Un si

1
Astrogebra
les rétrogradations de M a r s
Orbite des planètes et équation de Kepler
2
Orbite képlérienne
Orbite plane en forme dellipse dont le Soleil
occupe un des foyers.
Définie par

• demi-grand axe a
• excentricité e
• période sidérale P
• inclinaison sur lécliptique i
• longitude du nœud ascendant W
• longitude du périhélie v
• v W w

Sous Geogebra

• plan de fenêtre graphique plan de lorbite.

• plan de lorbite de Mars confondue avec le plan
  de lécliptique (i 151).

3
Orbite képlérienne
A linstant t, le rayon r(t) et langle v(t)
définissent la position de la planète.
Langle v sappelle anomalie vraie.
Première loi de Kepler
Pour calculer r et v à t, on part dune planète
fictive qui tourne sur un cercle de rayon a
centré en O, en P jours.
Sa position est définie par lanomalie moyenne M
angle que fait le rayon de la planète fictiveavec
la direction du périhélie.
Si à t0, la planète est au périhélie
Il permet de calculer lanomalie excentrique u
angle intermédiaire du point P.
Et enfin v lanomalie vraie.
4
Orbite képlérienne
Formules pour calculer les anomalies
Anomalie moyenne
Anomalie excentrique
u e sin u M
Anomalie vraie
Rayon
Voir fichier calcul_saisons.pdf
Connaissant la direction du périhélie, on peut
tracer lellipse de paramètres connus et mettre
le point de la planète à linstant t.
5
Application à lorbite de Mars
Après avoir construit avec précision les orbites
héliocentriques de la Terre et de Mars, on va
rendre possible la vision géocentrique du système.
Ceci permettra de voir, de repérer et prédire les
positions remarquables de Mars par rapport au
Soleil et les débuts et fins des rétrogradations.
En projetant sur une carte du ciel, on simulera
le parcours de Mars à travers la bande zodiacale.

• Dans la feuille Geogebra, sont rentrées toutes
  les données quil faut pour construire les deux
  orbites
• demis-grands axes,
• excentricité,
• Longitudes à t0, etc.

6
Application à lorbite de Mars
Les orbites héliocentriques de la Terre et de
Mars, étant tracée, on va rendre possible la
vision géocentrique du système.
Ceci permettra de voir, de repérer et prédire les
positions remarquables de Mars par rapport au
Soleil et les débuts et fins des rétrogradations.
A laide dune carte, on imagera le parcours de
Mars à travers la bande zodiacale.
Fichier de départ retromars0.ggb Fichier texte
de travail retromars.pdf
Dans la feuille Geogebra retromars0.ggb, on donne
dans la partie tableur toutes les données utiles
pour construire les orbites demis-grands axes,
excentricité, etc.
7
Données de départ
Caractéristiques des orbites
B1 - lunité astronomique en km, car nous nous
ramènerons à léchelle de lunité astronomique
sur le graphique.
Pour la Terre et Mars, B4, C4 les demis-grands
axes en kilomètres B5, C5 les excentricités B7,
C7 les périodes en jours B8, C8 les longitudes
des périhélies
8
Données de départ
Le temps et ses repères
Comme on veut des orbites précises, et les
positions repérées dans le temps la variable
principale, il nous faut aussi  - un curseur
temps sur plusieurs années variable tps - une
origine des temps doù partira la variation du
temps donnée par la variable tps
B10 année B11 mois B12 jour B13 heures B14 minutes
Le date réelle en fonction de tps saffichera sur
le graphique et aussi dans les cellules C10 à C14.
9
Données de départ
La résolution de notre problème passe par la
résolution de léquation de Kepler donc par
lanomalie moyenne qui a pour origine le
périhélie.
Dates des passages aux périhélies des deux
planètes. - la Terre cellules B17 à B20 - Mars
cellules C17 à C20
10
Variables de départ
Transformation des valeurs du tableau en objet
nommés.
Nota indices sous Géogébra
Les indices des variables ont une syntaxe
spéciale décriture. Sil ny a quune seule
lettre en indice on écrira dans les formules A_i
qui apparaîtra comme Ai. Si en indice, on doit
avoir plusieurs caractères, on écrira A_Mars
qui apparaîtra comme AMars.
  demis-grandsaxes excentricités périodes longitudesdes périhélies longitudesà t0
Terre aT B4/B1 eT B5 perT B7 LperT B8 L0T B16
Mars aM C4/B1 eM C5 perM C7 LperM C8 L0M C16
Lorsque lon a pas à changer les données de base,
on peut fermer la fenêtre tableur pour gagner en
visibilité sur la fenêtre graphique.
11
Dates et variables temps
Pour la commodité des observations, on se réfère
à une date conventionnelle donnée par lannée, le
mois, etc.
Les calculs se font avec une variable continue
temps tps, donnée en jours décimaux par un
curseur.

