flexiti
me_Hours Flexitime_Hours