Projection, cosinus et trigonom

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Projection, cosinus et trigonométrie.

• Une initiation pour petits et grands.

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Lumière et ombre
Comment connaître la hauteur de cette pyramide
dont le sommet est inaccessible?
Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître
une ombre au sol
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Un bâton planté dans le sol
Fait apparaître aussi une ombre
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On accepte lidée que les rayons du soleil
arrivent parallèles sur Terre
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Les ombres sont proportionnelles à lobjet qui
forme cette ombre.
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On peut mesurer les longueurs du bâton et de son
ombre. Et connaître ainsi le rapport de lun à
lautre. Pour lappliquer ensuite à la pyramide.
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Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une
ombre de 1,50 mètre, cela signifie que lombre
est une fois et demi celle du bâton. Et donc,
lombre de la pyramide est une fois et demi celle
de la pyramide.
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Projeter
Le sol
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Différents points projettent leur ombre sur le
sol.
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Projeter, cest envoyer les points sur une droite
en suivant une direction.
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On peut modifier la direction de cette projection.
12
On peut modifier la droite sur laquelle on
projette
13
On peut modifier la droite sur laquelle on
projette
14
Pour projeter, il faut
Une droite sur laquelle on projette,
Une direction pour la projection.
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Le projeté dun point A, est le point
dintersection de la parallèle à (?) passant par
A et de la droite (D).
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A est le projeté de A sur (D) parallèlement à
(?).
17
(No Transcript)
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Effet dune projection sur les formes
Un segment AB
On projette A en A .
On projette B en B .
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Un point de AB
M est projeté en M  entre A  et B .
20
(No Transcript)
21
Le projeté du segment AB est le segment AB
22
Un triangle
23
L ensemble du triangle est projeté sur le
segment AB
24
Un disque
On projette des points du cercle.
L ensemble du disque est projeté sur le segment
AB
25
En général, on obtient toujours un segment.
26
En général, on obtient toujours un segment.
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Effet dune projection sur les longueurs
La longueur est conservée.
28
La longueur est agrandie.
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La longueur est diminuée.
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Effet dune projection sur les longueurs
En général, la projection modifie les
longueurs. Elle ne conserve les longueurs que
lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur
laquelle on projette. Elle augmente ou diminue
les autres. De même, elle modifie la nature des
figures géométriques. Elle na donc que peu de
rapport avec les transformations géométriques
(symétries, translations, rotations)
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Projection et milieu.
On projette un segment.
On projette son milieu.
On obtient le milieu du projeté.
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
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Projection et milieu

• Donc la projection conserve le milieu.
• Cest à dire que le projeté du milieu dun
  segment est le milieu du segment projeté.