• Pour relier les deux, il va falloir
• convertir la date courante variable en jours
  juliens
• et inversement trouver la date du jour julien de
  linstant considéré.

Les formules et variables sont déjà prérentrées
dans la feuille Géogébra (pas détruire, ni
utiliser pour dautres usages)
jj0 jour julien de la date de départ des calculs
(B10 à B14) jj jour julien de la date de calcul
(en bas à droite de la feuille graphique) jjp_T jo
ur julien du passage de la Terre à son
périhélie jjp_M jour julien du passage de Mars à
son périhélie
Et aussi a, alp, b, c, d, e, hr, ht, jjs, jr,
mr, mt, yr.
Ces variables sont données dans la partie algèbre
du fichier.
12
Orbite de la Terre (et de Mars)
On construit en premier lorbite de la Terre.
Les variables et les équations sont rentrées dans
la fenêtre de saisie en bas de la page
Réutilisation de la pile des commandes écrites
Lors de la création des variables de la deuxième
planète, il sera alors commode de parcourir les
lignes déjà écrites avec les flèches haut et bas
pour les changer (noms, variables, etc) et créer
sans difficultés son orbite.
13
Orbite de la Terre
On créer successivement les trois variables
anomalie moyenne, anomalie excentrique et
anomalie vraie nécessaire au positionnement de
la planète à une date.

