Diapositive 1

1
Trigonométrie
Les rapports trigonométriques dans le triangle
rectangle
Sinus
Cosinus
Tangente
2
La trigonométrie est une partie des mathématiques
qui sintéresse à la triangulation, cest-à-dire
aux situations que lon peut étudier à laide des
triangles.
Elle est très utilisée dans différents domaines
notons, entre autre
la géodésie, la topographie, larpentage,
lastronomie, les techniques de communication, le
système de position global ( GPS ), etc.
3
(No Transcript)
4
Plusieurs de ces sciences travaillent à partir de
deux dimensions principales
lhorizontalité
et
la verticalité
Sachant que ces deux dimensions sont
nécessairement perpendiculaires une à lautre,
le triangle rectangle est donc un outil très
utilisé.
La trigonométrie sintéresse donc aux relations
entre les côtés et les angles dans les triangles.
5
Avant daborder tout problème de trigonométrie,
il faut savoir nommer les côtés dun triangle
rectangle.
Hypoténuse (cest le plus grand des côtés, cest
aussi le côté opposé à langle droit).
Côté opposé à langle.
Côté adjacent à langle.
Attention
Hypoténuse
Côté adjacent à langle.
Côté opposé à langle.
6
Relations entre les côtés
Les mots sinus, cosinus et tangente représentent
des rapports entre les côtés dun triangle
rectangle.
5
Sinus dun angle
le rapport de la mesure du côté opposé à langle
sur la mesure de lhypoténuse.
3
Sin A

0,6
4
Cosinus dun angle
le rapport de la mesure du côté adjacent à
langle sur la mesure de lhypoténuse.
Cos A

0,8
Tangente dun angle
le rapport de la mesure du côté opposé à langle
sur la mesure du côté adjacent à langle.
Tan A

0,75
7
Pour taider à les retenir, utilise ce petit truc

Soh Cah Toa
inus
S
o
h
pposé
ypoténuse
C
a
h
osinus
djacent
ypoténuse
T
o
a
angente
pposé
djacent
8
Identifie le type de rapport
c
a
tangente
sinus
b
cosinus
cosinus
tangente
sinus
9
Identifie le rapport représenté par
b
a
tangente
sinus
c
cosinus
tangente
sinus
cosinus
10
Que valent les rapports suivants?
6
tangente
ou
0,75
8
sinus
10
cosinus
16
sinus
cosinus
20
12
tangente
ou
1,3333
11
Remarque
Les cathètes étant plus petites que lhypoténuse,
les rapports sinus et cosinus sont toujours lt 1.
B
Sin A
Cos A
5
3
Cos B
Sin B
A
C
4
Le rapport tangente est le seul qui peut être
plus grand que 1.
Tan A
Tan B
12
Relations avec les angles
Il existe une relation étroite entre les côtés et
les angles dun triangle.
Observe
Pour une même longueur dhypoténuse,
la longueur du côté face à langle est influencée
par la grandeur de langle.
Conséquemment, lautre angle aigu diminue à
mesure que le premier augmente
et le côté qui lui fait face diminue aussi.
13
À linverse, on pourrait créer plusieurs
triangles rectangles sans changer la mesure de
langle aigu.
Dans un triangle rectangle possédant un angle de
300, la mesure du côté faisant face à langle de
300 vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse.
Dans les triangles semblables, les rapports des
côtés homologues sont proportionnels.
1,5
1
1
0,5
Tous ces triangles sont semblables par la
propriété AA.
Donnons-leur des mesures.


