Conjuntos

1
Conjuntos
2
Trabajo Práctico Nº 2Conjuntos
1) Escribir simbólicamente a) R es un
subconjunto de T d) M no es un subconjunto de S
b) x es un elemento de Y e) z no
pertenece a A c) El conjunto vacío f) R
pertenece a A
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
2) Escribir por extensión los conjuntos     
i) A x  x es vocal iv) D
x  x2 - 2 0 ii) B x es dígito del
número 2324 v) E x  x2 9 ? x - 3
5 iii) C x  x es una letra de la
palabra fallar
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
3
3) a) Escribir por comprensión los siguientes
conjuntos  A 1, 2, 4, 8, 16, . . . .
C 1, -1 B
1, 3, 5, 7, 9, . . . . . D 1, 4, 9, 16,
25, 36
b) Escribir por extensión los siguientes
conjuntos definidos por comprensión  A
x / x ? N ? 3 ? x ? 10 B x /
x ? N ? 5 / x
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
4) Sean A 1, 2, . . . . ., 8, 9
  B 2, 4, 6, 8   C 1, 3,
5, 7, 9 D 3, 4, 5 E 3, 5
Cuáles conjuntos son
iguales a X ? , si se da la siguiente
información  i)     X y B son
disyuntos iii) X ? A pero A ? C ii)   X ?
D pero X ? B iv) X ? C pero X ?
A
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Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
5) Indicar en cada caso si la proposición es
verdadera o falsa  i) 1, 4, 3 3,
4, 1 ii)  3, 1, 2 ? 1, 2, 3
iii) 1 ? 1, 2 iv) 4 ? 4
v) 4 ? 4 vi) ? ? 4

Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
Glosario
4
6) Determine si los conjuntos dados son vacíos 
i) X x  x2 9 ? 2 x 4
ii) Y x  x ? x iii) Z x  x 8
8
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
7) Cuales de los conjuntos siguientes son
finitos ? i)  Los meses del año
iv) El conjunto Q de los números
racionales ii) 1, 2, 3, . . . ., 99, 100
v) El conjunto R de los números reales
iii) El número de personas que viven en la
tierra.
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
8) En los siguientes diagramas de Venn, sombree
i) W - V ii) Vc ? W iii) V
? Wc iv) Vc - Wc
W
W
V
V
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
5
9) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y
un conjunto D disjunto con los anteriores,
dibujar su diagrama de Venn y rayar las
siguientes zonas a) A ? B b) A ? B
c) (A - C) ? B
d) (A - C) ? B e) (A ? B ? C) ? D
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
10) Sean U 1, 2, . . . . , 8, 9  A 1,
2, 3, 4  B 2, 4, 6, 8 y C 3, 4, 5, 6 .
Hallar 
i) Ac ii) A ? C iii) (A ? C)c iv) A ? B
v) (B - C)
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
11) Señalar si son verdaderas o falsas las
siguientes afirmaciones  a)   A ? B ? A ?
( A ? B ) c) C - A C ? A b) B ? A ? (
A ? B ) ? A d) A B ? A ? B A
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
12) De 400 alumnos que estudian en una escuela
de idiomas, 120 estudian únicamente francés  200
estudian francés e inglés y 50 estudian otros
idiomas
diferentes.  Cuántos estudian solo inglés ?
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Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
6
13) De 100 estudiantes, 32 estudian
matemáticas  20 estudian física  45 estudia
biología  15 estudian matemáticas y biología  7
estudian matemáticas y física  10 estudian
física y biología y 30 no estudian ninguna de
estas tres materias.
a) Encuentre el número de estudiantes que
estudian las tres materias. b)Encuentre el
número de estudiantes que estudian exactamente
una de las tres materias.
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
14) Se sabe que en la Universidad el 60 de los
profesores juega tenis, el 50 juega
fútbol  el 70 corre  el 20 juega tenis y
fútbol  el 30 juega tenis y corre y el
40 juega fútbol y corre. Si alguien
afirma que el 20 de los profesores corre y
juega fútbol y tenis  lo creería ?
 porqué ?
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
15) Setenta y cinco niños fueron a un parque de
diversiones donde subieron a la rueda de la
fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe
que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que
55 subieron al menos a dos de los tres juegos.
Cada juego cuesta 0,50 y el costo total fue de
70. Determine el número de niños que no subió a
ninguno de los juegos.
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
7
16) Considere el lenguaje especificado por la
gramática G ( T, N, S0, P ) donde
T a, b, c N S0, A, B S0
es símbolo inicial P S0 ? AB, A ? ab,
A ? a A b, B ? c, B ? B c Determine si las
siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje
dado a a b b a a a b b c a a a b b b c c c
a b a b c c
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
17) Sea L(G) an c bn n ? 0 , encuentre
si es posible, una gramática que pueda generar el
lenguaje dado.