• Anomalie moyenne

Cest langle quaurai une planète fictive
tournant uniformément sur un cercle de rayon du
demi-axe de la planète avec la même période. Son
origine est le périhélie dont on connaît la date
du dernier passage.
Lanomalie moyenne est langle quà parcouru la
planète entre ce jour de passage et notre jour
donné par tps.
A tps, le nombre de jours écoulés depuis le
passage au périhélie sera
jj-jjpT
La Terre fictive tournant à vitesse constante
aura une anomalie moyenne de
AMT (jj-jjpT) 360/perT
14
Orbite de la Terre
Anomalie excentrique u
Lanomalie moyenne va nous permettre de calculer
dabord lanomalie excentrique u, dont on déduira
lanomalie vraie v, angle du rayon vecteur de la
planète par rapport au grand axe.
u - e sin u M
Où u et M sont exprimé en radians.
Résolution de léquation de Kepler
1 - Résolution analytique
La résolution se fait par itérations, et pour une
convergence plus rapide, nous utiliserons la
formule de J. Méeus Le nombre ditérations sera
de quatre pour aboutir à lanomalie excentrique
v. On appliquera la formule des tangentes pour
passer à lanomalie vraie.
u1 M - e sin u0
u2 M - e sin u1
etc
15
Orbite de la Terre
Anomalie moyenne u
Formule ditération plus convergente que la
formule ci-dessus.
Formules geogebra ditérations
u0_Tp / 180 AM_T u1_Tu0_T (u0_T e_T
sin(u0_T) - u0_T) / (1 - e_T cos(u0_T)) u2_Tu1_T
(u0_T e_T sin(u1_T) - u1_T) / (1 - e_T
cos(u1_T)) ... u4_Tu3_T (u0_T e_T sin(u3_T)
- u3_T) / (1 - e_T cos(u3_T)) u_Tu4_T (u0_T
e_T sin(u4_T) - u4_T) / (1 - e_T cos(u4_T))
16
Orbite de la Terre
M e sin x
1 - Résolution analytique
Mieux adaptée à Geogebra.
Léquation de Kepler u M e sin u en
notation conventionnelle
y x
x M e sin x
A gauche fonction y x
à droite y M e sin x
Labscisse de lintersection donne la valeur
cherchée.
Créer le point dintersection pour uT
Syntaxe de Fonction
uP_T IntersectionFonctionx, 0, 6.28319,
Fonctionu0_MT e_MTsin(x), 0, 6.28319
u_T x(uP_T)
Cacher uPT
17
Orbite de la Terre
Anomalie vraie v
Lanomalie vraie se calcule immédiatement par
v_T2 atan(tan(u_T / 2) sqrt((1 e_T) / (1 -
e_T))) 180 / pi
18
Orbite de la Terre
Position du point Terre
Rayon vecteur
?_Ta_T (1 - e_T²) / (1 e_T cos(v_T))
Langle de ce rayon vecteur avec la direction du
point vernal est
qT vT LperT
Position du point Terre en coordonnées
cartésiennes (H étant lorigine)
x_T?_T cos(?_T) y_T?_T sin(?_T) T(x_T,y_T)
19
Orbite de la Terre
Tracé de lellipse de la Terre
Laxe des abscisses, côté positif, donne la
direction du point vernal (g).
Il nous faut les 2 foyers et le grand axe.
Le premier foyer est le point H (Soleil) soit
(0,0) en héliocentrique. Le second est à une
distance -2a_T e_T tourné de Lper_T
F2_TRotation(-2a_T e_T,0),Lper_T,H
el_T EllipseH, F2_T, a_T
Ellipse
Tracé de la ligne des apsides ou grand axe
La commande ITIntersectionDroiteF2_T,H,el_T
crée les deux points IT1 et IT2
Segment des apsides aps_TsegmentIT_1,IT_2
20
Orbite de Mars
A partir des lignes de saisies de lorbite de la
Terre construire lorbite de Mars en changeant
les T par des M.
21
Géocentrisme
Pour amener en géocentrique, la Terre à
lorigine, il faut
- une translation du point T (x_T, y_T) dun
vecteur (-x_T, -y_T)

