Diapositiva 1

1
Envolvente convexa
2
P6 Propiedades físicas de materiales
Dado una serie de compuestos tratar de determinar
cuál serán las propiedades físicas de sus mezclas.
3
Envolvente convexa
Dada una serie de puntos encontrar el menor
convexo que los contiene
4
(No Transcript)
5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
El par más cercano
puntos en el plano
Entre muchos aviones en una pantalla encontrar
los dos más cercanos
El par más alejado
Todos los pares más cercanos
Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos
más alejados
Entre muchos linces en un terreno encontrar el
más cercano a cada cual
puntos en el plano
Árbol recubridor (generador) mínimo
Conectar n puntos de tal forma que la longitud de
la red sea mínima
Triangulación equilátera
Entre todas las triangulaciones encontrar la más
equilátera posible
Vecino más cercano
Dado un conjunto de puntos S y un nuevo punto q,
encontrar el elemento de S más cercano a q.
Envolvente convexa
Dada una serie de puntos encontrar el menor
convexo que los contiene
10
Dado un conjunto finito de puntos en el plano P
p1,...,pn (con n mayor o igual que dos),
definimos su envolvente convexa (o cierre
convexo, convex hull en inglés) (denotada CH(P))
como el menor convexo que lo contiene.
Lema 5.1 La intersección de conjuntos convexos
es siempre un conjunto convexo.
Lema 5.2 La envolvente convexa de un conjunto P
coincide con la intersección de todos los
convexos que contienen al conjunto P.
11
(No Transcript)
12
Quickhull
13
(No Transcript)
14
Quickhull O(n2)
15
(No Transcript)
16
Marcha de Jarvis
17
Marcha de Jarvis
18
Marcha de Jarvis
19
Marcha de Jarvis
20
Marcha de Jarvis
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Marcha de Jarvis
22
Marcha de Jarvis
23
Marcha de Jarvis
24
Marcha de Jarvis
25
Marcha de Jarvis
26
Marcha de Jarvis
27
Marcha de Jarvis
28
Marcha de Jarvis
29
Marcha de Jarvis
30
Marcha de Jarvis
31
Marcha de Jarvis
32
Marcha de Jarvis
33
Marcha de Jarvis
34
Marcha de Jarvis
35
Marcha de Jarvis
36
Marcha de Jarvis
37
Marcha de Jarvis
38
Marcha de Jarvis
39
Marcha de Jarvis
40
Marcha de Jarvis
41
Marcha de Jarvis
42
Marcha de Jarvis
43
Marcha de Jarvis
44
Marcha de Jarvis
45
Marcha de Jarvis
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Marcha de Jarvis
47
Marcha de Jarvis
48
Marcha de Jarvis
49
Marcha de Jarvis
50
Marcha de Jarvis
51
Marcha de Jarvis
52
Marcha de Jarvis
53
Marcha de Jarvis
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Marcha de Jarvis
55
Marcha de Jarvis
56
Marcha de Jarvis
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Marcha de Jarvis
58
Marcha de Jarvis
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Marcha de Jarvis
60
Marcha de Jarvis
61
Marcha de Jarvis
62
Marcha de Jarvis
63
Marcha de Jarvis
64
Marcha de Jarvis
65
Marcha de Jarvis
O(n)n O(n2)
66
Scan de Graham
67
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.
68
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.
69
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto. L
2
1
4
3
13
5
6
11
10
7
9
12
8
70
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F
2
1
4
3
13
5
6
11
10
7
9
12
8
71
Scan de Graham
M
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F
2
F
I
1
4
3
13
5
6
11
10
7
9
12
8
72
Scan de Graham
M
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)
2
F
I
1
4
3
13
5
6
11
10
7
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12
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73
Scan de Graham
M
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)
2
F
I
1
4
3
13
5
6
11
10
7
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Scan de Graham
F
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
I
M
1
4
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13
5
6
11
10
7
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12
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75
Scan de Graham
F
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
I
M
1
4
3
13
5
6
11
10
7
9
12
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Scan de Graham
M
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
F
I
1
4
3
13
5
6
11
10
7
9
12
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Scan de Graham
F
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
M
1
4
3
I
13
5
6
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10
7
9
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8
78
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
F
1
4
3
M
I
13
5
6
11
10
7
9
12
8
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Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
F
M
13
5
6
11
I
10
7
9
12
8
80
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
F
1
4
3
M
13
5
6
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I
10
7
9
12
8
81
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
F
13
5
6
11
M
10
7
9
12
I
8
82
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
13
5
6
11
I
F
10
7
9
12
M
8
83
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
I
13
5
6
11
M
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7
9
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F
8
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Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
I
13
5
6
11
F
10
7
9
12
M
8
85
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
M
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5
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I
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7
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F
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86
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
13
5
6
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I
F
10
7
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12
M
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87
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
13
5
6
11
M
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10
7
9
12
F
8
88
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
13
5
6
11
F
I
10
7
9
12
M
8
89
Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.2.- Ordenamos
los demás puntos angularmente con respecto a
dicho punto.L3.- A los tres primeros puntos les
ponemos las etiquetas I M F4.- Si el ángulo IMF
es positivo Isiguiente(I)Msiguiente(M)Fsigui
ente(F)Si IMF es negativo borramos M de
LIIMFFanterior(F)
2
1
4
3
I
13
5
6
11
M
10
7
9
12
F
Teorema El Scan de Graham computa la envolvente
convexa de n puntos en un tiempo óptimo O(n log
n).
