Conjuntos Fuzzy

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Conjuntos Fuzzy

• Histórico
• A idéia dos conjuntos nebulosos ou difusos
  (fuzzy) partiu de L.A. Zadeh e R. Bellman no
  Laboratório da IBM. Eles verificaram a
  necessidade de criar uma teoria que trabalhasse
  com a incerteza e a imprecisão em sistemas
  dinâmicos. Em 1965 Zadeh publicou o artigo Fuzzy
  Sets o qual faz a formalização dos conjuntos
  nebulosos.

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Conjuntos Fuzzy

• Definição
• Um conjunto fuzzy ou nebuloso é uma classe com
  limites imprecisos.
• Exemplos
• Limites de um átomo
• A classe de carros caros
• A classe dos números pequenos
• A classe das montanhas altas

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Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos de Teoria dos Conjuntos
  abruptos ou crisp
• Na abordagem padrão de uma teoria matemática
  alguns conceitos são primitivos e outros são
  derivados. Na teoria de conjuntos normalmente são
  conceitos primitivos
• Conjunto A
• Elemento a
• Pertencer ?
• Universo U

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Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos
• Um conjunto pode ser descrito nomeando-se todos
  os seus membros ou especificando algumas
  propriedades bem definidas que devem ser
  satisfeitas por todos os elementos do conjunto.
• Aa1, a2, ..., an
• Bbb tem as propriedades P1, P2, ..., Pn

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Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos
• Contido ou Igual
• A ? B x x ? A e x ? B
• Igual
• A B x x ? A se e somente se x ? B
• Não Igual A ? B
• Contido
• Se A ? B e A ? B, então B contém ao menos um
  elemento que não é membro de A. A ? B.
• Conjunto Vazio

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Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos
• O processo pelo qual elementos de um conjunto
  universo U são classificados como sendo ou não
  membros de um conjunto pode ser definido por uma
  função
• ?A(x) 1 se e somente se x ? A
• 0 se e somente se x ?A
• Cardinalidade o número de elementos que
  pertencem ao conjunto A.

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Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos Propriedades
• Involução ? (? A) A
• Comutatividade A?BB?A A?B B?A
• Associatividade (A?B)?CA?(B?C)
• (A?B)?CA?(B?C)
• Distributividade A?(B?C)(A?B) ?(A?C)
• Identidade A??A A?UA
• Lei da Contradição A ? ?A?
• Lei do Meio Excluído A ? ?AU

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Conjuntos Fuzzy

• Conceitos Primitivos
• Em lugar da pertinência, uma função é tomada como
  CONCEITO PRIMITIVO Função de Pertinência
• ?A U ? 0,1

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Conjuntos Fuzzy

• Conceitos Primitivos
• Exemplo
• Conjunto das idades U 5,10,20,30,40,50,60,70,80
  
• E conjuntos fuzzy denominados Criança, Adulto,
  Jovem, Velho
• 5 1 0 1 0
• 10 0 0 1 0
• 20 0 .8 .8 .1
• 30 0 1 .5 .2
• 40 0 1 .2 .4
• 50 0 1 .1 .6
• 60 0 1 0 .8
• 70 0 1 0 1
• 80 0 1 0 1

Faça o gráfico
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Conjuntos Fuzzy

• Outras Definições
• Suporte é o sub-conjunto do conjunto Universo
  para o qual a função de pertinência é não-nula.
• SupAx?X ?A(x) gt 0
• Notação A ?1/x1 ?2/x2 ... ?n/xn
• Jovem 1/5 1/10 0.8/20 0.5/30 0.2/40
  0.1/50
• Altura maior valor de pertinência alcançado por
  qualquer elemento do conjunto
• Alfa-corte de um conjunto fuzzy A é o conjunto
  crisp A? que contém todos os elementos do
  conjunto universo U que possuem grau de
  pertinência em A maior ou igual ao valor de ?.

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Conjuntos Fuzzy

• Outras Definições
• Alfa-corte exemplo
• ? 0.2 Jovem 0.2 5,10,20,30,40
• ? 0.5 Jovem 0.5 5,10,20
• Cardinalidade pode ser interpretada como a
  proporção dos elementos de U que estão em A.
• A? ?A(x)
• Velho 0.10.20.40.60.811 4.1
• Cardinalidade relativa A A/U

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Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy
• Inclusão Se o grau de pertinência de cada
  elemento do universo de discurso U em um conjunto
  fuzzy A for menor ou igual ao grau de pertinência
  no conjunto fuzzy B, então A é um subconjunto de
  B.
• ?A(x) ? ?B(x) ?velho(x) ? ?adulto(x)

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Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy
• Igualdade
• ?A(x) ?B(x)
• Complemento
• ?Ã(x) 1 - ?A(x)
• Não-velho 1/51/10.9/20.8/30.6/40.4/50.2/60
  