• appliquer cette translation

• aux deux autres points du Soleil et de Mars
• aux ellipses des trajectoires

On crée un bouton logique fgeo pour basculer dun
système à lautre.
Il permettra aussi de nafficher que ce qui se
rapporte à lhéliocentrisme ou géocentrisme.
22
Géocentrisme
On crée un point Terre fictif qui aura comme
coordonnées
- si le Soleil est au centre les valeurs
actuelles x_T et y_T
- si la Terre au centre 0 et 0
Ces coordonnées seront retranchées aux
coordonnées des trois planètes suivant loption
choisie, héliocentrisme ou géocentrisme
x_Gsifgeo,?_T cos(?_T),0 y_Gsifgeo,?_T
sin(?_T),0
Les points H, T et M auront leurs coordonnées
décalées de ces valeurs Terre T (x_T - x_G,
y_T - y_G) Soleil H (-x_G, -y_G) Mars M
(x_M - x_G, y_M - y_G)
En vision géocentrique, il faut faire disparaître
tous les tracés héliocentriques (ellipses, lignes
des apsides... des orbites) qui ne sont
quhéliocentrique. Pour ces variables, on mettra
la condition daffichage !fgeo
23
Activation de la trace
Géogébra ne permet pas, par un bouton logique
dactiver ou désactiver la fonction Trace dun
objet. Il faut rentrer dans longlet Basique de
la fenêtre Propriétés et la cocher pour chacun.
Il faut faire une astuce. Nous allons créer pour
chaque point dont on voudra une trace ou pas, un
double de ce point.
Création du bouton logique daffichage ftrace
(label Trace).
Il aura les propriétés suivantes
- cest le même point M M par exemple -
dimension minimales et couleur à choisir -
activation Trace permanente - étiquette non
affichée - affichage par bouton Trace.
24
Positions remarquables
Géogébra va nous permette lors de la variation du
temps de repérer les positions remarquables
conjonctions, oppositions, quadratures.
Pour mieux visualiser ces configurations, on crée
un triangle
tconfPolygoneH, M, T
Les positions relatives sont repérées par langle
aconf ou (HTM) la Terre étant au sommet.
aconf AngleH,T,M
Lorsque le triangle est plat, on est en position
de conjonction ou opposition.
25
Positions remarquables
Lorsque le triangle est plat, on est en position
de conjonction ou opposition.
Pour détecter et afficher les moments
remarquables, on crée ensuite quatre drapeaux
(flag) logiques pour trouver ces positions à
moins de 1/2 degré
Position Drapeau (flag) Conditions Test
conjonction f_conf aconf lt 0.5 ou aconf gt 359.5 Siaconf lt 0.5 ? aconf gt 359.5 , true, false
opposition f_opp aconf gt 179.5 et aconf lt 180.5 Siaconfgt179.5 ?aconflt180.5,true,false
quadrature Ouest f_quado aconf gt 89.5 et aconf lt 90.5 Siaconfgt 89.5 ?aconflt 90.5,true,false
quadrature Est f_quadee aconf gt 269.5 et aconf lt 270.5 Siaconfgt 269.5 ?aconflt 270.5,true,false
26
Positions remarquables
Affichage des positions
Premier texte, la longitude de Mars L_Mgeo
(héliocentrique ou géocentrique)
L_LMgeoAngleVecteur(0, 0), M
Texte 1 "longitude Mars " L_Mgeo
Les positions
Texte 2 "" (Sif_conj, "Conjonction", "")
(Sif_opp, "Opposition", "") (Sif_quado,
"Quadrature Ouest", "") (Sif_quade,
"Quadrature Est", "--------------") ""
27
Positions remarquables
Opposition
Position intéressante, la planète est au plus
proche de la Terre donc la mieux visible. Elle se
voit toute la nuit et son diamètre angulaire est
le plus grand, par sa plus grande proximité.
Conjonction
La planète étant dans la direction du Soleil,
cest le moment où elle nest pas visible car
elle est au-dessus de lhorizon en journée et
alors au plus loin.
Quadrature
A la quadrature, la planète nest visible quune
partie de la nuit, soit le matin, soit le soir
suivant que lon est en quadrature Est ou Ouest.
La position de quadrature a un aspect historique.
Elle permet de relier facilement la position
dune planète à la position du Soleil.
Cest par cette position que Copernic pouvait
évaluer dans son système héliocentrique la
distance relative de la planète au Soleil par
rapport à la distance de la Terre au Soleil.
28
Rétrogradation
Le grand problème du système géocentrique.
Les rétrogradations nétaient expliquées que par
une combinaison artificielle de rotations
arbitraires de cercles excentrés tournant sur
dautres cercles, la planète étant sur le dernier.
épicycles
excentriques
déférents...
Ozanam, Cours de Mathématiques 1691
Avec Géogébra, on va simuler la rétrogradation et
la visualiser dans les deux systèmes du monde.
29
Rétrogradation
Créons au centre du référentiel un vecteur qui
indique la direction de la Planète vue de la
Terre.
Il donne la direction de la planète dans le ciel.

• La rotation de ce vecteur permet de
• suivre la rétrogradation,
• en trouver débuts et fins, amplitude
• en quel endroit du ciel.

