Diapositive 1

1
LABORATOIRE dINGÉNIERIE des SYSTÈMES
AUTOMATISÉS EA 4014 Université dAngers
Institut des Sciences et Techniques de
lIngénieur dAngers
Master2 Recherche Spécialité  Systèmes
Dynamiques et Signaux
Juin 2007
SUJET
aLGORITHME DE fOURIER mOTZKIN. Application
aux graphes dÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS.
2
PLAN
OBJECTIF GÉNÉRAL
1 - ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN
2 QUELQUES RAPPELS SUR LES RÉSEAUX DE PETRI
3 APPLICATION DE LALGORITHME DE
FOURIER-MOTZKIN AUX GRAPHES D ÉVÉNEMENTS
TEMPORISÉS
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
3
Analyser

1. un algorithme de résolution des systèmes
   dinéquations Axb

1. une démarche de calcul de trajectoire des
   graphes dévénements temporisés

4
Partie1 Algorithme de Fourier-Motzkin
5
(No Transcript)
6
Objectif

• Elle permet de
• Tester lexistence de solution des systèmes Ax
  b.
• Trouver une solution lorsqu'elle existe.

7
La méthode comporte deux phases

• Une phase de descente

• Une phase de remontée

8
(No Transcript)
9
Principe
Descente
Etape2 calcul des bornes
10
Principe
(1)
(2)
(3)
Descente
Etape3 élimination
Répéter la procédure sur la variable x2
11
Principe
Connaissant la condition sur la variable xn et
en lui attribuant une valeur, on peut remonter à
la condition sur la variable xn-1 ainsi de suite
on remonte à la variable x1.
12
Le test dexistence de solution est réalisé après
élimination des (n-1) premières variables du
système dinéquations linéaires Ax b
Il suffit de vérifier si la borne inférieure de
la dernière variable est inférieure ou égale à sa
borne supérieure.
13

Existence de solution

Descente
Pour b 15
14



Existence de solution

Descente
Exemple






15



Existence de solution

Exemple

Descente





16

Existence de solution
Descente
Exemple

Pour b 11
17



Existence de solution

Descente
Exemple






18



Existence de solution

Descente



Donc le système nadmet pas de solution pour b 11



19




(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



20



Analyse des itérations

(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



21



Analyse des itérations

(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



22



Analyse des itérations

(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



23



Analyse des itérations

(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



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Analyse des itérations

(1)
(2)

(3)


itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante
(1) et (2) finie finie Dépend de (1) et (2)
(3) - 8 8 Dépend de (3)
(1) et (3) - 8 finie Dépend de (3)
(2) et (3) finie 8 Dépend de (3)
(1) - 8 finie Arrêt de la descente
(2) finie 8 Arrêt de la descente



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Le programme Scilab développé comprend quatres
parties


un programme principal  Optim 
un sous-programme  elimination 


un sous programme  remontee 
un sous programme  affichage 

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Partie2 Rappels les Réseaux de Petri
27






Un réseau de Pétri est un moyen de

• Modélisation du comportement des systèmes à
  événements discrets

• Description des relations existantes entre des
  conditions et des événements

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29










30
Partie 3
APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS
31
Modéliser les graphes dÉvénements Temporisés
sous forme algébrique simplifiée Ax b
Ensuite appliquer Fourier-Motzkin pour tracer les
trajectoires temporelles .
32
La forme algébrique simplifiée Ax b sobtient
en dupliquant les places qui contiennent plus
dun jeton.
Cela se fait au prix dune extension du vecteur
détat x(k)
33
Modèle algébrique
34
Modèle algébrique
35
Modèle algébrique
exemple
Description aux dateurs , algèbre (max,)
36
Modèle algébrique
exemple
Description aux dateurs , algèbre (max,)
Description aux dateurs , algèbre ordinaire
37
Modèle algébrique
exemple
38
Modèle algébrique
Forme générale
Forme générale
39
Un système dinégalités linéaires de la forme Ax
b est dit sup-monotone (respectivement
inf-monotone) si chaque ligne de la matrice A a
au maximum un élément strictement positif
(respectivement strictement négatif)
Nous avons montré quun graphe dÉvénements
Temporisés modélisé sous forme Ax b est un
système inf- monotone
40
Applications

exemple
(1)
(2)
(3)
41
Applications

On va représenter la sortie y(k), k 1 , 10.
Pour cela, on prend lentrée sur un lhorizon 1
10
exemple
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
u(k) 28 28 67 76 76 115 124 124 172 8
42
Applications

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1(k) 30 30 69 78 78 117 126 126 174 8
x2(k) 4 34 34 73 82 82 121 130 130 178
exemple
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(k) 12 42 42 81 90 90 129 138 138 186
43
Conclusion et perspectives
44
Nous avons développé un programme Scilab basé sur
lalgorithme de Fourier-Motzkin qui

• teste lexistence de solution pour les systèmes
  linéaires Ax b.

• calcule une solution quelconque des systèmes
  linéaires Ax b.

• Maximise ou minimise une fonction objective sous
  Ax b.

• calcule les trajectoires temporelles des graphes
  dévénements.

45
Le programme développé peut être utiliser pour

• résoudre les inégalités aux compteurs

• la commande des systèmes linéaires

• le calcul du taux de production

46
Merci de votre attention