Pythagore

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Pythagore
La géométrie des nombres
Vers 569à 475
Montage préparé par
André Ross Professeur de mathématiques Cégep de
Lévis-Lauzon
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Notes biographiques
Pythagore est né vers 569 à Samos.
Samos est une île de la mer Égée située près de
Milet.
Pythagore est mort vers 475.
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Notes biographiques
On admet généralement que Pythagore fut lélève
de Thalès et de son disciple Anaximandre avant
dentreprendre de nombreux voyages,
particulièrement en Égypte et à Babylone.
À son retour à Samos, lîle est sous la
domination du tyran Polycrate et Pythagore décide
de sinstaller à Crotone en Italie du sud où il
fonde une communauté qui tient à la fois de la
secte et de lacadémie.
On y étudie la philosophie, les mathématiques et
les sciences naturelles. Les membres de lÉcole
vivent en communauté et gardent secret les
enseignements reçus et leurs découvertes, il est
donc difficile de connaître les contributions de
Pythagore et celles de ses disciples.
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Crotone, Italie du sud
-
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Les nombres
Lintérêt des pythagoriciens pour les nombres et
la géométrie leur vient probablement de
lastronomie. À lépoque de Thalès, les
principales constellations étaient déjà connues.
Pythagore qui sy intéressait beaucoup avait
observé que chaque constellation présente deux
caractéristiques  le nombre détoiles quelle
comporte et la figure géométrique formée par ces
étoiles.
Cette constatation était une motivation
suffisante pour sadonner à létude des nombres
et des figures géométriques. Comme chaque
constellation a un nombre qui lui est associé,
chaque objet doit être associé à un nombre qui
lui est propre. Cest ce quexprime le
pythagoricien Philolaos de Crotone en disant
Toute chose a un nombre cest pourquoi il est
impossible quune chose sans nombre puisse être
conçue ou connue.
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Géométrie, nombre et matière
Selon Aristote, larithmétique, la géométrie et
la physique étaient un même champ de connaissance
pour les pytha-goriciens.
Un point géométrique, un grain de matière et
lunité arithmétique constituaient un même
concept. Les nombres étaient représentables par
des agencements géométriques de points et ces
agencements permettaient den déduire les
propriétés.
La doctrine pythagoricienne, telle que nous la
décrit Aristote, repose sur la conviction que
lUnivers est entièrement régi par les nombres
entiers. Les pythagoriciens auraient été
convaincus quen découvrant les lois numériques
qui gouvernent le monde, ils pourraient prétendre
au divin et à limmortalité.
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Géométrie, nombre et matière
Dans leur classification des nombres, on retrouve

la monade ou unité, cest le principe
didentité
la dyade, cest le nombre deux qui est
considéré comme le premier nombre, il est pair et
féminin, cest le principe de non-contradiction
la triade, cest le nombre trois, premier
nombre impair, il est masculin
la décade ou nombre dix qui est la somme des
points de la Tetraktys.
La Tetraktys est un symbole ésotérique
fondamental pour les pythagoriciens.
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Tetraktys et base 60
Il est possible que lintérêt de Pythagore pour
la Tetraktys lui soit venu durant son séjour à
Babylone et que cet intérêt soit lié au système
de numération babylonien.
En effet, dans ce système, on utilise les
regroupements par 10 et par 6 pour former la base
soixante.
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Pairs et impairs
Lassociation point géométrique, grain de matière
et unité arithmétique a amené les pythagoriciens
à représenter les nombres par des dispositions de
points ou de cailloux.
Ils ont ainsi développé une géométrie des nombres
et en ont déterminé certaines propriétés.
En représentant les nombres par des points, il
est facile de détecter que certains sont
divisibles en deux parties égales et dautres non.
Un nombre pair est un nombre qui peut se diviser
en deux parties égales.
Un nombre impair est un nombre qui ne peut se
diviser en deux parties égales.
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Divisibilité
Les points de certains nombres peuvent être
regroupés de dif-férentes façons. Considérons le
nombre 12, par exemple.
On constate aisément que lon peut regrouper les
points en 2 paquets de 6 points, en 3 paquets de
4 points, en 4 paquets de 3 points ou en 6
paquets de 2 points. Cela illustre la notion de
divisibilité des entiers.
Définition
Un nombre entier n est divisible par un nombre
entier a sil existe un nombre entier b tel que
n a x b.
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Nombres premiers
Certains nombres échappent à toute forme de
regroupement. Il est ab-solument impossible de
faire des regroupements égaux de leurs points.
On les appelle nombres premiers. Les autres sont
appelés nombres secon-daires.
Un nombre premier est un nombre dont les points
ne peuvent se regrouper que dune seule manière.
Définition
Un nombre premier est un nombre qui nest
divisible que par lunité et par lui-même.
