Clemens Simmer

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Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil
IV Dynamik der Atmosphäre

• Clemens Simmer

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IV Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der
Natur und den Ursachen der Bewegung in der
Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und
Dynamik im engeren Sinne

• Kinematik
• Divergenz und Rotation
• Massenerhaltung
• Stromlinien und Trajektorien
• Die Bewegungsgleichung
• Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
• Navier-Stokes-Gleichung
• Skalenanalyse
• Zweidimensionale Windsysteme
• natürliches Koordinatensystem
• Gradientwind und andere
• Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

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IV.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome
• Die wirksamen Kräfte
• Druckgradient
• Schwerkraft
• Reibungskraft
• Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
• Die Navier-Stokes-Gleichung
• Skalenanalyse
• geostrophische Approximation
• hydrostatische Approximation
• geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

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IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem
Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit
konstanter Geschwindigkeit fort.
Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit
einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).
Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt
eine gleiche Kraft mit umgekehrtem Vorzeichen
(actio reactio).
Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell
zur Gesamtkraft.
Die Newtonschen Axiome, die nur in einem
Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für
die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.
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IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräfte

• a) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und
  dem Korrolar

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Druckgradientbeschleunigung

• An allen Wänden des Volumens (?x?y?z) wirkt der
  Luftdruck als Impulsflussdichte pKraft/Fläche
  Impuls/(Zeit x Fläche)
• Fläche A p(x0 ?x/2)p(x0)(?p/?x)(?x/2)
• Fläche B p(x0 - ?x/2)p(x0) -(?p/?x)(?x/2)
• Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x0
  ?x/2)-p(x0 - ?x/2)- (?p/?x)?x
• Nettokraft (Druck x Fläche) Kx(?p/?x)?x?y?z
  (?p/?x)V
• massenspezifische Kraft (Beschleunigung)
  fxKx/m(?p/?x)V/m (1/?)(?p/?x)

z
A
?z
B
x0, y0, z0
y
?y
?x
x
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Schwerebeschleunigung
Im Inertialsystem dürfen wir aber die
Zentrifugalbeschleunigung der Erde nicht
einbeziehen. Also gilt
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Reibungskraft (1)
Austausch von Molekülen zwischen den Schichten
unterschiedlicher Geschwindigkeit durch
thermische Bewegung molekulare Reibung
Austausch von Luftpaketen zwischen den Schichten
unterschiedlicher Geschwindigkeit durch
Turbulenz turbulente Reibung

Prinzip der Reibung Analog zum Druck ist Reibung
als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun
parallel zu den Grenzflächen
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Reibungskraft (2)
Grundlegender Ansatz Schubspannung, intuitiv
zunächst nur für Reibung in der Horizontalen

• txz Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in
  Richtung z
• wirkt oben und unten am Volumen
• Differenz bewirkt Nettoschub

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Reibungskraft (3)

• txz(z0?z/2) 0
• txz(z0-?z/2) gt 0
• ?txz txz(z0?z/2)- txz(z0-?z/2)lt0
• Abbremsung

• txz(z0?z/2) gt 0
• txz(z0-?z/2) lt 0
• ?txz txz(z0?z/2)- txz(z0-?z/2)0
• starke Beschleunigung

• txz(z0?z/2) gt0
• txz(z0-?z/2) gt 0
• ?txz txz(z0?z/2)- txz(z0-?z/2)0
• weder Abbremsung noch Beschleunigung

Entscheidend für Abbremsung oder Beschneunigung
ist also nicht der Impulstransport selbst,
sondern dessen räumliche Änderung Konvergenz
beschleunigt, Divergenz bremst.
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Reibungskraft (5)
Berechnung der Nettokraft in x-Richtung
(Impulsflussdivergenz)
Laminare und turbulente Strömungen
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Reibungskraft (6)
Problem Neben txz existieren noch txy und
txx, und analog für die anderen Richtungen tyx,
tyy und tyz, und tzx, tzy und tzz.
Die tii sind schon durch die Druckgradientkraft
erledigt!
Lösung Schubspannungstensor
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Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im
Inertialsystem
In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem
treten die bekannten Coriolis- und
Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf! Als
brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der
Sonne verankertes Koordinatensystem sein, das
seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.
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IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

• b) im erdfesten Bezugssystem
• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da
  jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die
  Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern
  muss.
• Massen auf der Erde reagieren auf diese
  Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen
  ihre momentane Bewegung im Inertialsystem
  beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen diese
  Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die
  dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert
  werden

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Coriolisbeschleunigung- qualitativ (1) -

• Ein von P (fest auf der Scheibe) nach Q
  geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der
  Geschwindigkeit sie entspricht etwa der
  u-Bewegung von P.
• Nach der Zeit ?t ist P bei P und auch der Körper
  muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach
  Q zurück gelegt haben.
• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q verlagert,
  durch die kleinere Entfernung von der Drehachse.
• Der Körper hat sich also relativ zur
  Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.
• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.

