Franco Mastroddi

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LOperatore Aerodinamico Instazionario per
Flussi Incomprimibili

• Franco Mastroddi

http//www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi
dal corso diAeroelasticitàAnno Accademico
2007-2008
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SOMMARIO

• Richiami di termodinamica dei fluidi (fluidi non
  viscosi)
• Formulazione differenziale (PDE) per flussi
  (quasi-)potenziali incomprimibili (portanti),
  instazionari
• Formulazione integrale per flussi
  quasi-potenziali incomprimibili
• Discretizzazione (spaziale) solo sulla
  frontiera metodo dei pannelli

• ENFASI SU
• Specificità delle formulazione nel caso di flussi
  portanti
• Generalità dellapproccio

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Il problema aeroelastico lineare dalla meccanica
del continuo
Struttura
Aerodinamica
Modello (Laplace Domain)
incomprimibile
Obiettivo dellAerodinamica ? identificazione di
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Richiami di meccanica del continuo Principio
della Termodinamica per fluidi
V postulato (termodinamca) esistono le varabili
di stato temperatura ed entropia tali che per
ogni volume materiale del continuo
(Blasius)
(1)
segno per trasformazioni reversibili
FLUIDO continuo il cui stato è determinato da
due grandezze scalari volume specifico
(ovvero densità) ed. entropia
Lequazione di stato che fornisce lenergia
interna per un solido è
Pertanto, se si definiscono
e
?
lequazione dellenergia diventa
Poiché dalla (1) si può ricavare
e ,
Contributo alla crescita di entropia dovuto al
lavoro fatto dalla porzione irreversibile del
tensore degli sforziil tensore degli sforzi
viscoso V
(2)
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile -
IPOTESI
1.
Il fluido è non viscoso se il lavoro fatto dalla
velocità deformazione è reversibile, v. Eq. (2),,?
(3)
2.
3.
4.
Sia il flusso attaccato al corpo solido
5.
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile -
modello PDE
Continuità
Conservazione quantità di moto (Eulero)
Condizioni al contorno sul corpo (impermeabilità)
? interfaccia fluido-struttura
Riduzione del problema ad Una sola grandezza
scalare Incognita ? FLUSSO POTENZIALE
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
esiste un potenziale
Se il flusso è inizialmente irrotazionale
, allora lo è sempre
- Se infatti si definisce la circolazione come
poiché vale il teorema di Stokes (v. Figura)
- Vale il teorema di Kelvin
per cui per
- Riapplicando di nuovo il teorema di Stokes per
e vista larbitrarietà della
sperficie S e del suo contorno materiale C si ha
la tesi MA .
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
esiste un potenziale
.. .nulla può dirsi per quei punti materiali
fluidi che abbandonano il corpo nel suo bordo
di uscita questi punti costituiscono un insieme
di punti che chiamiamo scia o wake
Per tutti gli altri punti materiali di fluido
vale invece
e si può definire univocamente una funzione
potenziale di velocità tale che
(1)
e quindi
Infatti in un qualsiasi percorso materiale chiuso
ed in ogni istante vale
che dimostra che lintegrale da A a B è
indipendente dal percorso e pertanto,, fissato
ad esempio , esiste una univoca
funzione del punto x data dalla (1)
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
formulazione differenziale potenziale
Nel campo fluido vale lequazione di continuità
che diventa
Sulla frontiera del corpo
(impermeabilità)
E sulla frontiera di scia ?????
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
discontinuità sulla scia
Se si indica con le velocità della
superficie di discontinuità di scia n con
la componente normale ad essa del fluido e con
loperatore di salto ( ) delle
grandezza dalla parte 2 alla parte 1 della scia,,
si ha per la conservazione della massa
attraverso la discontinuità
che per un flusso incomprimibile porge
Applicando similmente la conservazione della
quantità di moto attraverso la scia
Combinando le precedenti si ha
che proiettata in
direzione n da

• Sulla discontinuità-fontiera di scia NON CI SONO
  salti di pressione e di componente
• normale della velocità del fluidoma in
  termini di potenziale di velocità?

