DESARROLLO DEL PENSAMIENTO L

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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
UNA FORMA DE EVITAR LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS EN
EL APRENDIZAJEEscuela Colombiana de
IngenieríaEnero 13 de 2012
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DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

• Sistema de numeración decimal construcción de
  los números de más de 1 cifra suma de unidades
  mayor que la decena resta de unidades mayores
  uso de símbolos, por ejemplo lt, gt, v, log.

• Fraccionarios representación de fracciones
  impropias suma y resta orden de números.

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• Álgebra realizar operaciones, potenciación y
  radicación, resolver polinomios en forma
  horizontal, dar un polinomio como respuesta.

• Resolución de problemas identificar las
  magnitudes conocidas y desconocidas, establecer
  relación entre ellas, diferenciar la magnitud de
  la medida y de la unidad de medida.

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ORIGEN DE LAS DIFICULTADES

• Se evidencian hacia los 10 u 11 años.
• Se agudizan en el bachillerato y la universidad.
• Se originan entre los 6 o 7 años.

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CONSECUENCIAS DE LAS DIFICULTADES

• Frustración frente a tareas que superan sus
  capacidades por lo tanto baja Autoestima.
• Deserción escolar y universitaria.
• Escogencia de carreras que no tengan nada que
  ver con matemáticas.

