Validation dans la classe de mathmatiques

1
Validation dans la classe de mathématiques

• Claudine Mary
• DEASS

2
Plan de la présentation

• Validation en mathématiques
• Cadres danalyse de lactivité de lélève et de
  lenseignant
• Situations de validation

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Validation en mathématiques

• En conclusion dune résolution de problème, pour
  vérifier une procédure
• Pour sassurer davoir la bonne réponse
• Pour convaincre dun résultat
• Pour vérifier une conjecture

• Pour tester un modèle
• Dans la communauté mathématique, pour prouver
  quun énoncé est vrai et linsérer dans une
  théorie
• pour partager le savoir

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Différents enjeux vérité ou vraisemblance?

• Recherche de vérité par nécessité ? preuve
  démonstration (Lakatos, Rouche, Balacheff/ Duval)

• Recherche de vraisemblance ou de pertinence ?
  argumentation pour convaincre, vérification

Schéma S. E..

• Projet mais pas forcément réussite
• Parfois on peut
• Parfois, on ne peut pas

Schéma Math
Fonctions
5
Cadre danalyse de lactivité de lélève et de
lenseignant

• Structure de leçons (Joshua et Joshua) point de
  départ expérimental / sans point de départ
  expérimental
• Niveaux de preuve chez les élèves (Balacheff)
  combien de diagonales dans un polygone?
• Deux projets au moins dans la classe de
  mathématiques (Margolinas)

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Point de départ expérimental

• Validation opétatoire implicite
• Ens. montre comment faire
• Les règles sont identifiées
• Les élèves essaient eux-mêmes la méthode
• Ils font des exercices

• Validation "par nature"
• Él. manipulent du matériel
• constatent les règles avec l'aide de l'enseignant
• essaient sur quelques exemples
• font des exercices

• Démarche de preuve
• RP
• Expérience par les élèves et conjectures
• Production de preuves et débat (expériences-tests
  et contre-exemples)
• Affinement des critères de validation et R du P

• Validation opératoire formelle
• En. montre comment faire
• Les propriétés sont identifiées
• En. démontre les propriétés
• Él. font des exercices

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Sans point de départ expérimental

• Validation opératoire implicite
• En. donne la théorie (définitions, propriétés...)
• Il donne des exemples (pour convaincre ou faire
  comprendre)
• L'élève fait des exercices

• Validation démonstrative
• Enseignement de la méthode
• Pratique de la méthode énoncé à valider

• Validation opératoire formelle
• En. donne la théorie (définitions, propriétés...)
• Il démontre les propriétés
• Les élèves font des exercices

Joshua et Joshua (1989)
8
Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

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Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Action réelle sur les objets, ostension,
opérations et concepts non différenciées, non
organisés en discours
Manuels
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Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Exemple qui fonde une procédure
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Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Les arguments se détachent de laction pour
reposer sur la formulation des propriétés en
jeu et de leurs relations
12
Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Action intériorisée avec explication des
propriétés (action mentale sur un cas général)
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Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Calcul inférentiel qui sappuie sur des
définitions ou des propriétés explicites
14
Niveaux de preuve chez les élèves
Combien de diagonales dans un polygone convexe?

• Arguments pragmatiques
• vérification sur quelques cas
• l'expérience cruciale
• l'exemple générique
• Arguments intellectuels
• lexpérience mentale
• calculs sur des énoncés

Décontexualisation Détemporalisation Dépersonnali
sation Formalisme ______ Généralisation Conceptua
lisation des connaissances exigés
Balacheff, 1988
15
Deux projets dans la classe de mathématiques

• Théorie des situations de Brousseau ? analyse des
  situations
• Phases de conclusion phases dévaluation /
  phases de validation
• Validation - preuve / validation vérification
• Critère de validité connaissances de lélève

Margolinas, 1989
16
Critères

• Preuve
• de nécessité
• engagé suite à une quasi-certitude
• Un énoncé est formulé puis débattu
• Projet public
• Ce qui importe c'est la généralité de la
  procédure
• Quand ça ne marche pas contre-exemples ou
  contradictions

• Vérification
• de vraisemblance
• engagé suite à un doute
• Aucun énoncé nest formulé
• Projet privé
• Centration sur le résultat et le procédé (comment
  on fait)
• Quand ça ne marche pas erreur

Pentamino
devinette
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Processus, procédé et procédure de résolution

• Processus de résolution  ensemble des actions et
  des modèles daction mis en uvre temporellement
  dans la résolution de problème (dépend du sujet,
  du moment, du contexte)
• Procédé de résolution  ce qui dans le processus
  est consciemment retenu par le sujet comme ayant
  contribué à obtenir la résolution
• Procédure de résolution  méthode générale qui
  conduit au résultat.

