Asset Liability Management

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Asset Liability Management

• Ein Modell zur mehrperiodigen Portfoliooptimierung
  unter Berücksichtigung von Zahlungsverpflichtunge
  n

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Gliederung

• Motivation
• Binomialmodell
• Optimierungsproblem
• Zustandsaggregation

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Ziele des ALM

• Vermeidung des Ruins
• Minimierung des Bilanzrisikos
• Maximierung der Rendite

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Unterschiede zu Markovitz
Anfangsportfolio
Endportfolio
Portfoliowert abzüglich Zahlungsverpflichtung gt 0
t T
t i
t 0

• Es besteht bereits ein Portfolio
• Es müssen Nebenbedingungen zu vielen
  Zeitpunktenund je nach zukünftiger Situation
  sichergestellt werden.
• Es kann zu jedem Zeitpunkt unter Kenntniss der
  dannvorliegenden Situation gehandelt werden.

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Vorgehen
Erstellen eines Modells welches
unsichere Szenarien abbildet. Suchen einer
dynamischen Handelsstrategie, welche sichere
Deckung der Zahlungsverplichtungen gewährleistet.
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Binomialmodell
Underlying Optionspayoff Risikolose Anlage
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Idee Replikation
Konstruiere ein Portfolio aus der risikolosen
einperiodigen Anlage und dem Underlying, welches
zum Folgezeitpukt dem Preis der Option entspricht.
1
0
2
Kaufe x Anteile der risikolosen Anlage und y
Anteile der Aktie gt
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Replikation anhand des Beispiels
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Mehrere Perioden
Vom Endzeitpunkt angefangen kann induktiv der
einperiodige Replikationsschritt durch- gefuehrt
werden. Das Ergebnis ist dan Payoff der Option
für die Vor- periode (Rückwärts-induktion oder
backward induction).
Problem Die Anzahl der Zustände wächst
exponen- tiell mit der Periodenzahl.
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Vereinfachung

• Rekombinierender Baum
• Preis des Underlying nach uptick
  undanschliessendem downtick invariant.
• Rückwärtsinduktion funktioniert gleich.
• Weniger Zustaende, da Pfade zusammengefasst.Dafür
  werden Zustände mit groesserer W-Keiterreicht.

Falls ds gt 1 Drift nach oben. Falls ds 1
stationär. Falls ds lt 1 Drift nach unten.
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Allgemeiner Schritt
Auszahlung zum Zeitpunkt t im Zustand i.
mit
also
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Risikoneutrales W-Maß
Setze
Dann muss bei Arbitragefreiheit gelten
und es gilt
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Satz von Harrison und Kreps
Die Wertpapierpreise in einem vollkommenen
Zustandsraum sind genau dann arbitragefrei, wenn
es ein positives risikoneutrales Wahrscheinlichkei
tsmaß auf dem Zustandsraum derart gibt, dass in
jedem beliebigen Zustand der erwartete
einperiodige Ertrag bezogen auf das
Wahrscheinlichkeitsmaß identisch ist für alle
Wertpapiere.
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(No Transcript)