8
90
El par más alejado
Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos
más alejados
Lema El diámetro de una nube de puntos coincide
con el diámetro de sus puntos extremos.
91
(No Transcript)
92
Un par de puntos se llaman antipodales si por
ellos pasan paralelas que contienen a toda la
nube en su interior
Puntos antipodales
93
Un par de puntos se llaman antipodales si por
ellos pasan paralelas que contienen a toda la
nube en su interior
94
Un par de puntos se llaman antipodales si por
ellos pasan paralelas que contienen a toda la
nube en su interior
95
Un par de puntos se llaman antipodales si por
ellos pasan paralelas que contienen a toda la
nube en su interior
Lema El diámetro de una nube de puntos coincide
con la distancia entre su par antipodal
punto-punto más lejano.
96
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Recta centro
Lema La anchura equivale al cálculo de la recta
centro.
97
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
98
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
99
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
100
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
101
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
102
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
103
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
104
(No Transcript)
105
Antipodales
106
No antipodales
107
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
108
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
109
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
110
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
111
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
112
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
113
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
114
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
115
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
116
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
117
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
118
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
119
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
120
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
121
La distancia más corta entre paralelas que
contienen a toda la nube en su interior se llama
anchura.
Lema La anchura de una nube de puntos la
determina un par antipodal arista-punto de su
envolvente convexa.
Lema Es posible determinar todos los pares
antipodales arista-punto de un polígono convexo
en tiempo lineal.
Teorema Es posible determinar la anchura de un
conjunto en tiempo lineal a partir de su
envolvente convexa.
122
(No Transcript)
123
(No Transcript)
124
(No Transcript)
125
(No Transcript)
126
(No Transcript)
127
(No Transcript)
128
(No Transcript)
129
(No Transcript)
130
Un par de puntos se llaman antipodales si por
ellos pasan paralelas que contienen a toda la
nube en su interior
Lema El diámetro de una nube de puntos coincide
con la distancia entre su par antipodal
punto-punto más lejano.
131
Los vértices antipodales a un vértice v dado son
todos aquellos comprendidos entre los vértices
antipodales a las dos aristas incidentes en v
132
Los vértices antipodales a un vértice v dado son
todos aquellos comprendidos entre los vértices
antipodales a las dos aristas incidentes en v
133
Los vértices antipodales a un vértice v dado son
todos aquellos comprendidos entre los vértices
antipodales a las dos aristas incidentes en v
134
Los vértices antipodales a un vértice v dado son
todos aquellos comprendidos entre los vértices
antipodales a las dos aristas incidentes en v
135
Los vértices antipodales a un vértice v dado son
todos aquellos comprendidos entre los vértices
antipodales a las dos aristas incidentes en v
Teorema El diámetro de un conjunto pueden ser
calculados en tiempo lineal una vez conocida la
envolvente convexa.
Corolario 5.1 Todos los pares antipodales
vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo
lineal una vez conocida la envolvente convexa.
136
Problemas 1.- Probar que dado un conjunto de
puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo
O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto
como sus vértices. 2.- Sea P un polígono
monótono (existe una recta tal que toda
perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos
puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que
calcule su envolvente convexa en tiempo lineal.
3.- Dos conjuntos de puntos A y B se dicen que
son linealmente separables si existe una recta r
que los deja a cada uno en uno de los dos
semiplanos que la recta define (a cada conjunto
en un semiplano distinto). a) Demostrar que dos
conjuntos son linealmente separables si y sólo si
lo son sus envolventes. b) Demostrar que dos
convexos son linealmente separables si y sólo si
son disjuntos. c) Diseñar un algoritmo que
decida cuando dos conjuntos son linealmente
separables. 4.- Probar que todo polígono convexo
tiene cuatro vértices N, S, E, O (que pueden
coincidir entre ellos) y cuatro cadenas monótonas
entre ellos que son de N a W descendente hacia la
izquierda, de W a S descendente hacia la derecha,
de S a E ascendente hacia la derecha y de E a N
ascendente hacia la izquierda. 5.- Un polígono
se dice ortogonal si todas sus aristas son o
vérticales y horizontales. Y un polígono
ortogonal se dice ortogonalmente convexo si el
interior de cada línea horizontal en el polígono
es un segmento. a) Encontrar una
caracterización similar a la del problema 4 para
polígonos ortogonales ortogonalmente convexos.
b) Diseñar un algoritmo que decida cuando un
polígono ortogonal es ortogonalmente convexo.
c) Diseñar un algoritmo que encuentro el menor
polígono ortogonalmente convexo que contiene a un
polígono ortogonal dado.