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Techniques de vérification(pour obtenir une
information sur le résultat)

• une double résolution par une même méthode
• une double résolution par une méthode différente
• l'utilisation d'informations supplémentaires non
  nécessaires à la résolution mais qui permettent
  une vérification
• une résolution dans un autre cadre (cadre
  géométrique par exemple alors qu'on travaille
  algébriquement)
• l'utilisation de propriétés mathématiques connues
  qui confirment ou infirment le résultat

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Situations de validation Quelques considérations
générales

• Ancrage expérimental
• Fonction sociale de la preuve
• Fonctions de la preuve convaincre, faire
  comprendre!
• Quelle nécessité? Quelle rigueur?
• Résolution de problèmes de façon à ce que les
  élèves sengage dans un processus de validation
• Le recours à des preuves intellectuelles ne va
  pas de soi (Balacheff)

20
Situations de validation (Exemples)

• Arsac (1993). Initiation au raisonnement déductif
  au collège.
• Plusieurs exemples de suffisent pas à prouver
• Un dessin suffit-il à prouver?
• Comment remettre en cause les mesures sur un
  dessin? Le rectangle dEuclide
• Comment aider les élèves à remettre en cause la
  valeur de preuve dun instrument de mesure?
• Dreyfus, 1998 (cours, Université de Concordia)
  problème des angles inscrits
• Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours
  situations de généralisation

21
Quelques références clés

• ARSAC, G. (1993). Initiation au raisonnement
  déductif au collège, Presses universitaires de
  Lyon. IREM.
• BALACHEFF, N. (1988). Une étude épistémologique
  du processus de preuve en mathématiques au
  collège. Thèse présentée à l'Université National
  Polytechnique, Grenoble.
• DUVAL, R. (2005). Compréhension des
  démonstrations, développement de la rationalité
  et formation de la conscience individuelle.
  Actes du colloque du GDM, UQÀM, Montréal, pp.
  5-38.
• DUVAL, R. (1992-1993). Argumenter, démontrer,
  expliquer continuité ou rupture cognitive?
  Petit x, no 31, pp. 37-61.

22

• JOSHUA, M.-A. JOSHUA, S. (1988). Les fonctions
  didactiques de l'expérimental dans l'enseignement
  scientifique (deuxième partie), Recherche en
  Didactique des Mathématiques, 9 (1), pp 5-30.
• JOSHUA, M.-A. JOSHUA, S. (1987). Les fonctions
  didactiques de l'expérimental dans l'enseignement
  scientifique (première partie), Recherche en
  Didactique des Mathématiques, Vol. 8, no 3, pp.
  231-266.
• LAKATOS, I. (1984). Preuves et réfutations.
  Paris Hermann. Version originale (1976) Proofs
  and Refutations, the Logic of Mathematical
  Discovery. Cambridge University Press.

23

• MARGOLINAS, C. (1989). Le point de vue de la
  validation essai de synthèse et d'analyse en
  didactique des mathématiques, thèse, Université
  Joseph Fourier, Grenoble 1.
• ROUCHE, N. (1989). Prouver amener à l'évidence
  ou contrôler des implications? In Commission
  Inter-IREM Histoire et Épistémologie des
  Mathématiques, La démonstration mathématique dans
  l'histoire, Actes du 7ème colloque inter-IREM
  épistémologique et histoire des mathématiques.
  Besançon, pp 9-38.

24

• Pour compléter la bibliographie, voir
• Mary C. (2003). Les hauts et les bas de la
  validation chez les futurs enseignants des
  mathématiques au secondaire. Éditions Bande
  didactique. Publication dune thèse intitulée à
  lorigine  Place et fonction de la validation
  chez les futurs enseignants des mathématiques au
  secondaire . Thèse présentée en 1999 à
  luniversité de Montréal en vue de lobtention du
  grade de Ph. D. en éducation.