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POR QUÉ SE ORIGINAN?
Las dificultades se originan por los OBSTÁCULOS
o dificultades que no son posibles de superar e
impiden avanzar en la construcción del nuevo
conocimiento (Brousseau, 1989).
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OBSTÁCULOS
Didácticos
Epistemológicos
Ontogenéticos
Saltos conceptuales que no se pueden
evitar porque juegan un papel muy importante en
la adquisición del nuevo conocimiento.
Provienen de la enseñanza y se deben evitar
porque impiden ver las cosas de una nueva
manera.
Condiciones genéticas específicas de los
estudiantes.
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OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS
Los obstáculos didácticos son impedimentos en el
aprendizaje que se producen por la misma
enseñanza para ayudar al niño a salir de la
dificultad temporal pero que a largo plazo le
impiden avanzar en la construcción del nuevo
conocimiento.
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O.D. se producen por errores didácticos
Errores metodológicos
Errores conceptuales
Errores pedagógicos
Palabras o imágenes que se usan en forma
inadecuada.
Nociones falsas que distorsionan el significado
del concepto.
Obstáculos epistemológicosque se evitan en la
enseñanza.
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Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D.
y dificultad en S.N.D.
Usa el sentido común el cocodrilo se come al
menor 4 lt 3
La boca del cocodrilo abierta para el mayor.
El uso de símbolos se asocia con una imagen
inadecuada la boca del cocodrilo.
Dificultad en el uso de símbolos.
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Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y
dificultad en S.N.D.
18 está formado por 1 y 8.
c d u
3 2 4
3 0 4
Cuántas d hay en 304? Responde 0
El número 18 es igual que el 9 18 cosas.
Dificultad en la construcción de de 2 cifras
valor posicional de la cifra ? la cifra en una
posición.
No se da salto conceptual entre de 1 y 2
cifras 1 grupo ? 10 cosas sueltas.
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Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y
dificultad en S.N.D.
67 48 no se puede, o lo invierte 21.
18 49 lleva 1? 67 -18 le presta 1?
Concepto falso un número no tiene vida y no
lleva y no presta, no se descompone.
Dificultad en la suma gt d, resta u gt, construir
la lógica del S.N.D.
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Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D.
y dificultad en Q mal llamados fraccionarios
(Federici)
En 5/3 cómo tomar 5 partes de 3? Impropio
significa algo que se debe evitar.
Fracción, tomar, coger, impropia.
El número se asocia con una imagen inadecuada
tomar partes de un todo.
Dificultad para ver un solo objeto matemático y
no dos.
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Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y
dificultad en Q mal llamados fraccionarios
(Federici)
Fracción compuesta por 2 naturales separados por
una raya.
Suma o resta como naturales 3/4 2/5 5/9
5/9 - 2/5 3/4
No se da salto conceptual entre N y Q, ni
entre contador y relator.
Dificultad para realizar operaciones con otros
diferentes a N.
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Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y
dificultad en Q mal llamados fraccionarios
(Federici)
Relación parte todo, cantidades discretas.
No puede relacionar fracción con medida, ni con
razón, ni con operador.
Concepto falso Q es una relación entre
magnitudes, entre cantidades continuas.
Dificultad para construir el significado de Q en
sus diferentes interpretaciones.
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Las dificultades en deducir y generalizar se
producen porque no se enseña a
Establecer relaciones entre magnitudes y
conceptos , ni a diferenciar los conceptos para
dar el salto conceptual, por ejemplo
entre Número contador ? número relator cantidad
? número magnitud ? medida Operación y operación
inversa.
Resolver problemas no logra identificar las
magnitudes conocidas y desconocidas y
diferenciarlas de la medida y de la unidad de
medida.
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E.D. se producen por currículo tradicional
Qué se enseña?
Para qué se enseña?
Cómo se enseña?
Aprender contenidos aislados y pasar la
evaluación.
Procedimientos mecánicos y repetitivos.
A manipular y f.g., símbolos abstractos.
Se enseñan nociones transitorias en la historia.
Se usan trucos para ayudar a manipular los
símbolos.
Se evitan los saltos para evitar dificultad
temporal.
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Qué son?
Errores metodológicos
Errores pedagógicos
Errores conceptuales
Énfasis en símbolos
Contenidos aislados
Procedimientos mecánicos
Por qué se producen?
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Tradicionalmente, el docente repite lo que
aprendió de sus profesores y esto hace que los
obstáculos didácticos se repitan de generación en
generación.
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DIDÁCTICA
La didáctica tiene en cuenta cuatro elementos el
saber, el docente, el discente y el contexto
social.
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EL DESCUBRIMIENTO CONSISTE EN VER LO QUE TODOS
HAN VISTO Y EN PENSAR LO QUE NADIE HA PENSADO.
Carlo Federici Casa (1906 2005)
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DIDÁCTICA DE FEDERICI
El docente reflexiona sobre qué, para qué y cómo
se enseña. Enseñar la matemática consiste en
desarrollar el pensamiento lógico matemático con
el fin de adquirir herramientas para resolver
problemas propios de la matemática, de la
ciencia, de la música, del arte y en general, de
la vida cotidiana.
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DIDÁCTICA DE FEDERICI
Qué se enseña?
Para quién se enseña?
Cómo se enseña?
Proceso cognitivo.
Des-cubrir relaciones, construir significado.
A desarrollar pensamiento lógico matemático.
La acción del niño de lo concreto a lo abstracto.
Construyes todos los tipos de pensamiento en
forma integral.
Repite el proceso histórico.
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Qué y Para qué se enseña?
E.T.
D.F.
A desarrollar el pensamiento lógico matemático
mediante el estudio de las relaciones entre
cantidades y magnitudes.
A manipular números y figuras geométricas,
símbolos abstractos.
Para resolver problemas propios de la matemática,
de la ciencia y de la vida cotidiana.
Pasar la evaluación, aprendizaje temporal.
Para construir el significado de los conceptos y
la relación entre conceptos en todos los tipos de
pensamiento en forma integral.
Para aprender contenidos aislados.
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Para quién se enseña?
E.T.
D.F.
El proceso ontogenético repite en cierta manera,
el proceso filogenético.
No se tiene en cuenta el proceso cognitivo del
niño. Se enseña de la misma manera desde
pre-escolar hasta la universidad símbolos
abstractos sin significado.
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Cómo se enseña?
E.T.
D.F.
Se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño
que aprende de lo concreto a lo abstracto. Se
utilizan las situaciones problema de la historia
para diseñar actividades. Mediante la acción y
las percepciones des-cubre relaciones y construye
el significado de los conceptos.
Procedimientos mecánicos sin significado.
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PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
El pensamiento lógico matemático se desarrolla
sobre la base del pensamiento espacial y la
construcción de las estructuras lógicas y de las
bases matemáticas (Piaget, 1989).
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Pensamiento espacial
Relaciones topológicas se refieren a la
construcción del espacio abierto, adentro, con
huecos, vecindad, Relaciones proyectivas se
refieren a la ubicación en ese espacio. Relaciones
euclidianas se refieren a la forma y las
proporciones y dimensiones del espacio. Las
relaciones topológicas preceden a las proyectivas
(Piaget, 1967).
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Estructuras lógicas

