Diapositive 1

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Roger Phan-Tan-Luu Université Paul Cézanne -
France
Méthodologie de la Recherche Expérimentale
2
Une mesure nous donne un résultat
Linformation ainsi obtenue doit être de bonne
qualité, pour que nous puissions, à partir de
celle-ci, prendre une décision avec un risque
minimum
Ce résultat doit nous apporter une information
qui correspond bien à linformation demandée
Utilisable
Utile
3
Cas ideal il ny a pas derreur expérimentale
Le résultat de la mesure nous donne ?
Cas normal lerreur expérimentale existe
Le résultat de la mesure ne nous donne que y
yi ?I ei
yi est une estimation de ?i
précision, justesse, exactitude, ..
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mesure associée à un modèle
mesure individuelle
Pour améliorer la qualité de linformation
obtenue à partir du modèle, en plus de la qualité
apportée par la mesure,il faudra aussi compter
avec les conditions dexpérimentations
Pour améliorer la qualité de linformation
obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais
5
mesure individuelle
Pour améliorer la qualité de linformation
obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais
Soit N essais répétés (honnêtement)
y1, y2, , yN Ymoyen ? yi/N Var (ymoyen)
s2 / N
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mesure associée à un modèle
Pour améliorer la qualité de linformation
obtenue à partir du modèle, en plus de la qualité
apportée par la mesure,il faudra aussi compter
avec les conditions dexpérimentations
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Cas normal lerreur expérimentale existe

yi ?i ei ?0 ?1 xi ei
y2 ?0 ?1 x2 e2 y1 ?0 ?1 x1 e1
(y2 - y1) / (x2 x1)
(?2 e2 - ?1 e1) / (x2 x1)
(?2 - ?1 e2 e1) / (x2 x1)
(?2 -??1) / (x2 x1) (e2 e1) / (x2 x1)
8
b1 ?1 (e2 e1) / (x2 x1)
Pour obtenir une bonne estimation de ?1   b1 ?
??1
Il faut et il suffit que (e2 e1) / (x2 x1)
? 0
  (x2 x1) doit être le plus grand possible
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yexp, 3
ycalc, 3
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L ? (yi b0 b1xi )2
Nb0 b1 ? xi ? yi
b0 ? xi b1 ? xi 2 ? yi xi
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Sxy ? yi (xi - x moyen )2 Sxx ? (xi - x
moyen )2
b1 Sxy / Sxx
b0 y moyen b1 x moyen
Var(b1) Var (Sxy / Sxx) Var (Sxy) / S2xx
Var(b1) Var (? yi (xi - x moyen )2 ) / S2xx
Var (? yi (xi - x moyen )2 ) s2 ? (xi - x moyen
)2
Var (b1 ) s2 / Sxx
Var (b0 ) s2 1/N x moyen 2 / Sxx
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REPRESENTATION VECTORIELLE Définitions
Y vecteur colonne de la réponse
expérimentales yi Y' y1, y2, yN
h vecteur colonne de la réponse théoriques h
i h ' h1, h2, .. hN
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REPRESENTATION VECTORIELLE (suite)
b vecteur colonne des coefficients du modèle
à estimer bi b ' b0 , b1 , b2 , . bp
B vecteur colonne des estimateurs bi B'
b0 , b1 , b2 , . bp
e vecteur colonne des erreurs
expérimentales ei e ' e1 , e2 , .....
eN
Notation matricielle classique
h Xb y Xb e
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METHODE DES MOINDRES CARRES
La méthode des moindres carrés ne nécessite
aucune hypothèse sur la distribution des erreurs
expérimentales
L (Y Xb ) (Y Xb )
X'X B X'Y B (X'X)-1 X'Y si det
(X'X) ? 0
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METHODE DES MOINDRES CARRES
Si la matrice (XX) nest pas singulière, nous
obtenons le vecteur des estimations B
(X'X)-1 X'Y XX matrice
dinformation (XX)-1 matrice de
dispersion
Si le modèle y Xb e est correct, B est une
estimation non biaisée de b,
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MATRICE DE VARIANCE COVARIANCE DE B Var B
(XX)-1 s2 Var B matrice de
variance-covariance de B (XX)-1 matrice
de dispersion c ij cjj
coefficient de variance
La variance de lestimateur bj est obtenue en
multipliant la variance de lerreur expérimentale
s2 par le terme diagonal correspondant cjj de la
matrice de dispersion var bj
cjj s2 covar bj , bi cji s2
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R E G R E S S I O N M UL TILINE AI R E
-
-
1
18
La variance et la covariance dun estimateur
dépendent seulement de
- la variance de l erreur expérimentale s2
- des éléments de la matrice de dispersion
(XX)-1,
donc des éléments de la matrice dinformation
(XX),
donc de la structure de la matrice
dexpériences et de la forme analytique du
modèle,
La qualité des estimateurs est indépendante de la
valeur des résultats expérimentaux (éléments du
vecteur Y),
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Un modèle ! Pourquoi faire ?
Le modèle doit nous permettre de faire, dans
tout le domaine expérimental défini, une
prévision de bonne qualité
Le modèle doit représenter au mieux lensemble
des résultats expérimentaux
critères a priori
critères a posteriori
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critères a posteriori
Quelques critères a posteriori
R2 coefficient de détermination multiple
R2 1 ? (yi ycalc,i)2 / ? (yi ymoyen)2
R2A coefficient de détermination multiple
adjusté
R2A 1 ? (yi ycalc,i)2 / (N p) / ? (yi
ymoyen)2 / (N 1)