300.
14
Il en est de même pour tous les triangles
rectangles ayant des angles homologues
isométriques.
Exemples
Tous les triangles rectangles ayant un angle de
450 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et
tangente.
Tous les triangles rectangles ayant un angle de
600 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et
tangente.
Les rapports entre les côtés
(sinus,
et tangente)
cosinus
15
Anciennement, il fallait utiliser une table de
rapports trigonométriques.
Cette table indiquait la valeur des angles
associés à chaque rapport trigonométrique.
Exemples
Pour connaître la mesure de langle associé à un
rapport sinus de
0,5
300
0,7071
450
600
0,8660
16
Aujourdhui, on utilise lordinateur, la
calculatrice scientifique ou la calculatrice à
affichage graphique.
Attention
Il faut préparer la calculatrice.
Par défaut, la calculatrice est programmée pour
déterminer les angles en utilisant une autre
unité de mesure, soit le radian.
Le radian est une unité de mesure utilisée pour
évaluer les angles dans le cercle trigonométrique.
Dans les triangles, nous utilisons le degré ( 0 )
pour évaluer les angles.
Il faut donc en changer le réglage.
17
Pèse sur le bouton
Dans le menu qui apparaît, sélectionne degré à
laide des flèches bleues.
ENTER
Pèse sur pour confirmer.
Attention
Si tu réinitialises
la calculatrice reviendra en mode radian.
Donc, avant de commencer un travail de
trigonométrie, assure-toi dêtre en mode degré.
18
Repère les touches
ce sont les touches à utiliser.
Calculons la valeur de langle associé à un sinus
de 0,5.
Voici la séquence
1)
La fenêtre daffichage inscrira sin-1
cela signifie quelle est prête à donner la
valeur de langle.
2)
Inscris la valeur du sinus
0,5
La calculatrice indiquera 30 soit
300.
19
Détermine les mesures dangles associés aux
rapports trigonométriques suivants.
Tan A 0,7211
Tan-1 0,7211
35,795373350
35,80
Remarque
Pour les besoins de nos calculs, un chiffre après
la virgule est suffisant.
Cos B 0,4226
Cos-1 0,4226
65,001154480
650
Sin A 0,4848
Sin-1 0,4848
28,999369790
290
Tan A 6,3138
Tan-1 6,3138
810
20
Quelles sont les mesures des angles du triangle
suivant?
Sin A
0,6
Sin-1 0,6
36,90
36,90
Remarque
Pour calculer plus rapidement et plus
précisément, tu peux utiliser la séquence
suivante
Sin-1 (3 5)
ENTER
36,90
Remarque
Tu aurais pu déterminer la mesure de langle A en
utilisant nimporte quel rapport,
Cos-1 (4 5)
36,90
Tan-1 (3 4)
36,90
car les rapports entre les côtés ne sont pas les
mêmes, mais langle associé, oui.
21
Quelle est la mesure de langle C?
Ici encore, on pourrait utiliser nimporte lequel
des trois rapports sinus, cosinus ou tangente
pour déterminer la mesure de langle C.
36,90
Mais, on peut aussi le déterminer en utilisant
- soit laxiome
 La somme des mesures des angles intérieurs dun
triangle 1800 .
- soit laxiome
 Les angles aigus dun triangle rectangle sont
complémentaires.
22
Détermine la mesure des angles de ce triangle.
À partir des informations fournies, il faut
utiliser le rapport tangente.
Soit Tan F
Tan-1 (4,1 7,2)
29,70
Soit Tan D
Tan-1 (7,2 4,1)
60,30
23
Remarque
Les rapports trigonométriques ne sont définis que
pour les angles aigus dun triangle rectangle.
Comme le triangle est rectangle, on connaît déjà
langle de 900 .
Avec cet angle les rapports sinus, cosinus et
tangente nont pas vraiment de signification.
24
Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de
langle ??
?
Remarque
Selon les informations, il faut utiliser le
rapport cosinus.
est la huitième lettre de lalphabet grec.
Elle se prononce et sécrit thêta.
Cos ?
Cos-1 ( 4,8 6 )
36,90 .
Selon les informations, il faut utiliser le
rapport sinus.
Sin A
Sin-1 (65 70)
68,20.
25
Quelle est la mesure de langle délévation dun
segment ayant une pente de 23 ?
Remarque

est toujours déterminée en fonction
La pente ou linclinaison dun segment
Remarque
Langle délévation est langle du regard vers le
haut.
sur lhorizontalité.
de la verticalité
Langle de dépression est langle du regard vers
le bas.
23
23
Une pente de 23 veut donc dire
100
100
Langle délévation
peut donc être calculer avec le rapport tangente.
Tan A
Tan-1 (23 100)
130.
26
Conclusion
Les rapports trigonométriques SINUS, COSINUS ET
TANGENTE sont des outils très utilisés pour
résoudre des situations triangulaires.
Nous venons de voir comment, avec la calculatrice
et ces rapports, nous pouvons déterminer les
angles dun triangle rectangle.
Exemple
Sinus ?
La calculatrice permet aussi de déterminer le
rapport trigonométrique associé à un angle.
Exemple
Que vaut le rapport sinus dun angle de 480?
Démarche
1)
la calculatrice affiche sin.
2)
La calculatrice affiche 0,7431448255,
cest le rapport entre les côtés.
La calculatrice sera très utile pour résoudre des
triangles.