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Nombres triangulaires
Un nombre triangulaire est un nombre dont les
points peuvent se disposer de façon à former un
triangle.
On peut déterminer tous les nombres triangulaires
en ajoutant successivement une ligne de plus.
Cest le gnomon.
Définition
Un gnomon est la chose qui ajoutée à quelque
chose dautre, figure ou nombre, forme un tout
semblable à la chose à laquelle elle a été
ajoutée.
Les gnomons des nombres triangulaires forment une
suite de nombres, cest la suite des nombres
entiers plus grands ou égaux à 2
2 3 4 5 6
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Nombres oblongs
Un nombre oblong est un nombre dont les points
peuvent se disposer de façon à former un
rectangle ayant une colonne de plus que de
lignes.
Le gnomon dun nombre oblong est formé de la
ligne et de la colonne quil faut ajouter.
Les gnomons des nombres oblongs forment la suite
4 6 8 10
On peut facilement déterminer le ne nombre oblong
(ou nombre de rang n). En effet, il suffit de
faire le produit du nombre de lignes et du nombre
de colonne. Le nombre de lignes est n et le
nombre de colonnes est n 1. On a donc
On n(n 1), où On désigne le nombre oblong de
rang n.
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Nombres oblongs
En regroupant les points des nombres oblongs
successifs, on constate une relation intéressante
entre les nombres oblongs et les nombres
triangulaires.
Le nombre oblong de rang n est la somme de deux
nombres triangulaires de même rang.
Cette propriété permet de déterminer la forme
générale du nombre triangulaire de rang n. En
effet, en désignant par Tn le nombre triangulaire
de rang n, on a
On n(n 1) et On 2 Tn , doù 2Tn n(n 1)
E isolant Tn, on obtient
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Nombres carrés
Un nombre carré est un nombre dont les points
peuvent se disposer de façon à former un carré.
Les cinq premiers nombres carrés sont représentés
dans lillustration suivante.
En désignant par Cn le nombre carré de rang n, on
a Cn n2.
Les gnomons des nombres carrés forment la suite
des nombres impairs plus grands que 2.
3 5 7 9 11
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Nombres carrés
En regroupant les points des nombres carrés
successifs, on constate une relation intéressante
entre les nombres carrés et les nombres
triangulaires.
Le nombre carré de rang n est la somme du nombre
triangulaire de même rang et du nombre
trian-gulaire précédent.
En écriture moderne, cela signifie que Cn Tn
Tn1
Un nombre impair est un nombre qui ne peut se
diviser en deux parties égales
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Nombres pentagonaux
Un nombre pentagonal est un nombre dont les
points peuvent se disposer de façon à former un
pentagone. Les cinq premiers nombres pentagonaux
sont représentés dans lillustration suivante.
Les gnomons des nombres penta-gonaux forment la
suite des nombres 
4 7 10 13
En regroupant les points, on constate une
relation intéressante entre les nombres
pentagonaux et les nombres triangulaires.
En désignant par Pn le nombre pentagonal de rang
n, on a
Pn n 3Tn1.
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Nombres hexagonaux
Un nombre hexagonal est un nombre dont les points
peuvent se disposer de façon à former un
hexagone.
Les gnomons des nombres hexa-gonaux forment la
suite des nombres 
5 9 13
En procédant de la même façon, on a les nombres
heptagonaux, octo-gonaux et ainsi de suite.
On remarque que 1 fait partie de tous ces
ensembles de nombres, sauf les oblongs.
Cependant, les pythagoriciens ne considéraient
pas un comme un nombre mais comme le principe
didentité.
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Nombres solides
Pour les grecs, un nombre qui peut sexprimer
comme le produit de deux nombres est un nombre
plan.
Celui qui peut sexprimer comme le produit de
trois nombres est un nombre solide.
Parmi ceux-ci, on a les nombres cubiques, de la
forme n3.
Il y a dautres nombres solides qui ne sont pas
néces-sairement des produits de trois nombres.
Ainsi, on a
Les nombres pyramidaux à base triangulaire
1 3 6 10 ...
Les nombres pyramidaux à base carrée
1 22 32 ... n2 ...
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Conclusion
Pour nous, la géométrie des nombres a un aspect
cocasse. Il faut se souvenir que les grecs ne
disposaient pas dun système de numération
permettant décrire et de manipuler adéquatement
les nombres.
Il est tout à fait remarquable quils aient pu
surmonter le handicap que constituait leur
système de numération pour procéder à une étude
aussi poussée des nombres et déterminer autant de
propriétés de ceux-ci.
Létude des nombres va déboucher sur les
progressions arithmétiques et les moyennes, ou
médiétés, arithmétique, géométrique, harmonique
ainsi que sur la division en extrême et moyenne
raison dun segment de droite.
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Fin