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
8
Determinación de conjuntos
Para denotar conjuntos utilizaremos letras
mayúsculas, y para especificar los elementos que
pertenecen (o no) a los conjuntos usaremos letras
minúsculas.
1
2
3
el elemento a pertenece al conjunto A,
simbólicamente
a ? A
s ? A
si el elemento s no pertenece al conjunto A,
escribimos
Si a ? A b ? A c ? A d ? A
y solo a b c y d pertenecen al conjunto A
Podemos escribir
A a, b, c, d
A
Hemos definido el conjunto A por extensión,
nominando entre llaves todos y cada uno de los
elementos que lo componen
.b
.a
.d
.c
Una representación visual de los conjuntos es la
de diagramas de Venn
1-2
3
9
Pero también al mismo conjunto A podríamos
definirlo por comprensión
A x /x es una de las primeras cuatro letras
del alfabeto
Definimos por comprensión un conjunto, enunciando
las propiedades (o características) que son
propias de todos los elementos del conjunto y
solamente de ellos
1
2
3
Ejemplo
A x / x ? N ? x ? 4 por comprensión
6
A 1, 2, 3 por extensión
B -2, -1, 0, 1, 2 por extensión
B x / x ? Z ? ?x ? ? 2 por comprensión
Cuando el conjunto es infinito, como el conjunto
de los números naturales acudiendo a un abuso de
notación puede proponerse una determinación por
extensión aparente como
N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . . . .
. . . . . . .
Si un conjunto no tiene elementos decimos que
está vacío
Simbólicamente A ?
1-2
3
6
10
Por ejemplo el conjunto de los nombres de
los jugadores de un equipo de fútbol
Puede suceder que en un conjunto algunos
elementos no sean diferentes (se repiten), este
es el caso de un multiconjunto
Multiconjuntos
1
2
3
Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos
nombres sean los mismos. Por ejemplo 3 se laman
Juan 2 se llaman Alberto y los 6 jugadores
restantes tienen nombres diferentes.
Cada jugador es un elemento,
aunque hay elementos que tienen el mismo nombre
Conformado por 6 elementos de los cuales 1 se
repite tres veces, otro dos veces y el tercero
aparece una sola vez
Sea el conjunto A a, a, a, b, c, c
Decimos que la multiplicidad del elemento a
en el conjunto A es 3 la
multiplicidad del elemento b en el conjunto A
es 1 la multiplicidad del
elemento c en el conjunto A es 2
1-2
3
11
Puede suceder que todos los elementos de un
conjunto, pertenezcan también a otro conjunto.
Por ejemplo A x/x es alumno de la carrera
Lic. en Sistemas B x/x es alumno de
FACENA
4
5 i-iii
5 iv-vi
Es obvio que todos los alumnos de la carrera de
Licenciatura en Sistemas son alumnos de la
Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y
Agrimensura
Entonces decimos que
A está incluído en B A ? B
Sea A 1, 2, 3, 4, 5
en diagramas de Venn
A
Todos los elementos de B pertencen al conjunto A
B 1, 2, 3, 4
B
1
2
entonces
B ? A
5
3
Recordá siempre que entre elemento y conjunto la
relación es de pertenencia entre conjuntos la
relación es de inclusión
4
12
1a) Si decimos R es un subconjunto de T
. b
T
R
. a
Simbólicamente escribimos R
? T
b) Si decimos x es un elemento de Y
Y
. x
Simbólicamente escribimos x ? y
A
también A
c) El conjunto vacío
simbólicamente es A ?
S
M
d) Si decimos M no es un subconjunto de S
ó bien
. a
. b
Simbólicamente escribimos M ? S
S
M
. a
. c
. b
e) z no pertenece a A
. a
A
. b
Simbólicamente escribimos z ? A
f) r pertenece a A
A
. r
Simbólicamente escribimos r ? A
. b
13
2) i) A x  x es vocal por extensión se
escribe
A a, e, i, o, u
ii) B x x es dígito del número 2324 por
extensión se escribe
con cardinalidad 2 para el elemento 2, si lo
tomamos como multiconjunto
al tomarlo como conjunto
B 2, 3, 4
B 2, 2, 3, 4
iii) C x  x es una letra de la palabra
fallar por extensión se escribe
con cardinalidad 2 para los elementos a y
l, si es multiconjunto
al tomarlo como conjunto
C f, a, l, r
C f, a, a, l, l, r
iv) D x  x2 - 2 0
se buscan los valores de x que verifican la
ecuación

x2 2 ?
x2
entonces
x1
?