Vecteur direction de visée de Mars depuis la
Terre et de longueur 0.5
vtm VecteurUnitaireVecteurT,M / 2.
Affichage de langle de la direction de ce
vecteur (longitude géocentrique)
L_MgeoAnglevtm
30
Rétrogradation
Langle LMgeo longitude géocentrique de Mars,
donne lorientation du vecteur vtm.
Il suffit de dobserver les variations de cet
angle pour suivre les rétrogradations, voir les
début et fin et noter leurs dates sur laffichage
du calendrier.
31
Visualisation
Pour concrétiser cette course de Mars sur le fond
du ciel, on va projeter le déplacement du point
de Mars sur le ciel et voir ce qui se passe si
lon est héliocentrique ou géocentrique.
On introduit dans la fenêtre graphique une image
(skymap01t.gif) carte du ciel que lon placera
avec ces coordonnées.
32
Visualisation
Carte équatoriale du ciel
Déclinaisons (d)
Ascensions droites (a)
Centre de la carte (0h ascension droite, 0
déclinaison)
33
Visualisation
Mise en place de limage.
Echelle des ascensions droites 24h pour des
abscisses de -1.8 à 1.8.
Ajuster Coin1 et Coin2 pour avoir cette échelle
34
Changement de système de coordonnées
Le plan de la feuille graphique est le plan de
lécliptique par construction. Le repère associé
est celui des coordonnées écliptiques.
La carte du ciel est équatoriale et son système
est celui des coordonnées équatoriales.
Repère I la Terre, le plan de lécliptique, le
point g, les pôles P et P
Coordonnées écliptiques
Longitude écliptique l
Latitude écliptique b
Repère II la Terre, le plan de léquateur, le
point g, les pôles Q et Q
Coordonnées équatoriales
Ascension droite a
Déclinaison d
35
Changement de système de coordonnées
Formules de passage coordonnées écliptiques ?
coordonnées équatoriales
Si d est facile à calculer (première formule),
Géogébra na pas de fonction tangente inverse qui
permet de lever lambiguïté du quadrant pour a.
On calcule d
puis les sinus et cosinus de a
sina et cosa
En fonction des signes des deux variables, on
calculera langle a en heures dangles (24h
360)
a ResteSisina gt 0 ? cosa gt 0, atan(sina /
cosa), Sisina gt 0 ? cosa lt 0, atan(sina / cosa)
p, Sisina lt 0 ? cosa lt 0, atan(sina / cosa)
p, atan(sina / cosa) 180 / p / 15, 24
36
Calcul de lascension droite et de la déclinaison
de Mars
Pour ne pas compliquer le programme, on suppose
que Mars se déplace dans lécliptique.
Prendre en compte linclinaison du plan de son
orbite (i 151') compliquerai beaucoup le
calcul.
Dans Géogébra, la position de Mars est connue par
sa longitude.
On a donc dans Géogébra la variable L_Mgeo qui
est aussi la longitude héliocentrique quand on se
met dans ce dernier système.
Il faut calculer la position équivalente en
coordonnées équatoriales de la carte.
On se sert des relations de changement de
coordonnées (coordonnées écliptiques (l,b) vers
les coordonnées équatoriales (a,d).
37
Calcul de lascension droite et de la déclinaison
de Mars
Comme on suppose Mars dans lécliptique, sa
latitude écliptique est nulle.
Les relations de passage se réduisent avec e
linclinaison de lécliptique sur léquateur
(2327') à
On calcule d asin(sin(e) sin(L_Mgeo)) 180
/ p
Puis les sinus et cosinus de a
sina cos(e) sin(L_Mgeo) / cos(d) cosa
cos(L_Mgeo) / cos(d)
38
Calcul de lascension droite et de la déclinaison
de Mars
Astuce Géogébra pour calculer a
Le point P de coordonnées cosa et sina est sur le
cercle trigonométrique.
Il suffit de créer langle a (en heures dangle
en divisant par 15)
a ResteAngle(1, 0), (0, 0), (cosa, sina),2
pi180/pi/15
Syntaxe sous Geogebra, les angles saffichent
en degrés (optionnel), mais sont mémorisés en
radians. Pour avoir langle réellement en degrés
puis en heures dangle dans le calcul de
labscisse il faut convertir la valeur stockée en
mémoire en radians. Doù lastuce du passage par
la fonction mathématique Reste qui prend la vraie
valeur de a. Il reste à convertir en degré
(180/pi) et diviser par 15. Alors a nest plus
considéré comme un angle. Cest tout simple !
Pour la clarté de la figure, cacher a.
39
Projections
Projection du ciel suivant léquateur