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Milieu sur un quadrillage.
6 carreaux
8 carreaux
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On obtient ici le milieu
37
On obtient ici le milieu
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Projection de longueurs égales.
On obtient 7 parties de longueurs égales.
39
On obtient 7 parties, de longueurs égales,
limitées par les bandes horizontales.
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On obtient 5 parties, de longueurs égales,
limitées par des bandes verticales de deux
carreaux de largeur.
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On veut partager un segment en 5 parties égales.
Mais, oh quel dommage!
Ce segment nest pas directement partageable en
cinq parties .
42
Alors, comment quon va faire?.
On reproduit le segment en quession. Mais de
manière asqui soit placé juste comme ifau pour
pouvoir en couper cinq parties égales.
43
(No Transcript)
44
Milieux dans le triangle
Par le milieu dun côté
On trace la parallèle au deuxième côté.
Elle coupe le troisième côté en son milieu
45
Si on trace une droite qui passe par les milieux
de deux côtés
Elle se trouve être parallèle au troisième côté.
46
(No Transcript)
47
Les milieux font apparaître quatre triangles
superposables.
48
Les milieux font apparaître trois
parallélogrammes.
49
Donc le segment des milieux est deux fois moins
long que le côté auquel il est parallèle.
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Projection orthogonale
Dans une projection orthogonale, la direction de
la projection est perpendiculaire à la droite sur
laquelle on projette.
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Projection orthogonale
Sur une droite
On place des points
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On les projette orthogonalement
A
B
C
D
E
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Les segments projetés sont plus courts que les
segments initiaux.
Donc la projection orthogonale réduit les
longueurs.
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Comment sopère cette réduction?
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Comparer les longueurs
On peut mesurer les longueurs et les comparer par
différence.
56
(No Transcript)
57
Cette différence dépend donc de la longueur
initiale. On va donc chercher à les comparer par
leur rapport. C est à dire par quel nombre
elles ont été multipliées au cours de la
projection.
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Ce rapport prend des valeurs qui sont assez
proches. Les mesures et les calculs arrondis
peuvent justifier ces petits écarts.
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En moyenne, au cours de la projection, les
longueurs sont multipliées par 0,89
60
On peut vérifier que toute autre longueur sur la
même droite est multipliée aussi par 0,89 au
cours de la projection orthogonale.
61
Inversement si on connaît la longueur du projeté,
il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver
la longueur du segment initial.
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Cosinus dun angle
En résumé au cours de la projection orthogonale,
Les longueurs sont multipliées par un coefficient
indépendant de la longueur initiale . Cest ce
nombre que lon appelle le Cosinus de l angle
formé par les deux droites.
? 0,89
63
Variations du cosinus avec langle
Le Cosinus est égal à
16
64
26
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
26
65
38
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
38
66
48
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
48
67
59
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
59
68
71
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
71
69
81
Pour un angle de
Le Cosinus est égal à
12 cm
81
70
Variations du cosinus avec langle
Quand langle augmente de 0 à 90, le Cosinus
diminue de 1 à 0.
71
Dans un triangle rectangle
Pour un angle aigu
Le Cosinus fait intervenir les deux côtés de
langle. Le côté a que lon dit adjacent. Et h
lhypoténuse
a h ? Cos?
72
b h ? Cos?
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Résolution du triangle rectangle.
Résoudre un triangle, cest calculer les côtés et
les angles à partir du minimum de données.
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Si on connaît lhypoténuse et un angle aigu
On peut calculer le côté a
a h ? Cos?
Puis on peut calculer lautre angle aigu
? 90 - ?
Puis, on peut calculer le côté b
b h ? Cos ?
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Par exemple
a h ? Cos? 12 ? Cos62
? 12 ? 0,469 ? 5,6 cm
? 90 - 62 28
b h ? Cos ?
12 ? Cos 28 ? 12 ? 0,883 ? 10,6 cm
76
Si on connaît un côté et un angle aigu
On commence par calculer le second angle aigu
90 - 77 13
On peut maintenant calculer lhypoténuse
h 8,5 ? Cos 13
? 8,5 ? 0,974
? 8,7 cm
Connaissant lhypoténuse, on peut calculer le
troisième côté.
a ? 8,7 ? Cos 77
? 8,7 ? 0,225
h
? 1,9 cm
a
77
Si on connaît deux côtés
On peut calculer lhypoténuse en utilisant la
relation de Pythagore
h ? 14,1 cm
h
78
Si on connaît deux côtés
On peut calculer lhypoténuse en utilisant la
relation de Pythagore
h ? 14,1 cm
On peut maintenant calculer lun des angles aigus
par son Cosinus
14,1
Cos ? 9,7 ? 14,1 ? 0,688
Avec une machine, on trouve
? ? 47
Et enfin lautre angle aigu ? 90 - 47 ? 43
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Quelques valeurs particulières
Si on partage un carré par une diagonale.
On obtient un triangle rectangle isocèle.
80
Les deux angles aigus mesurent 45
81
Les deux côtés de langle droit sont égaux. On
appelle a cette longueur.
Par la relation de Pythagore, on calcule la
longueur de lhypoténuse. On obtient
Et après simplification par a,
82
Si on partage un triangle équilatéral par un axe
de symétrie
On obtient un triangle rectangle dont les angles
aigus mesurent 30 et 60.
83
Si le côté du triangle équilatéral mesure a.
Le triangle rectangle a deux côtés qui mesurent a
et a/2.
84
Par la relation de Pythagore, on calcule le
troisième côté
On obtient
85
Quelques valeurs particulières
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Angles complémentaires
Dans un triangle rectangle
Les deux angles aigus sont complémentaires
C est à dire que leur somme est égale à 90.
87
Leur cos est égal à
12
Si lun des deux angles mesure
78
Lautre mesure
88
Leur cos est égal à
18
0,951
72
0,309
89
Leur cos est égal à
24
0,914
66
0,407
90
Leur cos est égal à
0,819
35
55
0,574
91
Leur cos est égal à
45
0,707
45
0,707
92
Leur cos est égal à
59
0,515
31
0,857
93
Leur cos est égal à
78
0,208
12
0,978
94
Leur cos est égal à
87
0,052
3
0,999
95
Pour deux angles complémentaires, les Cosinus
varient en sens opposé. Quand lun augmente,
lautre diminue
On peut chercher quelle relation lie ces deux
valeurs.
96
Par la relation de Pythagore, a² b² h²
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Repères et coordonnées.
Quand on place un point, pour pouvoir déterminer
sa position, on se réfère à deux axes.
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Un axe horizontal
Un axe vertical
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et gradué
Chacun de ces axes est orienté,
100
Les deux axes se coupent au point O qui est
lorigine du repère.
101
On projette A sur laxe horizontal.
Puis on projette A sur laxe vertical.
102
2,2
5
Le couple (5 2,2) est le couple des
coordonnées de A.