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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
discontinuità sulla scia
-
?
-
?
Dallequazione di cons. della quantità di moto
deriva il Th. di Bernoulli
Infatti poiché è
,
allora
(Th. Di Bernoulli)
che attraverso la discontinuità si scrive
e cioè
con
Che si interpreta dicendo che il salto di
potenziale attraverso la scia è costante
purchè ci si muova con velocità
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
formulazione differenziale potenziale COMPLETA
Nel campo fluido vale lequazione di continuità
che diventa
Sulla frontiera del corpo
(impermeabilità)
? NB unica B.C. con derivata
temporale
e
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Consideriamo la soluzione del problema potenziale
della sorgente di massa di portata unitaria
concentrata nel punto un fluido infinito
(? nessuna B.C.)
-
(1)
La soluzione è analitica ed è il potenziale della
sorgente aerodinamica con
-
Considerando allora un problema potenziale
generico non punti interni del campo governati da
(2)
-
Operando un prodotto incrociato tra (1) e (2) ed
integrando sullintero dominio fluido si ha
(3)
si trasforma con la II identità di Green ?
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II identità di Green date due generiche funzioni
e si ha sviluppano la divergenza
Quindi sottraendo si ha lidentità
che applicata alla precedente (3) con il teorema
di Gauss (normale interna al campo)
per nel campo fluido
In cui è stata introdotta la funzione di dominio
per nel corpo
per nella superficie corpo
per cui si ha in definitiva
che è lespressione integrale di contorno per il
potenziale di velocità
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?In base alle condiioni al contorno sul corpo,
allinfinito e sulla scia tale espressione diviene
che è sia una rappresentazione integrale (per
nel fluido) della soluzione qualora si conosca
la soluzione nella frontiera, sia una condizione
di compatibilità (per sul corpo)poiché in
tal caso (E1/2)
La discretizzazione spaziale della precedente
rappresentazione rappresenta la base numerica
risolutiva per laerodinamica potenziale
instazionaria il metodo dei pannelli?
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
Discretizzazione il metodo dei pannelli
in cui linput (normalwash) è dato da
ed i coefficienti puramente geometrici
ricavati dalla suddivisione dellintegrale in
pannelli, sono
NB non dipendono dal tempo se il corpo si muove
con piccole oscillazioni attorno ad una
configurazione di riferimento
?
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
Discretizzazione il metodo dei pannelli
Lunica condizione al contorno del problema
differenziale NON ANCORA UTILIZZATA è
(1)
Nel caso di geometria della scia fissata e
piana e considerando trascurabile la velocità di
perturbazione della particella di scia rispetto
alla velocità della corrente, la (1) diviene
con
Quindi la precedente discretizzazione diviene
si ha
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
Discretizzazione il metodo dei pannelli
Trasformando nel dominio di Laplace la precedente
(cond. Iniziali nulle) si ha
con
È quindi definibile un operatore lineare in
termini di matrice di trasferimento
multi-input multi-output che trasforma le M
condizioni al contorno di impermeabilità negli M
potenziali di velocità, cioè
matrice M X M
essendo
Osservazione la parte di operatore aerodinamico
che trasforma le condizioni al contorno di
impermeabilità in potenziale di velocità è
trascendente nel dominio di Laplace, integrale
nel dominio del tempo. Esso costituisce una
parte delloperatore aerodinamico..?
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
Modello (Laplace Domain)
Tale operatore può essere decomposto in quattro
operatori lineari discreti uno dei quali è
proprio la matrice
matrice N X N
matrice M X N
matrice N X M
matrice M X M
matrice M X M
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice ? dalle
variabili modali alle B.C. aerodinamiche
Al fluido sulla parete va imposta la componente
normale della struttura pari a
in cui la velocità del corpo e data da
Le normali deformate ed indeformate sono data da
in cui
Ma poiché
allora
e quindi
in cui
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
il cui termine stazionario è ininfluente (in
campo lineare) per lo studio della stabilità
prendendo allora la trasformata di Laplace sulla
parte instazionaria si ha
in cui si è usata nuovamente la
La ricercata matrice delle BC sarà allora
loperatore discreto tale che ? e quindi
finalmente dalla precedente
Osservazione la parte di operatore aerodinamico
che trasforma le variabili lagrangiane in
componenti normali della velcità della
superficie del solido è polinomiale al primo
ordine nel dominio di Laplace,
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice ? dal
potenziale di velocità ai coefficienti di
pressioni (Bernoilli)
Il teorema di Bernoulli (integrale cons. q. di
moto) per flussi potenziali nel sistema di
riferimento solidale con il corpo che trasla di
porge
Il coefficiente di pressione (linearizzato) è
dato allora da
Passando allora al dominio di Laplace e a
quantità adimensionali
La ricercata matrice di Bernoulli sarà allora
loperatore discreto tale che ? e quindi
finalmente dalla precedente
Osservazione la parte di operatore aerodinamico
che trasforma il potenziale in coefficienti di
pressione è polinomiale al primo ordine nel
dominio di Laplace,
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice ? dai coefficienti di
pressione alle forze generalizzate
La forza per unità di superficie sul solido
dovuta da un non viscoso è flusso
La n-ima forza generalizzata è (considerando la
definizione di coeff. di pressione)
Eliminando il contributo stazionario del primo
integrale si ha allora
La matrice di proiezione delle forze sarà
loperatore discreto tale che ? e quindi
finalmente dalla precedente
Osservazione la parte di operatore aerodinamico
che trasforma i carichi aerodinamici in forze
generalizate è costante rispetto la variabile di
Laplace
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
OSSERVAZIONI
1.
Loperatore aerodinamico per un flusso potenziale
linearizzato ha una dipendenza dalla variabile
di Laplace s (oppure p) - di tipo polinomiale
al più di secondo grado ? possono esistere per
laerodinamica comportamenti vibratori tipo
masse/smorzamenti/rigidezza aggiunte alle
strutturali, cioè esistono a livello
modellistico matrici di massa, rigidezza
smorzamento aerodinamici - .ma non solo la
dipendenza è pure di tipo trascendente nella
variabile di Laplace e ciò risiede fisicamente
al meccanismo di trasporto convettivo operato
dalla scia.
2.
La procedura illustrata su geometrie semplici da
luogo a soluzioni analitiche come nel caso del
profilo (2-D) sottile piano ? Theodorsen (1935)
fornisce per portanza e momento
con
(funzioni di Bessel)
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Modello di flusso potenziale Incomprimibile
la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
OSSERVAZIONI (segue)
3.
Se loperatore aerodinamico, noto
computazionalmente per punti nel dominio di
Laplace, fosse in esso approssimabile con
strutture funzionali polinomiali (in analogia con
curve fitting usato dinamica strutturale
sperimentale) ? allora è come se si
approssimasse loperatore con un operatore
puramente differenziale riconducibile alla
forma di stato
? La stabilità si potrebbe studiare con un
problema standard di autovalori ? Si avrebbero
modelli aerodinamici di ordine ridotto, ROM,
Reduced Order Model ? Sul sistema aeroelastico
globale si può operare la teoria del controllo
(AEROSERVOELASTICITA)