• Comparación diferencias y semejanzas.
• Clasificación comprende tres estructuras
• Clasifica y reclasifica clasifica si forma
  grupos usando todo el material con un criterio
  consistente. Reclasifica si clasifica con otro
  criterio diferente.
• Inclusión incluye un grupo en otro grupo
  general.
• Complemento separa el material en dos grupos
  complementarios, una propiedad y la negación de
  esa propiedad.

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• Relación se refiere al orden de un grupo
  teniendo en cuenta las relaciones temporales
• Relaciones y sus inversas.
• Secuencias o patrones cuyo orden es aleatorio.
• Relaciones de orden entre cantidades y
  magnitudes, cuyo orden es lógico, por ejemplo en
  las regletas Cuisenaire.

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Relación de orden entre magnitudesRegletas
Cuisenaire
b
blanca
r
roja
v
verde
R
rosada
a
amarilla
V
Verde oscura
n
negra
c
café
A
Azul
N
Naranja
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Bases matemáticas

• Las bases matemáticas se refieren a la
  construcción del concepto de cantidad, magnitud,
  equivalencia y relación, y diferenciar
• Cantidad ? número.
• Magnitud ? medida.
• Equivalencia ? operación.
• Relación ? relación inversa.

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EQUIVALENCIAS
R es equivalente a v y b
b v R
2r R o R/2 2
Cuántas equivalencias diferentes de R?
Cuántas equivalencias diferentes sin importar el
orden de R?
Cuántas equivalencias de R sólo con 2 regletas?
Cuál es el área del rectángulo? De cuántas
maneras se puede encontrar el área del
rectángulo?
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Cómo evitar los errores didácticos en el S.N.D.
8 5 3
3 5 8
La resta operación inversa de la suma.
La suma de 3 y 5 es igual a 8.
La resta de 8 y 5 es igual a 3.
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Generalización de la suma y la restaEcuaciones
de primer grado
8 x
3
3 x 8
x 5 8
x 8 -3
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Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Construcción
números de 2 cifras
Existe el número doce?
El número 12 son doce cosas, conteo.
Educación Tradicional
Construcción de la lógica el número doce es una
suma.
1 grupo de 10 cosas 1 decena ? 10 cosas
N y r 1d y 2 10 2 12 doce
10N y r 10d y 2 100 2 102
40N y 5N y A 40d y 5d y 9 400 50 9 459
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Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Suma de
unidades mayor que d
1 28 8 más 6 igual 14 36 pongo 4
llevo 1 64
Educación Tradicional
Se cuenta y lleva.
Construcción de la lógica se forman decenas.
8 6
(8
2)
4
10 4 14
38
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Resta de
unidades mayores
El número de la izquierda le presta.
51 64 4 menos 6 no se puede - 36 el
6 le presta 1 al 4, 28
Educación Tradicional
Construcción de la lógica se resta de la decena.
4
4 4 8
14 6
(10
6)
39
Cómo evitar los E.D. en Q Relación entre
conceptos y no usar las fracciones
0 2 2 2 x 2 4 R es múltiplo de r
Multiplicación, múltiplos.
R es el doble de r
Número relator u operador multiplicador sobre
magnitudes.
2
2

2r R
40
División operación inversa de la multiplicación,
divisores.
4/2 4 2 2 0 4/2 2 r es divisor de R
r es la mitad de R
Número relator u operador divisor sobre
magnitudes.
1/2

1/2
(1/2)R r
41
Cómo evitar los E.D. en Q Construcción de la
relación entre magnitudes
Cuál es la relación entre R y V?