D
,
se buscan los valores de x que verifiquen ambas
condiciones
v) E x  x2 9 ? x - 3 5
x2
x1
?
y
x1-2 8
en consecuencia
E ?
Los valores que verifican una de las condiciones,
no verifican la otra y viceversa
14
3) a) A 1, 2, 4, 8, 16, . . . .
por comprensión, son números naturales que
comienzan en 1 y luego se suceden como el doble
del anterior
x1 20 1 x2 21 2 x3 22 4 x4 23
8 . . . . . . . . . . xn 2n-1
cualquiera sea i ? 0 entonces
A x / x ? N ? x 2i, i ? 0
por comprensión son números naturales impares
B 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .
B x / x ? N ? x es impar ó B x /
x ? N ? x 2h - 1, h ? 1
por comprensión son números enteros, opuestos
(de igual valor absoluto)
C 1, -1
C x / x ? Z ? ?x? 1
por comprensión son números que resultan de
elevar al cuadrado cualquier natural menor que 7
D 1, 4, 9, 16, 25, 36
D x / x ? N ? x n2, con n ? N, n ? 7
b) A x / x ? N ? 3 ? x ? 10

A 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
B x / x ? N ? 5 ? x

B 5, 10, 15, 20, 25, . . . . . .
15
4) Representamos en diagrama de Venn
A 1, 2, . . . . ., 8, 9
C
1
A
B 2, 4, 6, 8
D
9
B
E
3
C 1, 3, 5, 7, 9
2
7
5
D 3, 4, 5
8
4
E 3, 5
6
i) Si X y B son disyuntos
en el diagrama se aprecia que
X C
ó X E
entonces X E
ii) Si  X ? D pero X ? B
entonces
X B
iii) Si X ? A pero X ? C
Esto es imposible, porque en este caso todos los
conjuntos dados están incluídos en el conjunto A
iv) Si X ? C pero X ? A
entonces X ?
16
5) i) 1, 4, 3 3, 4, 1
Es verdadero
porque los elementos de los dos conjuntos son los
mismos y si dos conjuntos tienen los mismos
elementos, son iguales
ii)  3, 1, 2 ? 1, 2, 3
Es verdadero
los elementos de los dos conjuntos son los mismos
Todo conjunto está incluido en sí mismo
podemos decir A B y B A entonces A A
Es verdadero
iii) 1 ? 1, 2
Al establecerse una relación de pertenencia
1 ? 1, 2 porque es un elemento del conjunto
Negamos que se establezca una relación de
inclusión
Mas precisamente 1 no está incluido en 1, 2 ,
sino que pertenece a 1, 2
5 iv-vi
17
5) iv) 4 ? 4
Es verdadero
La relación que se establece entre elemento y
conjunto es de pertenencia

• 4 es un elemento del conjunto 4

v) 4 ? 4
Es falso
Es verdadero
vi) ? ? 4
? es un conjunto, no es un elemento (en este
caso)
? está incluido en cualquier conjunto
Recuerde siempre que la pertenencia relaciona
elementos con conjuntos la inclusión relaciona
conjuntos entre sí el conjunto vacío está
incluido en todos los conjuntos
18
6) Determine si los conjuntos dados son vacíos 
i) X x  x2 9 ? 2 x 4

• El conjunto X está conformado por elementos que
  verifican las dos ecuaciones dadas en la
  definición por comprensión, pero debe verificar
  ambas por que los que vincula las ecuaciones es
  una conjunción

x1 3 x2 - 3
2 x 4
?
En ningún caso coinciden x1 o x2 con x 1/2
Entonces X ?
El conjunto Y estará conformado por elementos x
que sean distintos de sí mismos . . . .
ii) Y x  x ? x
Esto contradice el primer principio de la lógica
clásica todo objeto es idéntico a sí mismo (P.
de Identidad)
Entonces Y ?
?
Z 0
x 8 8 0
iii) Z x  x 8 8
Entonces Z ? ?
19
Si un conjunto tiene un número determinado de
elementos,
decimos que es un conjunto finito
Formalmente, dado un conjunto A (de n elementos)
7 i-iii
A
B
si es posible establecer una correspondencia
biunívoca (uno a uno) entre los elementos de A
con los elementos de un conjunto B de
cardinalidad n
a
x1
7 iv-v
b
x2
c
x3
n
xn
B es un conjunto finito de n elementos
Un conjunto es infinito, si no es finito.