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Analyse des résidus
Résidus
ei yi - y calc, i
analyse graphique

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ri ei / s
Résidus normés
s  écart-type de la réponse ei  résidu au
point i
Les résidus normés ont une moyenne nulle et une
variance approximativement égale à 1.
Si ?ri ? gt 3 la valeur de la réponse au
point i doit être examinée avec soin (erreur de
transcription, artéfact, validité du modèle en ce
point,)

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Student-R
Au point i y calc, i XB y
calc, i X(XX)-1XY H X(XX)-1X (hat
matrice) y calc, i HY E ei,
ei, ..., eN E Y - Ycalc E Y
XB Y HY (I - H)Y ei (1
di) yi Var (E) Var (I - H)Y (I H)
Var(Y) (I H) Var (E) s2 (I H)
Var (ei) s2 (1 di) (1 di) s2
ri ei / s?(1 - di)
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R-student
s2(i) (N p) s2 - ei2 / (1 - di) / (N - p
-1) ti ei / s2(i) ?(1 - di) si ti est très
différent de ri, alors le point i a une grande
influence sur le calcul des coefficients du modèle

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PRESS (Prediction Error Sum of Square)
On fait la régression en enlevant le point i et
en chacun des (N 1) points on calcule Y calc,
(i) au point i e (i) yi -
y calc, i
La procédure est répétée pour chaque point (i 
1,., N) e(1), e(i),
e(N)
PRESS ? e(i)2 ? ei /(1 - di)2
ri ei / s?(1 - di)
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R2Prédiction
R2 prédiction 1 PRESS / ? yi2
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critères a priori
Ces critères permettent de choisir, de
construire, un ensemble dexpériences qui nous
apporteront les informations désirées avec une
qualité acceptable.
OBJECTIFS

28
Elaborer une stratégie expérimentale
choisir une stratégie expérimentale adéquate
OBJECTIFS
29
Une expérience apporte toujours une information
Mais, cette information est-elle utile ?
Cest une droite
Est-ce une droite ?
30
Cest une droite
Dominio de validación

31
Est-ce une droite ?
N 2
N 2
N 2
Dominio de validación
Et si nous faisions 50 points ?
N 50

25
25
32
Est-ce une droite ?
N 2
N 2
N 2
Dominio de validación
N 3

Toute linformation se trouve dans la
distribution des points expérimentaux
33
Cest une droite
Dominio de validación