3/2
3/2R V
Cuál es el segmento que resulta del operador 2/3
sobre V?

2/3
2/3V R
42
Construcción del significado de Q Operador,
medida y razón.
Cuál es la medida entre R y V?
R 2/3V o V 3/2R
Hay otra medida?
R 4/6V o V 6/4R
Las medidas son equivalentes?
R 4/6V 2/3V
R/V 2/3 V/R 3/2
Cuál es la razón entre R y V?
43
Construcción del significado de Q Operador,
medida y razón.
Interpretación de Q Relación Relación inversa
Operador 3/2R V 2/3V R
Medida R 2/3V V 3/2R
Razón y proporción R/V 2/3 V/R 3/2
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Uso de regletas en álgebra
x
x2
(x 2) (x 3)
(2 3)x
23
(x 3) (x 2) x2 (3 2)x 32
45
Uso de regletas en cálculo integral
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Resolución de problemas

• Pregunta sin pregunta no hay problema.
• Magnitudes conocidas y desconocidas.
• Relación entre dos magnitudes (el cerebro
  funciona en forma binaria).
• Unidad de medida para cada medida y la relación
  entre las diferentes unidades de medida.
• Proceso de lo analítico a lo sintético.

47
Desarrollo del pensamiento lógico matemático
desde cualquier área
Contexto social
48
Desarrollo del pensamiento lógico matemático
desde cualquier área
Contexto social
Resolver problemas propios de la matemática.
Resolver problemas de la ciencia y del arte.
Resolver problemas de la vida cotidiana.
P.L.M procesos lógicos, espaciales, matemáticos.
Logros identificar, diferenciar, construir.
Actividades.
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Desarrollo del pensamiento lógico matemático
desde cualquier área
Saber
Desarrollo del proceso cognitivo.
Historia del proceso de construcción de los
conceptos.
Conceptos fundamentales y la relación entre ellos.
50
Desarrollo del pensamiento lógico matemático
desde cualquier área
Papel del discente
Descubrir relaciones entre cantidades y
magnitudes mediante la acción.
Construir el significado de los conceptos.
Justificar y explicar las respuestas.
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Desarrollo del pensamiento lógico matemático
desde cualquier área
Papel del docente
Conocer los conceptos fundamentales y la relación
entre conceptos.
Reflexionar sobre qué, para qué y cómo se enseña.
Formular las preguntas adecuadas.
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El docente reflexiona qué, para quién y cómo se
enseña
Pensamiento lógico matemático
Etapas en el proceso
Conceptos fundamentales
Desarrolla estructuras cognitivas
Construye el significado
Saltos conceptuales
El discente aprende
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CONSECUENCIAS DEL DESARROLLO DEL P.L.M.

• Autoestima.
• Escogencia de acuerdo a su interés.
• Mayor índice de población universitaria.
• Mayor capital humano en la resolución de
  problemas de nuestro país.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Andrade, C. (2010) Obstáculos didácticos en el
aprendizaje de la matemática y la formación de
docentes. En Alme 25, Guatemala, 2010. Andrade,
C. (2008) De la mano al cerebro sobre la
construcción de los racionales sin signo (Q) con
base en la didáctica de la matemática de
Federici. Bogotá. Fondo de Publicaciones del
Gimnasio Moderno. Brousseau, G. (1989) "Les
obstacles épistémologuiques et la didactique des
mathématiques" En Construction des savoirs
Canada CIRADE Agence darc. pp.
41-63. Cuisenaire, G. (1952) Los números en
color. Bélgica Federici, C. (2003) Una
construcción didáctica del Sistema de Numeración
Decimal. En imprenta. Piaget, J (1983) La
psicología de la inteligencia. Barcelona.
Editorial Crítica Piaget, J. Inhelder, B. (1967)
The childs conception of space. New York. The
Norton Library.
55
GRACIAS!

• Carmen Andrade Escobar
• Magister en Docencia de la matemática, UPN
• Investigación dirigida por el profesor Federici,
  2000 a 2004
• Directora Escuela Mak
• escuelamak_at_gmail.com