Si es posible establecer una relación biunívoca
entre los elementos de un conjunto C cualquiera,
con los elementos de N (conjunto de números
naturales)
Tenemos en C un conjunto infinito contable o
numerable
o lo que es lo mismo, podemos decir que la
cardinalidad de C es infinita contable
20
7) i) El conjunto de los meses del año es un
conjunto finito de doce elementos
A enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio,
julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre,
diciembre
Es un conjunto finito
ii) B 1, 2, 3, . . . ., 99, 100 son los
cien primeros números naturales
Es un conjunto finito
iii) C El conjunto de personas que viven en
la tierra
este es un conjunto que a priori suele ser
pensado como infinito, o en el mejor de los casos
infinito contable . . .
la cantidad de elementos que posee (personas que
viven sobre la tierra) nos impacta.
debemos reconocer que, si tomamos un instante
determinado, la limitación para poder contar los
elementos es solo técnica. En el futuro podríamos
empadronar a cada una de las personas que viven
sobre la tierra
establecer una relación biunívoca entre el
conjunto C y un conjunto de números naturales
cardinalidad n (nº de personas que viven sobre la
tierra)
Es un conjunto finito
7 iv-v
21
7 iv) Q x / x ?? Q R conjunto de los
números racionales
Para explicar mejor el problema, analizaremos un
intervalo cualquiera de los racionales, por
ejemplo el intervalo 0, 1
Intentamos establecer una correspondencia
biunívoca entre los racionales de 0, 1
(conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n
B
a 0 le corresponde 1
a 1 le corresponde 2
A
1
0
tomamos el valor medio del intervalo 0, 1
a 1/2 le corresponde 3
Entre cualquier par de valores de Racionales,
puede insertarse siempre uno mas
6
tomamos el valor medio entre 0 y 1/2
1/16
5
a 1/4 le corresponde 4
1/8
4
1/4
tomamos el valor medio entre 1/4 y 0
3
a 1/8 le corresponde 5
1/2
tomamos el valor medio entre 1/8 y 0
a 1/16 le corresponde 6
2
1
siempre es posible establecer en A un nuevo
número intermedio entre 0 y la última fracción al
que le va a corresponder algún elemento de B
la cardinalidad de B así no puede determinarse
Entonces A es un conjunto infinito
En el conjunto de los Reales habrán también
números irracionales. .
Como A ? Q resulta que Q es conjunto infinito
7 v) R x / x ?? R
R es conjunto infinito
R conjunto de los números reales
22
Operaciones de Conjuntos Operaciones en
Diagramas de Venn
8 i
8 ii
La unión del conjunto A con el conjunto B queda
determinada con todos los elementos que
pertenecen al conjunto A
8 iii
Unión
8 iv
y también por los los elementos que pertenecen al
conjunto B
9 e
9 a-b
9 c-d
A 1, 2, 3
10 i-ii
10 iii-iv
10 v
B 3, 4, 5
A ? B 1, 2, 3, 4, 5
La intersección del conjunto A con el conjunto B
queda determinada con los elementos que
pertenecen al conjunto A
Intersección
y al conjunto B (solo a ambos conjuntos)
A 1, 2, 3
A ? B 3
B 3, 4, 5
8
9-10
23
Diferencia
8 i
La diferencia del conjunto A menos el conjunto
B queda determinada con todos los elementos del
conjunto A que no pertenecen al conjunto B
8 ii
8 iii
8 iv
A 1, 2, 3
9 e
9 a-b
9 c-d
A - B 1, 2
10 i-ii
10 iii-iv
10 v
B 3, 4, 5
La diferencia simétrica del conjunto A con el
conjunto B queda determinada con todos los
elementos que pertenecen solamente al conjunto A
Diferencia simétrica
ó al conjunto B
(pero no a ambos simultáneamente)
A 1, 2, 3
A ? B 1, 2, 4, 5
B 3, 4, 5
8
9-10
24
Conjunto Universal ó Universo
8 i
8 ii
Es un conjunto que contiene todos los elementos
del universo en el cual están contenidos los
restantes conjuntos
8 iii
8 iv
Por ejemplo A x/x ? N pares
B x/x ? N impares
9 e
9 a-b
9 c-d
U x/x ? N Universal todos los números
naturales
10 i-ii
10 iii-iv
10 v
Otro ejemplo A alumnos de Lic. en
Sistemas
U alumnos de FACENA
B alumnos de Bioquímica
U
U
U
A
A
A
B
B
B
Si algunos alumnos estudian las dos carreras
Si todos los alumnos de Bioquímica también
estudian Licenciatura
Si ningún alumno estudia las dos carreras
8
9-10
25
El complemento del conjunto A está formado por
los elementos que son del Universal pero que no
pertenecen al conjunto A
8 i
8 ii
8 iii
8 iv
U 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
U
B
A
6
9 e
9 a-b
9 c-d