34
1 j n
var (b1) s2 / S (xi xmoyen)2
S (xixmoyen)2 (x1xmoyen)2
5 (xjxmoyen)2
(xnxmoyen)2
35
Critères de type II
Modéles linéaires,
Nous voulons connaître les estimations des
coefficients du modèle avec une qualité acceptable
Nous voulons connaître en nimporte quel point
du domaine expérimental dintérêt, la valeur de
la réponse étudiée avec une qualité acceptable
Facteurs d'inflation
Fonction de variance maximale
36
Critères de type II
Modéles linéaires,
Nous voulons connaître les estimations des
coefficients du modèle avec une qualité acceptable
Nous voulons connaître en nimporte quel point
du domaine expérimental dintérêt, la valeur de
la réponse étudiée avec une qualité acceptable
facteurs d'inflation
Fonction de variance maximale
37
Objectif
Le criblage des facteurs
ð rechercher rapidement, parmi un ensemble de
facteurs potentiellement influents, ceux qui le
sont effectivement dans un domaine expérimental
fixé.
Les études quantitatives des facteurs
ð étudier les effets principaux et les effets
dinteraction des facteurs.
38
Objectif
Le criblage des facteurs
Les études quantitatives des facteurs
Nous voulons connaître les estimations des
coefficients du modèle poids des
facteurs, effets principaux et effets
dintéraction,.. avec une qualité acceptable.
Facteurs dinflation
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Critères de type II
Modéles linéaires,
Nous voulons connaître les estimations des
coefficients du modèle avec une qualité acceptable
Nous voulons connaître en nimporte quel point
du domaine expérimental dintérêt, la valeur de
la réponse étudiée avec une qualité acceptable
Facteurs d'inflation
Fonction de variance maximale
40
Objectif
Les études quantitatives des réponses
Connaître en n'importe quel point du domaine
expérimental d'intérêt la valeur d'une ou
plusieurs réponses expérimentales .
Les mélanges
Connaissance d'une ou plusieurs propriétés,
dépendant de la proportion de chaque constituant
dans le mélange étudié.
41
Que voulons-nous ?
Connaître en n'importe quel point du domaine
expérimental d'intérêt la valeur d'une ou
plusieurs réponses expérimentales
Trouver, sil existe, le domaine dans lequel
toutes les réponses expérimentales respectent les
contraintes imposées par le cahier des charges
zone de compromis acceptable
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Quelles doivent être les qualités du modèle ?
Le modèle doit bien représenter le phénomène
étudié dans le domaine expérimental dintérêt
Si cela est vérifié, il doit permettre de
prévoir, en nimporte quel point de ce domaine
expérimental dintérêt, la valeur de la réponse
expérimentale étudiée avec une bonne qualité
prévisionnelle
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Que voulons nous ?
Si le modèle est vérifié, il doit permettre de
prévoir, en nimporte quel point de ce domaine
expérimental dintérêt, la valeur de la réponse
expérimentale étudiée avec la même qualité que
celle que nous aurions eue si nous avions fait
lexpérience en ce même point.
44
(No Transcript)
45
Que voulons nous ?
Si le modèle est vérifié, il doit permettre de
prévoir, en nimporte quel point de ce domaine
expérimental dintérêt, la valeur de la réponse
expérimentale étudiée avec la même qualité que
celle que nous aurions eue si nous avions fait
lexpérience en ce même point.
d Max ? 1
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Objectif
Les études quantitatives des réponses
Les mélanges
Connaître, en nimporte quel point du domaine
expérimental dintérêt, la valeur de la réponse
expérimentale étudiée avec une qualité acceptable.
Fonction de variance maximale dans tout le
domaine dintérêt dMax
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(No Transcript)
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Les expériences coûtent cher, prennent du temps,
consomment des produits, de lénergie ....
49
Il ny a aucune information dans le résultat
dune expérience !
Toute linformation se trouve dans la
distribution des points expérimentaux
50
Comment savoir si lobjectif est atteint ?
51
Description du problème
Les objectifs
Etablir la liste des réponses
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Réponse expérimentale
Qualités
pertinente, reproductible connue avec une
précision acceptable.
La réponse est un résultat et il nest pas
possible dagir directement sur sa valeur
SORTIE
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REPONSES EXPERIMENTALES
Etude dun procédé CVD tungstène
vitesse de dépôt, résistivité,
réflectance,
adhésion, recouvrement,
tension.
Optimisation de la géométrie dune boîte de
boisson résistance au choc,
quantité daluminium,
volume utile.
Fabrication dun comprimé dureté,