25

• Merci!

26
Vérité nécessaire / vérité contingente

• Une fonction des mathématiques est de permettre
  lanticipation des résultats dune action. Le mot
  anticipation recouvre un double mouvement la
  prédiction, et la validité de la prédiction.
• Propositions mathématiques ? apodictiques
  (nécessairement vraies), et non assertorique
  (vraies en fait)
• La découverte du caractère apodictique des
  propositions mathématiques fait partie de
  lapprentissage
• Margolinas, 1989, p. 11

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Démonstration

• Si P, on sait que P gt Q, alors Q
• Si l'on veut démontrer que A gtD, il suffit de
  construire une chaîne en partant de A
• A gt B, si on a A donc B B gt C, on a B donc C
  C gt D, on a C donc D par transitivité on peut
  conclure que A gt D.
• "A gt B", "B gt C" et "C gt D" sont des énoncés
  reconnus valides qui font le relais jusqu'à la
  conclusion.
• D est nécessairement vrai

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Perspective épistémologique

• Résolution locale d'un problème
• Niveau 1 résolution générale pour un ensemble de
  cas possibles (raisonnement inductif)
• Niveau 2 généralisation à l'aide d'une suite
  d'opérations intermédiaires, suite d'évidences
  partielles, où un discours devient nécessaire
  (pensée discursive)
• Niveau 3 preuves qui s'appuient sur des objets
  abstraits, construits, les hypothèse distinguées
  de la conclusion, les opérations permises bien
  définies (pensée hypothético-déductive) discours
  de plus en plus symbolisé
• ce qui importe est la validité des inférences
  compte-tenu des axiomes de départ et non une
  vérité unique (rigueur formelle)
  
  
• 
  Rouche (1989)

Niveaux de preuve
29
Conclusion de Rouche

• Étapes marquées par un changement non seulement
  de lunivers du sens mais par une modification du
  rapport au sens ?
• Niveaux de preuve
• À chaque étape sa forme de rigueur
• Ne pas attendre la démonstration pour avoir une
  préoccupation de rigueur

30
Schéma de la validation dans la démarche
scientifique
31
Schéma de la validation avec point de départ
expérimental en mathématiques
32
Fonction de la validation (preuve)

• Faire accepter un résultat
• Statuer et systématiser
• Expliquer et éclairer
• Convaincre
• Produire des connaissances
• Communiquer

Fonctions
33

• Theoreme 25. I- VxVyVz.x(yz) xy xz
• Proof. Induction on z. P(x) is x(yz) xy
  xz.
• 1. y 0 y N3
• 2. x(y 0) xy sub,1
• 3. xy 0 xy N3
• 4. x(y 0) xy 0 ,2, 3
• 5. x0 0 N5
• 6. x(y 0) xy x0
  sub, 5, 4
• 7. x(y z) xy xz as (ind. hyp.)
• 8. y z' (y z)' N4
• 9. x(y z') x(y z)' sub, 8
• 10. x(y z') x(y z) x N6
• 11. x(y z') xy (xz x)
  ,9, 10
• 12. x(y z') (xy xz) x
  sub, 7, 11
• 13. (xy xz) x xy (xz x)
  T2
• 14. x(y z') xy (xz x)
  ,12, 13
• 15 xz' xz x N6
• 16. x(y z') xy xz'
  sub, 15, 14
• 17. Vz.x(y z) xy xz Æ

34
(No Transcript)
35
Pour construire un carré d'aire double d'un carré
donné, il suffit de prendre pour côté du carré à
construire la diagonale du carré donné.

• En effet, soit le carré de la figure (a). Sa
  diagonale le divise en deux triangles
  isométriques que l'on peut réarranger pour en
  faire un demi-carré, comme à la figure (b). D'où
  la solution présentée à la figure (c)
• (a) (b)
  (c)

36
La somme des angles intérieurs dun triangle
En chaque nud du pavage se retrouve deux fois
chacun des angles du triangle.
37
La somme des n premiers nombres entiers positifs
S(n) est n(n1)/2.