• déroulée dans le sens des ascensions droites

• projection stéréographique en déclinaison

On fera rouler la sphère sur la carte suivant les
ascensions droites pour faire les projections en
déclinaison.
40
Projections
Projection stéréographique classique
Centre de projection un pôle
P pôle Sud pour une carte de lhémisphère Nord
et vice versa.
Plan de projection léquateur
Position du point e projection de E
gOe a
Rappel la projection stéréographique conserve
les angles.
41
Projection en ascension droite
Projection linéaire sur la carte
Léquateur est développé horizontalement.
?
0h
0 sur la carte
12h
?
1.80 sur la carte
12h (ou -12h)
?
-1.80 sur la carte
ou
Relation entre a et labscisse x sur la carte ?
Relation linéaire y a x b
Pour x 0
y 0
b 0
y ?
?
?
Pour x 12
y -1.8
y ?
a 0.15
Projections ascensions droites y 0.15 a
42
Projection en déclinaison
Projection stéréographique sur la carte
En déclinaison, léchelle est en rapport avec la
projection stéréographique centrée sur C (a, 0).
E
La formule de projection est
43
Projections sur la carte
Avec la carte positionnée en
Le centre (a 0, d 0) est sur la feuille
Géogébra en (0 , 2.5)
Avec notre échelle quel est le rayon de notre
sphère ?
2 p R 2 x 1.8
2R 1.1459
Les formules de projections sont
- en ascension droites x 0.15 a a en heures
dangle - en déclinaison y 2.5 1.1459
tan(d/2) d en degrés
44
Visualisation sous Géogébra
Coordonnées du point
xcarte -(Sia lt 12, a, a - 24) 0.15 ycarte
2.5 1.1459 tan(d / 2)
Quest-ce que le point va faire en faisant varier
le temps ?
Le point va suivre lécliptique de la carte.
En système héliocentrique, il tourne toujours
dans le même sens.
En système géocentrique, on va assister aux
rétrogradations.
Il sera possible avec les dates affichées de
prévoir les prochaines rétrogradations, leurs
débuts, les oppositions et leurs fins.
45
Visualisation sous Géogébra
Affichage du point Terre en héliocentrisme et
point Soleil en géocentrisme
A partir des coordonnées écliptiques de la Terre
longitude L_Thélio AngleVecteurH, T
et latitude nulle, on calcule ses coordonnées
équatoriales
d_T asin(sin(e) sin(L_Thélio)) 180 /
pi costa cos(L_Thélio) / cos(d_T) sinta
cos(e) sin(L_Thélio) / cos(d_T)
Il suffit de créer langle aT (en heures
dangles)
a_T ResteAngle(1, 0), (0, 0), (costa,
sinta),2pi 180/pi/15
Point Terre de la carte à nafficher quen
héliocentrisme
xtcarte -(Sia_T lt 12, a_T, a_T - 24)
0.15 ytcarte 2.5 1.146 tan(d_T / 2)
T_C (xtcarte, ytcarte) Condition
daffichage fgeo
On fait de même pour le Soleil avec la condition
daffichage fgeo et L_Sgéo AngleVecteurT,
H ou L_Sgéo L_Thélio - 180
46
Visualisation sous Géogébra
On mettra les points en couleurs avec des
grandeurs différentes
Géocentrique
Héliocentrique
47
. . . . . FIN