1
4
A 1, 2, 3
3
10 i-ii
10 iii-iv
10 v
B 3, 4, 5
2
5
7
A U A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1, 2, 3

Al conjunto universal le quitamos los elementos
del conjunto A
A 4, 5, 6, 7
A también puede escribirse Ac -A
8
9-10
26
8) i) W - V
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos V y W
Luego sombreamos con azul el conjunto W
U
y con verde el conjunto V
unión - intersección
El resultado es la región sombreada en azul (W)
que no fue afectada por la sombra verde
diferencia dif.simétrica
W V
Si se trata de la segunda configuración de
conjuntos V ? W
universal
W - V
sombreamos con azul el conjunto W
complemento
U
y con verde el conjunto V
El resultado sigue siendo la región sombreada en
azul (W) (que no fue afectada por la sombra verde)
W V
8 iv
8 ii
8 iii
27
8 ii) Vc ? W
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos V y W
sombreamos con azul el complemento de V (Vc)
U
lo que no es conjunto V
y con verde el conjunto W
unión - intersección
Por tratarse de una unión el resultado es la
región sombreada con cualquiera de los dos
colores e incluso con ambos colores
Vc ? W
diferencia dif.simétrica
Vc ? W ( V W )c
universal
Si se trata de la segunda configuración de
conjuntos V ? W
complemento
sombreamos con azul elcomplemento de V (Vc)
U
y con verde el conjunto W
Por tratarse de una unión el resultado es la
región sombreada con cualquiera de los dos
colores e incluso con ambos colores
Vc ? W
Vc ? W U
8 iv
8 iii
28
8 iii) V ? Wc
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto V
U
y con verde el complemento de W (Wc)
unión - intersección
Por tratarse de una intersección el resultado es
solamente la región sombreada con los dos colores
diferencia dif.simétrica
V ? Wc
universal
Si se trata de la segunda configuración de
conjuntos V ? W
complemento
sombreamos con azul el conjunto V
U
y con verde el complemento de W (Wc)
Por tratarse de una intersección el resultado es
solamente la región sombreada con los dos colores
que en este caso es vacío
V ? Wc ?
8 iv
29
8 iv) Vc - Wc
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto Vc
y con verde el complemento de W (Wc)
unión - intersección
Por tratarse de una diferencia el resultado es la
región sombreada con azul pero no con verde
diferencia dif.simétrica
Vc Wc
universal
Si se trata de la segunda configuración de
conjuntos V ? W
complemento
sombreamos con azul el conjunto Vc
y con verde el complemento de W (Wc)
Por tratarse de una diferencia el resultado es la
región sombreada con azul pero no con verde
Vc Wc
30
9) a) A ? B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos A B C y D
sombreamos con azul el conjunto A
U
y con verde el conjunto B
unión - intersección
A ? B es la región sombreada con cualquiera de
los dos colores e incluso con ambos colores
diferencia dif.simétrica
A ? B
universal
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos A B C y D
9 b) A ? B
complemento
sombreamos con azul el conjunto A
U
y con verde el conjunto B
A ? B es la región sombreada solamente con los
dos colores
A ? B
9 e
9 c-d
31
9 c) (A - C) ? B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos A B C y D
sombreamos con azul el conjunto A
U
y con verde el conjunto C
pintamos el resultado A - C
unión - intersección
Por tratarse de una unión pintamos también todo
el conjunto B y así obtendremos que el resultado
final es toda la zona pintada
diferencia dif.simétrica
(A - C) ? B
universal
9 d) (A - C) ? B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos A B C y D
complemento
sombreamos con azul el conjunto A
y con verde el conjunto C
U
pintamos el resultado A - C
sombreamos color naranja el conjunto B
Por tratarse de una intersección, pintamos
amarillo la zona identificada con los colores de
A-C y de B y así obtenemos que el resultado final
(A - C) ? B
9 e
32
9 e) (A ? B ? C) ? D
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de
los conjuntos A B C y D
sombreamos con azul el conjunto A
U
unión - intersección
con verde el conjunto B
y sombreamos color naranja el conjunto C
diferencia dif.simétrica
universal
Por tratarse de una triple intersección, pintamos
amarillo la zona identificada con los colores de
A , de B y de C simultáneamente
complemento
A ? B ? C
El conjunto D también sombreamos amarillo, para
que quede determinado
( A ? B ? C ) ? D
33
10) Si U 1, 2, . . . . , 8, 9 
A 1, 2, 3, 4 
10 i) Ac son todos los elementos del conjunto
universal, pero no del conjunto A
Dibujamos el universal con todos sus elementos
unión - intersección
Identificamos el conjunto A
diferencia dif.simétrica
Sombreamos Ac
5, 6, 7, 8, 9
universal
10 ii) A ? C son los elementos del conjunto A y
del conjunto C (de ambos)
complemento
Dibujamos el universal con todos sus elementos e
identificamos los conjuntos A y C
Sombreamos con azul el conjunto A y con verde el
conjunto C
La región con doble sombras es A ? C
3, 4
10 iii-iv
10 v
34
Si U 1, 2, . . . . , 8, 9  A
1, 2, 3, 4 y C 3, 4, 5, 6
10 iii) Para hallar ( A ? C )c Usamos como
resultado parcial el ejercicio anterior A ? C
3, 4
unión - intersección
(A ? C)c es precisamente todo lo que es universal
pero no forma parte de (A ? C)
diferencia dif.simétrica
( A ? C )c 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9
que sombreamos color naranja
universal
10 iv) Si queremos hallar A ? B
complemento
Dibujamos en el Universal
B 2, 4, 6, 8
A 1, 2, 3, 4
Sombreamos el conjunto A
y también el conjunto B
A ? B 1, 2, 3, 4, 6, 8
10 v
35
Si U 1, 2, . . . . , 8, 9  B 2,
4, 6, 8 y C 3, 4, 5, 6
10 v) para hallar B - C
Sombreamos el conjunto B
unión - intersección
y luego borranmos la zona sombreada en B que es
conjunto C
diferencia dif.simétrica
B C 2, 8
universal
complemento
36
11) a)   A ? B ? A ? ( A ? B )
B
A
Si A ? B todos los elementos de A pertenecen
también al conjunto B
en ese caso A ? B A
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
  A ? B ? A ? ( A ? B ) es verdadero
A
B
Si B ? A todos los elementos de B pertenecen
también al conjunto A
11 b) B ? A ? ( A ? B ) ? A
en ese caso A ? B A
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
B ? A ? ( A ? B ) ? A es Falso
11 c) C - A C ? A
C - A es quitarle el conjunto A al conjunto C
Lo que tiene resultado diferente de C ? A
entonces C - A C ? A es Falso
Si A B los elementos del conjunto A son los
mismos que los elementos que los del conjunto B
11 d) Si A B ? A ? B A
la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera
de ellos
Luego A B ? A ? B A es Verdad
37
12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de
idiomas, 120 estudian únicamente francés  200
estudian francés e inglés y 50 estudian otros
idiomas diferentes.  Cuántos estudian solo
inglés ?
El conjunto universal es la totalidad de los
alumnos que estudian en la escuela de idiomas
U x / x es alumno de la escuela de idiomas
? U ?U? 400
F x/x estudia solamente francés o francés e
ingles
? F 120 200 320
La cantidad de alumnos que no estudia francés es
el complemento de F ( Fc )
? Fc ? U - ? F 400 320 80
Son los que no estudian solamente francés ni
francés e inglés juntos
De estos 80 alumnos que no estudian francés, hay
50que estudian otros idiomas que no son francés
ni inglés
? O 50
I x/x estudia solamente inglés
U
F
I
? I ? Fc - ? O 80 50 30
? 120
? 200
? 30
? 50
38
Sean A a, b, c con ? A 3
y B b, d, e con ? B 3
B
A
? A ? B 3 3 6
d
a
b
Pero ? (A ? B) 5
c
e
si los conjuntos no son disjuntos ? A ? B ?
? (A ? B)
Observe que ? (A ? B) ? A ? B - ? (A ? B)
3 3 1 5
Porque en dos conjuntos rampantes, al sumar la
cantidad de elementos de cada conjunto, estamos
contando dos veces todos los elementos que son
comunes a ambos conjuntos
entonces si ? (A ? B) ? A ? B - ? (A ? B)
? (A ? B ? C) parece ser ? A ? B ? C - ? (A ?
B) - ? (A ? C) - ? (B ? C)
39
pero al escribir
? (A ? B ? C) parece ser ? A ? B ? C - ? (A ?
B) - ? (A ? C) - ? (B ? C)
deslizamos voluntariamente un error para que
aprecie Ud. que
y B b, d, e con ? B 3
si A a, b, c con ? A 3
B
aparece ahora el conjunto C b, c, e f
A
d
a
sería entonces
b
? A ? B ? C - ? (A ? B) - ? (A ? C) - ? (B ?
C) 3 3 4 1 2 2 5
c
e
C
f
pero ( A ? B ? C ) a, b, c, d, e, f
? ( A ? B ? C ) 6
A ? B b
A ? C b, c
observando minuciosamente vemos que
B ? C b, e
el elemento c aparece en dos conjuntos (A y C)
pero se descuenta una vez en A ? C
el elemento e aparece en dos conjuntos (B y C)
pero se descuenta una vez en B ? C
40
el elemento b que aparece en los tres conjuntos
( A, B y C) se descuenta tres veces en (A ?
B) (A ? C) y (B ? C)
B
A
sucede que todos los elementos que se encuentren
en la triple interseción se descontarán una vez
mas que lo que corresponde, entonces
d
a
b
c
e
C
f
a ? A ? B ? C - ? (A ? B) - ? (A ? C) -
? (B ? C)
así tenemos
vamos a sumarle ? (A ? B ? C)
? (A ? B ? C) ? A ? B ? C - ? (A ? B) - ?
(A ? C) - ? (B ? C) ? (A ? B ? C)
? B 3
? A 3
? C 3
? (A ? C) 2
? (B ? C) 2
? (A ? B) 1
? (A ? B ? C) 1
entonces
? (A ? B ? C) 3 3 3 1 2 2 1 6
41
13) De 100 estudiantes, 32 estudian
matemáticas  20 estudian física  45 estudia
biología  15 estudian matemáticas y biología  7
estudian matemáticas y física  10 estudian
física y biología y 30 no estudian ninguna de
estas tres materias. a) Encuentre el número de
estudiantes que estudian las tres materias.
b)Encuentre el número de estudiantes que estudian
exactamente una de las tres materias.
Extraemos datos de la consigna? U 100
? M 32 ? F 20 ? B 45
? O 30 ? (M ? F) 7 ?
(M ? B) 15 ? (F ? B) 10
? (M ? F ? B) ? M ? F ? B - ? (M ? F) - ?
(M ? B) - ? (F ? B) ? (M ? F ? B)
Hacemos pasaje de términos para despejar
? (M ? F ? B) ? (M ? F ? B) - ? M - ? F - ? B
? (M ? F) ? (M ? B) ? (F ? B)
? (M ? F ? B) 70 32 20 45 7 15 10
5
42
son datos de la consigna? U 100 ? M
32 ? F 20 ? B 45 ? O 30
? (M ? F) 7 ? (M ? B) 15
? (F ? B) 10
y hemos hallado que
así
? (M ? F ? B) 5
U
F
? (M ? F) - ? (M ? F ? B) 7 5 2
M
8
2
15
? (M ? B) - ? (M ? F ? B) 15 5 10
5
10
5
? (F ? B) - ? (M ? F ? B) 10 5 5
B
25
30
Solo matemática 32 2 5 10 15
Solo física 20 2 5 - 5 8
Otras materias 30
Solo biología 45 10 5 - 5 25
43
14) Se sabe que en la Universidad el 60 de los
profesores juega tenis, el 50 juega
fútbol  el 70 corre  el 20 juega tenis y
fútbol  el 30 juega tenis y corre y el
40 juega fútbol y corre. Si alguien
afirma que el 20 de los profesores corre y
juega fútbol y tenis  lo creería ?
 porqué ?
planteamos la siguiente situación
Todos los que juegan tenis y fútbol, también
corren de manera que
(F ? T) (F ? T ? C)
F
en este caso, si el 40 juega fútbol y corre
y tenemos un 20 que además de jugar
fútbol y correr, juega tenis nos quedan entonces
el 20 que únicamente juega fútbol y corre
T
30
0
10
20
20
10
Sabemos así, que del 50 que juega fútbol, solo
el 10 juega solamente fútbol
10 ?
C
ya tenemos un 20 que además de jugar
tenis y correr juega fútbol, nos quedan entonces
el 10 que únicamente juega tenis y corre
un 30 juega tenis y corre, pero
sabemos así que del 60 que juega tenis, el 30
juega solamente tenis
la suma de los porcentajes de cada una de las
regiones del diagrama de Venn, arroja que
quedarían solamente un 10 de profesores que
solamente corren . . .
Ese resultado arroja un total de 60 de
profesores que corre y se contradice con la
consigna donde son el 70 los profesores que
corren
Los datos son inconsistentes (erróneos)
44
15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran
tres la rueda de la fortuna, la montaña
rusa y el trencito. Se sabe que 20 de ellos
subieron a los tres juegos y que 55 subieron al
menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta
0,50 y el costo total fue de 70. Determine el
número de niños que no subió a ninguno de los
juegos.
Los 20 niños que subieron a los tres juegos,
gastaron
20 x 3 x 0.50 30
Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres
juegos, y sé también que son 20 los niños que
subieron a los tres juegos, es evidente que . . .
.