• Não-velho NÃO É IGUAL A Jovem

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Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy
• UNIÃO
• A união de dois conjuntos fuzzy A e B é um
  conjunto fuzzy AUB tal que
• ?AUB(x) max?A(x), ?B(x) para todo x ? U
• É o grau de pertinência a A ou o grau de
  pertinência a B, o que for maior.
• Jovem OU Velho Jovem U Velho
  1/51/10.8/20.5/30.4/40.650.8/601/701/80

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Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy
• INTERSEÇÃO
• A interseção de dois conjuntos fuzzy A e B é um
  conjunto fuzzy A?B tal que
• ?A ?B(x) min?A(x), ?B(x) para todo x ? U
• É o grau de pertinência a A ou o grau de
  pertinência a B, o que for menor.
• Jovem E Velho Jovem ? Velho
  0.1/200.2/300.2/400.150

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Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy
• UNIÃO FORTE
• A ? B ?A?B(x) min1,?A(x) ?B(x) para todo
  x ? U
• INTERSEÇÃO FORTE
• A ? B ?A ? B(x) max0,?A(x) ?B(x) para
  todo x ? U

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Conjuntos Fuzzy

• Medidas de Nebulosidade
• O grau de nebulosidade expressa em nível global a
  dificuldade de decidir quais os elementos que
  pertencem ou não a um dado conjunto nebuloso.
• d(A)0, a função é nula, se o conjunto é abrupto.
• d(A)máximo, ela se máxima se ?A(x)0.5 para todo
  x.

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Conjuntos Fuzzy

• Conjuntos Nebulosos e Probabilidade
• Imprecisão X Incerteza
• Probabilidade é uma incerteza de que algo vai
  acontecer. É relacionada com uma dúvida antes de
  ocorrer o evento.
• Somatório das probabilidades 1
• A imprecisão refere-se a algo que ocorre, mas não
  de maneira completa.
• Somatório dos graus de pertinência gt 1.
• Exemplo. Qual a probabilidade de uma pedra que eu
  achei na rua ser de ouro? Qual a possibilidade de
  ela conter de ouro?

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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• Uma relação em conjuntos crisp representa a
  presença ou ausência de associação, interação ou
  interconexão entre os elementos de dois ou mais
  conjuntos.
• Este conceito pode ser generalizado para permitir
  vários graus ou valores de relação entre os
  elementos. Graus de associação podem ser
  representados por graus de pertinência em uma
  relação nebulosa da mesma maneira que os graus de
  pertinência a conjuntos em um conjunto nebuloso.
• Seja o conjunto A e o conjunto B, considerando o
  produto cartesiano AXB, obter-se uma relação em
  AXB é selecionar dentre os elementos deste
  produto cartesiano, alguns elementos
  privilegiados.

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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• Exemplo crisp
• XInglês, Francês, Ydollar, libra, franco,
  marco, ZUSA, França, Canadá, UK, Alemanha
• R(X,Y,Z)(Inglês, dollar, USA), (Francês,
  franco, França), (Inglês, dollar, Canadá),
  (Francês, dollar, Canadá), (Inglês, libra, UK)

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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• Exemplo nebuloso R1 y é maior que x

X\Y 3 4 5 6
1 0.5 0.9 1.0 1.0
2 0.3 0.5 0.9 1.0
3 0.0 0.3 0.5 0.9
4 0.0 0.0 0.3 0.5
5 0.0 0.0 0.0 0.3
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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• Exemplo nebuloso R2 y é igual que x

X\Y 3 4 5 6
1 0.3 0.0 0.0 0.0
2 0.7 0.3 0.0 0.0
3 1.0 0.7 0.3 0.0
4 0.7 1.0 0.7 0.3
5 0.3 0.7 1.0 0.7
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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• UNIÃO é definido como o operador max
• ?R1?R2(x1,x2) max(?R1 (x1,x2), ?R2(x1,x2))
• y é maior OU igual a x

X\Y 3 4 5 6
1 0.5 0.9 1.0 1.0
2 0.7 0.5 0.9 1.0
3 1.0 0.7 0.5 0.9
4 0.7 1.0 0.7 0.5
5 0.3 0.7 1.0 0.7
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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• INTERSEÇÃO é definido como o operador min
• ?R1?R2(x1,x2) min(?R1 (x1,x2), ?R2(x1,x2))
• y é maior E igual a x

X\Y 3 4 5 6
1 0.3 0.0 0.0 0.0
2 0.3 0.3 0.0 0.0
3 0.0 0.0 0.3 0.3
4 0.0 0.0 0.3 0.3
5 0.0 0.0 0.0 0.3
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Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas
• COMPLEMENTO
• ??R1 1- ?R1 (x1,x2)
• y não é maior que x
• RELAÇÃO CLÁSSICA MAIS PRÓXIMA
• A relação clássica mais próxima da relação
  nebulosa é dada por um conjunto dentro de a e b
  reais onde se tem um conjunto clássico que
  corresponde a um ?-corte igual a 0.5
• ?RC (x1,x2) 1 se ?R (x1,x2) gt 0.5
• ?RC (x1,x2) 0 se ?R (x1,x2) lt 0