• Pour n1, le théorème est vrai.
• Supposons qu'il est vrai pour un k quelconque.
• Alors
• S(k1) S(k) (k1)
• n(n1) / 2 (n1)
• (n1)(n2) / 2
• Donc l'énoncé est vrai pour k1 s'il est vrai
  pour k.
• Par le théorème d'induction, l'énoncé est vrai
  pour tout n.

38

• S 1 2 ... n
• S n (n-1) ... 1
• 2S (n1) (n1) ... (n1) n(n1)
• S n(n1) / 2
• C.Q.F.D.
• Hanna (1995), p. 48.

39
(No Transcript)
40
Est-ce que ces angles peuvent être inscrits dans
un cercle?
41
Validation empirique

• Règle à suivre Avant d'affirmer qu'un énoncé
  mathématique est toujours vrai, il faut attribuer
  différentes valeurs à la variable.
• Mieux vaut éviter d'attribuer aux variables les
  valeurs 0, 1 et 2. Ces nombres présentent en
  effet trop de particularités.
• Voyez vous-mêmes
• x x x
• C'est vrai si x 0, mais c'est généralement
  faux!
• x ? x x
• C'est vrai si x 0 ou 1, mais c'est
  généralement faux!

42
Problème des tables

• Élève
• Si on prend l'exemple de 3 tables, il y en a 1 à
  chaque bout, il y en a une à chaque table d'un
  côté et d'l'autre bord avec. T'imagines qu'il y
  en a 39 comme ça

Exemple générique et expérience mentale
43
2 formules ont été obtenues

• Enseignant
• On a un problème. On vérifie si ça fonctionne.
• (Il montre sur le dessin.)
• On a 1 table. Ici ça vaut 1x224. J'ai bien 4
  personnes. Ça fonctionne.
• Les élèves calculent avec lui.

• Celle-ci (1-2)x2 6
• Les élèves calculent avec lui Ça fait 4, ça
  fonctionne aussi
• Enseignant Donc ça fonctionne aussi.
• Ils vérifient ensuite pour trois tables (en se
  fiant sur le dessin au tableau qui donne 8 comme
  résultat).

44
Question de léquivalence

• Validation par lintermédiaire des réponses ?
  validation pragmatique

• En Ces deux là fonctionnent. Est-ce que ça veut
  dire la même chose?
• Élèves Oui
• En Pourquoi?
• És Parce que ça donne la bonne réponse

45
César et David

• C  Ben ça fait le truc   20 2 .
• D Moi je fais pas   20 .
• En à C. Pourquoi? Quest-ce qui te fait dire ça?
  
• C  Ben parce qui augmente à deux dizaines, deux
  dizaines cest équivalent à 20.
• D  Cest toujours 2.

• César 20-2
• David 
• 2 5
• 2 -2
• 4 3

Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours
46
C Comparaison de règles

• C  Il descend, pis il sen va à gauche. (Sur la
  grille, il descend son doigt de deux cases et
  tasse son doigt de deux cases vers la gauche. Il
  refait le geste une 2e fois. Chemin vert)
• C  Il fait ça de même. (Il fait le même trajet
  avec son doigt sur la grille, à deux reprises).
  Dans le fond, notre forme elle fait ça de même.
  (Sur la grille, il tasse son doigt de deux cases
  vers la gauche puis de deux cases vers le bas.
  Chemin rouge) lui, elle fait ça de même (Chemin
  en vert.)

C  Dans le fond, il reprend la forme 1.
(silence) Heille! Cest la même affaire que la
forme 1.
Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours
47
Argument pragmatique
C 20 2
C 18 (sous linfluence de Stella)
En Est-ce que ça fonctionne toujours pis comment
vous le savez que ça fonctionne toujours?
C Mais même si tu les fais toute ça va marcher
quand même. Parce que euh on se les disait pis
cétait ça genre que jutilisais, pis on a
utilisé peut-être une trentaine dans cette grille
là pis je les disais toute bons.
M Moi jai essayé pis ça marche () avec 2.
En Tas essayé avec deux nombres (elle rit).
48
Reconnaissance dune procédure
Lors du choix de la forme la plus difficile, C
dit  Sont toutes pareilles parce que jai pas
de problèmes de cases en tant que tel, parce que
moi jadditionne la différence entre les deux
 je fais 320 et ça va donner la réponse forme
7
R    17  ça veut dire. C  Ou plus euh,
attends peu. En  Roméo a dit   17 . C  Oui,
cest ça.
220 ou 320 exemple générique
49
Argument général
U a construit une forme qui est sensée être
difficile C dit Tu fais ça. (Il montre qu'il
n'a qu'à faire un  L  sur la forme dU) C'est
toute facile. Tu peux pas en dessiner une
compliquée.
Dégagement conscient dune procédure schématisée
par un L Seuls les aspects essentiels sont
retenus La procédure devient critère de validité
50
Le rectangle dEuclide