Los que subieron solamente a dos juegos son 55
20 35 niños
35 x 2 x 0,50 35
Que subiendo a dos juegos gastaron
Entre los niños que subieron a dos o tres juegos
(55 en total), llevan gastado 30 35 65
quedan ahora 5 y 20 niños que aún no subieron a
juego alguno
los 5 que restan son suficientes para 10
tickets, pero los niños son 20
En el caso que reparta 1 ticket por niño,
quedarán 10 sin subir a ningún juego
45
Una Gramática G que genera un lenguaje L, es un
cuádruple G (T, N, S0, P ) conformado
por
T conjunto de símbolos terminales N
conjunto de símbolos NO terminales S0 símbolo
inicial P conjunto de Producciones
El símbolo inicial S0 es un No Terminal, que dá
inicio a las secuencias de producciones
16
17
Los símbolos terminales son letras minúsculas y
tienen el significado que le asigne cada lenguaje
en particular
Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas
y sirven para componer las expresiones (cadenas)
del lenguaje
Las producciones son las leyes que rigen en la
composición de las cadenas del lenguaje
T a, b N S0, A P S0 ? a A A ? a
A A ? b
Así desde el símbolo inicial generamos cadenas
como
S0 ? a A ? a a A ? a a b
S0 ? a A ? a a a A ? a a a a A ? a a a a b
(an no es una expresión algebraica de potencia)
an significa que a puede repetirse n veces
LG an b, n ? 1
46
16) Considere el lenguaje especificado por la
gramática G ( T, N, S0, P ) donde
T a, b, c N S0, A, B S0
es símbolo inicial P S0 ? AB, A ? ab,
A ? a A b, B ? c, B ? B c Determine si las
siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje
dado a a b b a a a b b c a a a b b b c c
c a b a b c c
Para saber si una cadena pertenece a un
determinado lenguaje, debemos verificar si es
posible formar dicha cadena con la gramática de
dicho lenguaje
Así, en el primer caso, la cadena es a a b b a
a
Y la única producción que involucra al símbolo
inicial es S0 ? AB
De manera que cualquier cadena de este lenguaje
necesariamente comienza en S0 ? AB
De observar atentamente el conjunto de
producciones, verá Ud. que el símbolo no terminal
B produce únicamente B ? c ó B ? B c
Entonces cualquier cadena que se inicia con S0 ?
AB debe terminar en c
Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje
dado
47
En el caso de la cadena a b b c
Si G ( T, N, S0, P ) donde T
a, b, c N S0, A, B S0 es símbolo
inicial P S0 ? AB, A ? ab, A ? a A
b, B ? c, B ? B c
S0 ? AB
? a b B
? a b c
No es la cadena buscada
No es la cadena buscada y podemos notar que
cualquier cadena de este lenguaje contendrá igual
cantidad de símbolos a que de símboloos b al
inicio y luego una ó mas c
S0 ? AB
? a a b b c
? a A b B
La cadena a a a b b b c c c Se obtiene
haciendo
Luego, a b b c no es una cadena del lenguaje dado
S0 ? A B
? a a A b b B c c
? a A b B c
? a a a b b b c c c
Usamos A ? a A b y B ? B c
Finalmente A ? a b y B ? c
Luego, a a a b b b c es una cadena del lenguaje
dado
48
17) Sea L(G) an c bn n ? 0 , encuentre
si es posible, una gramática que pueda generar el
lenguaje dado.
Para hallar una gramática que genere un lenguaje
dado, debemos definir los conjuibntos que
componen el cuádruple que define la gramática, de
manera que esa gramática sea capaz dce generar
todas las cadenas del lenguaje y solamente de él.
En nuestro caso, es evidente que el conjunto de
símbolos terminales T estará conformado por los
símbolos
T a, b, c
Al conjunto de símbolos no teminales N le
asignamos un elemento S0 y un no terminal A
N S0, A
S0 ? a A b
Con estos conjuntos proponemos una primera
producción
Y una segunda y tercera producción pueden ser
A ? a A b
A ? c
Con estas producciones se forman cadenas que
tienen igual cantidad de a y de b al inicio y al
final y en el medio una c
P S0 ? a A b A ? A a B A ? c
49
Pero si L(G) an c bn n ? 0 puede
suceder que no existan símbolos a ni b, (n
0)
Esto nos lleva a reformular las producciones
halladas
Porque es fácil advertir que con estas
producciones, siempre estarán a y b al comienzo y
al final respectivamente
S0 ? a A b A ? a A b A ? c

Entonces planteamos
S0 ? a S0 b S0 ? c
La gramática G ( T, N, S0, P ) queda
conformada con T a, b, c
N S0 S0 es símbolo inicial P S0
? a S0 b S0 ? c
Queda en evidencia que un mismo símbolo no
terminal, puede producir cosas diferentes,
inclusive el símbolo inicial (que es un no
terminal)
Eso es todo amigos ! !
No es perezoso solo el que no hace nada sino
también el que pudiendo hacerlo mejor, no lo
hace. Sócrates