Q
Q
Q
P
P
t?t
t0
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Coriolisbeschleunigung- qualitativ (2) -

• Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit
  ?t.
• P wirft nach Q (blauer Vektor).
• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu
  berücksichtigen (roter Vektor).
• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position
  des Balls im Intertialsystem anzeigt.
• Beachte nun die Position des Balls Q relativ zu
  der Geraden P Q.
• Rechtsablenkung

Q
Q
P
Q
P
Q
Q
Q
P
P
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Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (1) -
?s ?uO ?t(uO(A)- uO(B))?t (Rcos(f)??/?t -
Rcos(f ?f)??/?t) ?t (R(cos(f) - cos(f
?f))O) ?t mit ? Länge und f
Breite Mit bC 2?s/(?t)² (Annahme einer
konstanten Beschleunigung nach Ost
?s1/2bct²) und ?f/?tv/R ? ?t ?f R/v
folgt bC 2R(cos(f)-cos(f ?f))O / (?f R/v )
- 2Ov (cos(f?f)-cos(f)) / (?f) - 2Ov
(?cos(f)) / (?f) -2Ovd(cosf)/df
2Ovsinf

• Ein Körper startet bei A mit konstanter
  Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v
  aufrecht über ein Zeitintervall ?t.
• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei
  eine Relativge-schwindigkeit in Ostrichtung ?uO
  auf, und hat nach ?t die Strecke ?s nach Osten
  zurückgelegt.

?

• Der Körper beschleunigt nach rechts in
  Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite

?
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Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (2) -

• Ein Körper bewege sich mit der Relativgeschwindigk
  eit u nach Ost.
• Er hat dann die Absolutgeschwindigkeit
  uauOruORcosf.
• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine
  Zentrifugalbeschleuni-gung von (ua)2/r.

• Der erste Term ist das bekannte gz.
• Die beiden letzten Terme beschreiben die
  zusätzliche Zentrifugalbeschleuni-gung durch die
  (relative) u-Bewegung.
• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur
  er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in
  eine z und eine y-Komponente aufteilen
  (Abbildung).
• Offensichtlich erfolgt in der Horizon-talen
  wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der
  Beschleunigung

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Coriolisbeschleunigung- formal (1) -

• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im
  Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem
• Bildung der zeitlichen Ableitung unter
  Berücksichtigung der Änderung des rotierenden
  Koordinatensystems
• Anwendung auf den Vektor der absoluten
  Geschwindigkeit.

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Coriolisbeschleunigung- formal (2) -
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Coriolisbeschleunigung- formal (3) -
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Coriolisbeschleunigung- formal (4) -

1. Scheinbare Beschleunigung relativ zur
   Erdoberfläche
2. Beschleunigung im Inertialsystem ( Summe der
   angreifenden Kräfte)
3. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation
   (Herbsttag 0,05 s kürzer als Sommertag, i.a. aber
   vernachlässigbar)
4. Coriolisbeschleunigung
5. Zentrifugalbeschleunigung

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Coriolisbeschleunigung- formal (5)
Coriolisbeschleunigung
Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben?
Mit dem Coriolisparameter f2Osinf gilt für die
horizontale Komponente
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Navier-Stokes-Gleichung (1)

• Dabei wurden
• totale Ableitung in partielle Ableitungen
  gesplittet
• Rotationsvektor als konstant angenommen
• Zentrifugalbeschleunigung in der
  Schwerebeschleunigung integriert
• d/dtd/dt gesetzt
• Reibung verallgemeinert

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Navier-Stokes-Gleichung (2)
komponentenweise
gekoppelte nichtlinear Diffgleichungen 2. Ordnung
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IV.2.3 Skalenanalyse- für synoptische Systeme
der mittleren Breiten -

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente
  (Vertikalwind)
• -gt statische Grundgleichung
• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente
  (Horizonalwind)
• -gt der geostrophische Wind

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Skalenanalyse (2)- charakteristische synoptische
Größen -

• Horizontalgeschw. U 10 m/s
• Vertikalgeschw. W 10-2 m/s
• Länge L 106 m (1000 km)
• Höhe H 104 m (10 km)
• Luftdruckvariat. DP 103 Pa (10 hPa)
• Zeit L/U T 105 s (ca. 1 Tag)
• Coriolisparam. f 2Wsinj 10-4 s-1
• Luftdichte r 1 kg/m3
• Luftdruck am Boden po 105 Pa (1000 hPa)

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Skalenanalyse (3) horizontale
Bewegungsgleichung -
U/T 1/r Dp/L fU fW -
10-4 10-3 10-3 10-6
- m/s2
...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschle
unigung heben sich gegenseitig auf!
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synoptische Skalenanalyse (4) geostrophischer
Wind -
geostrophischer Wind
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synoptische Skalenanalyse (5)- 3.
Bewegungsgleichung -
W/T 1/r po/H g fU -
10-7 10 10 10-3
- m/s2
...Schwerebeschleunigung und Druckgradientbeschleu
nigung heben sich gegenseitig auf!
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Synoptische Skalenanalyse (6)- Berücksichtigung
der Beschleunigung -
Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind
die Änderung des Windes. Wann ist das wichtig?
Mit gegebenen Zahlen gilt Ro0,1, also 10 Fehler
bei Anname des geostrophischen Windes. Bei L100
km und sonst unveränderten Skalen gilt
Ro1, also 100 Fehler (z.B. für Mesoszyklonen,
oder mit U größer bei
Hurrikanen)
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Übungen zu IV.2

• Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigun
  g, wenn bei p1000 hPa und einer Temperatur von
  20C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa
  auf 100 km abnimmt.
• Wie groß sind die Komponenten der
  Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor
  (u,v,w) (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in
  45N und am Äquator.
• Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die
  Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab.
• Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung
  auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.
• Welche Beschleunigungen würden Änderungen des
  Betrags des Rotationsvektors der Erde um 1/Tag
  auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der
  Coriolisbeschleunigung.
• Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen
  Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel.