Diapositive 1

1
Inéquations du premier degré à une inconnue
2
Inéquation
Définition
Une inéquation est un énoncé mathématique
comportant une ou des variables et un symbole
dinégalité.
Exemples
Lensemble des valeurs qui vérifient une
inéquation est appelé lensemble-solution.
3
Rappel
plus petit que
plus grand que
plus petit ou égal à
plus grand ou égal à
Remarques importantes sur les 4 symboles
En utilisant lensemble des entiers naturels ( N
), regardons des détails importants sur ces
symboles.
lt
ainsi, x lt 5 se lit x est plus petit que 5
x gt 5 se lit x est plus grand que 5.
4
plus petit que
ce qui exclut le nombre.
Exemple
x lt 4 signifie
Le x représente tous les nombres qui nous
intéressent.
plus petit ou égal à
ce qui inclut le nombre.
Exemple
x 4 signifie
plus grand que
ce qui exclut le nombre.
Exemple
x gt 6 signifie
plus grand ou égal à
ce qui inclut le nombre.
Exemple
x 6 signifie
x lt
signifie 
les nombres compris entre
2 x lt 8
Exemple
signifie
5
R

les nombres réels
Lensemble des nombres réels englobe tous les
autres ensembles N, Z, Q, Q.
Il est lensemble de nombres le plus utilisé en
mathématique.
On sait que lensemble des nombres réels remplit
la droite numérique on peut donc illustrer un
ensemble particulier à laide de celle-ci.
Exemple
On voudrait représenter tous les nombres réels
plus grand que 1.
Ce trait plein symbolise tous les nombres réels
plus grand que 1.
Algébriquement
x gt 1
En intervalles
Les intervalles ne semploient quavec la famille
des réels (R) .
Remarque
6
Les intervalles
Les intervalles sont représentés par des crochets

Cest une autre façon dexprimer un
ensemble-solution lorsquon travaille avec les
réels.
Exemple
Cela signifie
1 x 6
Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux
à 1 et plus petits ou égaux à 6
ou tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus.
selon la situation à représenter.
Exemples
7
Exercice
En utilisant la droite numérique, les intervalles
et les inéquations, décris les phrases suivantes.
Tous les réels plus petits que 3
x lt 3
Tous les réels supérieurs à 100 inclus
x 100
Tous les réels compris entre 5 inclus et 30
exclu
5 x lt 30
8
Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et
15 exclu
5 lt x lt 15
Tous les nombres réels positifs
x 0
x lt 0
Tous les nombres négatifs, sauf 0
Tous les nombres réels
ou
R
9
Écris algébriquement et à laide dintervalles,
lensemble-solution des inéquations suivantes.
Algébriquement
En intervalles
x est inférieur à 23
x lt 23
x est supérieur ou égal à 12
x 12
x nest pas plus petit que -6
x -6
x est inférieur ou égal à 3
x 3
x est plus grand que 6
x gt 6
x vaut au maximum 10
x 10
10
Algébriquement
En intervalles
x vaut au moins 10
x 10
x est supérieur à -5
x gt -5
x vaut au plus 2
x 2
x vaut au minimum 2
x 2
x vaut au maximum 10 et au minimum -3
-3 x 10
-3, 10
x est plus grand que 2 mais plus petit ou égal à
7
2 , 7
2 lt x 7
11
Inéquation
Une inéquation est un énoncé mathématique
comportant une ou des variables et un symbole
dinégalité.
Voici une égalité.
Voici une équation.
4 X 2 8
3 x 12
Voici une inégalité.
Voici une inéquation.
4 X 3 gt 8
3 x gt 12
12 gt 8
12
Remarque
Résoudre une équation du premier degré à une
variable ne donne quune seule valeur possible
pour la variable.
3 x 12
x 4
Résoudre une inéquation du premier degré à une
variable donne plusieurs valeurs possibles pour
la variable.
3 x gt 12
x gt 4
En intervalles,
13
Vérifions avec quelques valeurs possibles
x gt 4
3 x gt 12
Pour x égal 5
3 X 5 gt 12
Inégalité vraie.
15 gt 12
Pour x égal 7
3 X 7 gt 12
21 gt 12
Inégalité vraie.
Pour x égal 9
3 X 9 gt 12
27 gt 12
Inégalité vraie.
Pour x égal 10
3 X 10 gt 12
30 gt 12
Inégalité vraie.
Résoudre une inéquation du premier degré à une
variable donne plusieurs valeurs possibles pour
la variable.
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Règles de transformation des inéquations
Les règles de résolution des inéquations sont les
mêmes que pour les équations, excepté lorsquon
retrouve des facteurs négatifs.
Équations
Inéquations
3 x 12
3 x gt 12
x gt 4
x 4
Cest la solution qui est différente.
Exemples
3 x gt 12
Pour x égal 5
3 X 5 gt 12
Inégalité vraie.
15 gt 12
Pour x égal 7
3 X 7 gt 12
21 gt 12
Inégalité vraie.
Pour x égal 9
3 X 9 gt 12
27 gt 12
Inégalité vraie.
15
Résous les équations et les inéquations suivantes.
3x - 5 10
3x - 5 10
3x - 5 5 10 5
3x - 5 5 10 5
3x 15
3x 15
x 5
x 5
ou
Remarque
5x - 17 x 4
5x - 17 lt x 4
5x - 17 x 4
5x - 17 lt x 4
4x - 17 0 4
4x - 17 lt 0 4
4x - 17 4
4x - 17 lt 4
4x 0 lt 21
4x 0 21
4x lt 21
4x 21
x lt 5,25
x 5,25
16
Règles de transformation des inéquations
Additionner ou soustraire un même nombre aux deux
membres dune inéquation conserve le sens de
cette inéquation.
2a 5 gt 6
5a 6 16
5
2a 5 gt 6
5
5a 6 16
6
6
2a gt 1
5a 22
17
Règles de transformation des inéquations
Multiplier ou diviser les deux membres dune
inéquation par un mêmenombre positif conserve le
sens de cette inéquation.
4 2,5a gt 7
3a 6 -15
8 5a gt 14
a 2 -5
18
Règles de transformation des inéquations
Multiplier ou diviser les deux membres dune
inéquation par un même nombre négatif inverse le
sens de cette inéquation.
Pour bien comprendre cette règle, prenons un
exemple algébrique.
-2x gt 6
Vérifions
- 2x gt 6
- 2 X -2 gt 6
-2x gt 6
Faux
4 gt 6
- 2 X 0 gt 6
x gt -3
Faux
0 gt 6
- 2 X 3 gt 6
Faux
-6 gt 6
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Règles de transformation des inéquations
Multiplier ou diviser les deux membres dune
inéquation par un même nombre négatif inverse le
sens de cette inéquation.
Vérifions
- 2x gt 6
- 2 X -4 gt 6
-2x gt 6
Vrai
8 gt 6
- 2 X -5 gt 6
x lt -3
Vrai
10 gt 6
Il faut donc inverser le signe.
- 2 X -9 gt 6
Vrai
18 gt 6
Lorsquon multiplie ou quon divise les deux
membres dune inéquation par un même nombre
négatif, on doit inverser le sens de cette
inéquation.
20
Multiplier ou diviser les deux membres dune
inéquation par un même nombre négatif inverse le
sens de cette inéquation.
-3a gt 21
4 8a 26
-8 16a - 52
a lt -7
Remarque
Pour connaître les valeurs numériques que peut
prendre la variable, il faut toujours que
celle-ci soit positive dans linéquation.
- a 4
donc
ou
Exemple
a -4
a -4
21
Résous les inéquations suivantes et donne la
réponse algébriquement et en intervalles.
2x 50 250
2x 50 50 250 50
2x 200
x 100
-5x 100 gt 100
-5x 100 100 gt 100 100
-5x gt 0
x lt 0
22
-9x - 24 gt 12
5x 18 3
-9x - 24 gt 12
5x 18 3
-9x 0 gt 36
5x 0 -15
-9x gt 36
5x -15
x -3
x lt -4
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Résolution dune inéquation
Déterminer les valeurs qui vérifient une
inéquation, cest résoudre cette inéquation.
Dans un problème, on utilise parfois des
inéquations pour trouver la solution.
Exemple
Le périmètre dun terrain rectangulaire est dau
moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que
le triple de sa largeur. On sintéresse aux
dimensions possibles du terrain.

• 1. Les inconnues sont 
• La largeur du terrain
• La longueur du terrain

2. Largeur du terrain (en m)  x Longueur du
terrain (en m)  3x 5
24
Périmètre 2 (L l )
3. Lexpression 2 (3x 5 x) correspond au
périmètre du terrain.
2(x 3x 5) 178
On obtient
2(4x 5) 178
8x 10 178
8x 10 178
4. Résoudre linéquation
8x 10 10 178 10
8x 168
x 21
5. On déduit que la largeur du terrain doit être
dau moins 21 m. Par exemple, le terrain
pourrait mesurer 21 m sur 68 m.
25
5. On déduit que la largeur du terrain doit être
dau moins 21 m. Par exemple, le terrain
pourrait mesurer 21 m sur 68 m.
178 m
2 (68 21)
21 m
3 X 21 5 68 m
22 m
3 X 22 5 71 m
186 m
2 (71 22)
25 m
3 X 25 5 80 m
210 m
2 (80 25)
30 m
3 X 30 5 95 m
250 m
2 (95 30)
Le périmètre dun terrain rectangulaire est dau
moins 178 m.
Il y a donc beaucoup de valeurs possibles pour la
variable.
26
Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube
est-il inférieur à 343 cm3 ?
Volume cube c3
Volume lt 343 cm3
c3 lt 343 cm3
Donc,
c lt 7 cm
soit
Mais,
pour que le cube puisse exister, la valeur de c
doit être
- positive, car une mesure négative en géométrie
est impossible
- plus grande que 0, car pour c 0 cm, il ny
aurait pas de cube.
Il faut donc restreindre les valeurs de c.
Réponse
0 cm lt c lt 7 cm
Remarque
Avec les inéquations, il faut souvent poser des
conditions.