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Transforma

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Transforma o Linear Defini o: Sejam dois espa os vetoriais reais. Uma fun o T (ou aplica o) denominada Transforma o Linear de – PowerPoint PPT presentation

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Title: Transforma


1
Transformação Linear
  • Definição Sejam dois espaços
    vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é
    denominada Transformação Linear de
  • se

a)
b)
2
Exemplos
  • 1) Transformação Linear Nula
  • 2) Operador Linear Identidade
  • 3) tal que
  • 4) dada por
  • 5)
    definida por

3
Contra - Exemplo
  • definida por

pois temos que
4
Propriedades
  • Sejam dois espaços vetoriais reais e uma
    transformação linear entre eles. Então

P1)
P2)
P3)
5
Propriedades
  • P4) Se é um subespaço de , então a
    imagem de pela transformação linear é um
    subespaço vetorial de , isto é, é
    subespaço vetorial real.

P5)
6
Propriedades
  • P6) Sejam e espaços vetoriais reais e
    uma base de .
  • Dados vetores arbitrários de ,
    existe uma transformação linear tal que

e
7
Núcleo e Imagem
  • Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
    uma transformação linear entre eles, denomina-se
    Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio
    da função dado por

8
Núcleo e Imagem
  • Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
    uma transformação linear entre eles, denomina-se
    Imagem da Transformação o subconjunto do
    contra-domínio da função dado por

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Exercícios
  • Exercício 01 Verificar se as funções abaixo são
    transformações lineares e determinar seus núcleos
    e imagens

a)
b)
c)
10
Núcleo e Imagem
  • Proposição Dada uma transformação linear, temos
    que
  • O núcleo da transformação é um subespaço vetorial
    do domínio da função.
  • A imagem da transformação é um subespaço vetorial
    do contra-domínio da função.

11
Recordando
  • Definição Uma função do conjunto A no conjunto B
    é dita
  • Injetora se
  • Sobrejetora se

12
Recordando
  • Definição Uma função do conjunto A no conjunto B
    é dita bijetora se é injetora e sobrejetora
    simultâneamente.

13
Teoremas
  • Proposição Uma transformação linear é injetora
    se e somente se .

Teorema do Núcleo e da Imagem Dados dois
espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada
uma transformação linear entre eles, então
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Resultados Importantes
  • Proposição Dada uma transformação linear, temos
    que se

15
Resultados Importantes
  • Corolário Dada uma transformação linear de
    espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as
    afirmações abaixo são equivalentes
  • (1) É sobrejetora
  • (2) É bijetora
  • (3) É injetora
  • (4) Transforma base do domínio em base do
    contradomínio.

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Isomorfismo
  • Definição Dados dois espaços vetoriais reais e
    uma transformação linear de entre eles. Dizemos
    que a transformação linear é um isomorfismo entre
    eles se é uma transformação bijetora (isto é,
    injetora e sobrejetora).
  • Notação

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Automorfismo
  • Definição Dizemos que um isomorfismo entre
    espaços vetoriais reais é um automorfismo se os
    espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo
    de um espaço nele mesmo.
  • Proposição Dado um isomorfismo sua transformação
    inversa é também um isomorfismo.

18
Resultados Importantes
  • Proposição Dados dois espaços vetoriais reais de
    mesma dimensão, então a transformação linear dada
    a seguir é um isomorfismo entre eles.

19
Resultados Importantes
  • Teorema Dois espaços vetoriais de dimensão
    finita são isomorfos se e somente se

Exercícios Transformações Lineares
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