• Trace un rectangle ABCD tel que AB8 cm et BC
  5cm.
• Place un point E sur AC tel que AE 3 cm.
• Trace la parallèle à AD qui passe par E elle
  coupe AB en N et DC en L.
• Trace la parallèle à AB qui passe par E elle
  coupe AD en M et BC en K.
• Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est
  celui qui a la plus grande aire?

• A N B
• M K
• D L C

51
Affiches produites par les élèves

• Dessin avec mesures
• Le rectangle BENK a une aire de 8,8 cm carrés et
  MELD de 8,5 cm carrés.
• Conclusion le rectangle BENK a la plus grande
  aire. Pour vérification, on additionne toutes les
  aires du rectangle. Le résultat sera égal à 40
  cest-à-dire à laire du grand rectangle.

• Figure
• Le triangle CDA est égal au triangle CBA.
• Le triangle CLE est égal au triangle CKE.
• Le triangle EMA est égal au triangle ENA.
• Donc ENBK est égal à EMDL.

52
Jeu des devinettes

• Choisissez, sans rien dire, un nombre compris
  entre 0 et 10.
• Multipliez-le mentalement par 6
• Divisez le nombre obtenu par 3.
• Divisez le nombre obtenu par 2.
• Enlevez le nombre choisi au départ.
• Ajoutez 7.
• Retranchez 2.

Le but de lactivité est damener les élèves à
réfléchir collectivement sur la généralité
derrière la chaîne des opérations de calcul, de
construire eux-mêmes de telles chaînes et de
sengager dans un processus de validation.
53
Productions dUlysse

• a nimporte quoi a
•  Ça va marcher, tu gages? 
• Ça ne marche pas avec des X
• Tentative avec des et -
• a(25-43)-a 6
• Validation pragmatique

• Lexpression construite sert de modèles pour
  dautres
• Validation pragmatique mais
• Anticipations du succès     Ça va marcher! 

54
Productions de César et Roméo

• a x 10 ? 2 ? a
• Validation empirique
• Pas dexamen des propriétés de la chaîne
• Essai avec 962 expérience cruciale
• Un élève propose 99999999999 César mentionne
  quà la calculatrice, ça ne fonctionne pas mais
  que sur papier ça marcherait!

• Il réalise que zéro ne fonctionne pas et le
  rejette du domaine de validité.
• Roméo cherche une procédure qui permettra
  daccepter le zéro
• a1x10? 2 ? a-1

Recherche de généralité Dégagement conscient
dune procédure? Les validations restent
pragmatiques Proposition dun modèle-tests-ajustem
ent du modèle Conviction Conscience des
invariants? Pas de recherche explicite de causes?
Conscience de la généralité mais cest comme si
leurs connaissances des propriétés de la
multiplication ou de laddition nagissaient pas
comme des connaissances utiles pour valider les
procédures
55
Production de David

• En réaction à la proposition dUlysse
  a(nimporte quoi)-a
•  Tu peux pas faire au hasard !
•  Moi je te jure que ça va pas être bon. 
• David cherche à contrôler les opérations et
  trouve une expression quil sait triviale mais
  dont il est convaincu de la validité a priori.

•  Cest obligé que ce soit dur? 
• a-aa
• Il réalisera quil ne répond pas à la consigne.
• Lorsque lenseignante tente de les faire
  réfléchir sur les opérations, il envisage la
  nécessité davoir un nombre pair.

Il est le seul à envisager explicitement des
conditions nécessaires
56
Validation

• Processus de validation
• Raisonnement dont la finalité est de sassurer
  de la validité dune proposition et
  éventuellement de produire une explication
  (Balacheff, 1988)
• Argument de validation
• Moyens utilisés pour faire accepter ce résultat,
  cet énoncé ou cette procédure comme vrai ou
  plausible