friabilité, indice de cohésion,
granulométrie,
rapport de transmission
Catalyse par transfert de phase
rendement de la réaction
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Comment modifier la réponse expérimentale ?
Il faut agir indirectement
Facteurs
Lexpérimentateur peut agir directement sur la
valeur que peut prendre un facteur contrôlé.
ENTREE
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Phénomène
Granulométrie
- Liquide de mouillage
Friabilité
- Temps de malaxage
Dureté
Rapport de transmission
Indice de cohésion
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Description du problème
Les objectifs
Etablir la liste des facteurs ? étudiés ?
non étudiés
Etablir la liste des réponses
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Domaine de variation des facteurs
L'ensemble des niveaux (ou états) que peut
prendre un facteur, peut être défini
en extension
tous les niveaux (ou états) sont énumérés
en compréhension
énoncé de propriétés caractéristiques
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Facteurs qualitatifs
Type de fruits secs  40 ? noisettes du
Piémont ? noisettes turques ? amandes de
Valence ? amandes de Sfax
E T U D E D U N
C H O C O L A T
Type de matières grasses  15 ? beurre de
cacao ? beurre concentré ? biscuitine ? toffita
Type de produits de chocolat  15 ?
chocolat noir ? chocolat au lait ? masse de
cacao
Type de produits / matière sèche  30 ? sucre
glace ? lactosérum ? dextrose ? farine de soja
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Les différents états que peut prendre un facteur
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DOMAINE EXPERIMENTAL DINTERET
Le domaine expérimental possible (ou domaine
d'opérabilité) est le sous-ensemble du domaine
des facteurs contenant les expériences
réalisables. Dans la pratique, ce domaine est
souvent lui-même réduit au domaine expérimental
d'intérêt dans lequel nous recherchons les
informations désirées.
Nous devons, avant toute expérimentation bien
définir sa taille, sa forme, les possibilités
d'extension, les discontinuités soupçonnées du
phénomène...
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Description du problème
Les objectifs
Etablir la liste des facteurs ? étudiés ?
non étudiés
Etablir la liste des réponses
Domaine expérimental dintérêt
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Nous devons faire des expériences
Lesquelles ?
63
Description du problème
Les objectifs
Etablir la liste des facteurs ? étudiés ?
non étudiés
Etablir la liste des réponses
Domaine expérimental dintérêt
Elaborer une stratégie
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Stratégie expérimentale
Ensemble dexpériences dont la réalisation
apporte des informations bien définies
Plan dexpériences
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Description du problème
Les objectifs
Etablir la liste des facteurs ? étudiés ?
non étudiés
Etablir la liste des réponses
Domaine expérimental dintérêt
Construire un plan dexpériences
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Elaborer une stratégie expérimentale
choisir une stratégie expérimentale adéquate
LES OBJECTIFS
Optimisation
Recherche exploratoire
Etude quantitative de facteurs
Criblage de facteurs
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l La recherche exploratoire
ð cerner le domaine expérimental, s'assurer de
la maîtrise du phénomène, choisir les grandeurs
qui serviront de réponses et contrôler la
répétabilité.
l Le criblage des facteurs
ð rechercher rapidement, parmi un ensemble de
facteurs potentiellement influents, ceux qui le
sont effectivement dans un domaine expérimental
fixé.
l Les études quantitatives des facteurs
ð étudier les facteurs retenus d'une façon plus
fine interactions possibles entre les
différents facteurs.
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l Les études quantitatives des réponses
ð Rechercher l'optimum d'une ou plusieurs
réponses expérimentales
Connaître en n'importe quel point du domaine
expérimental d'intérêt la valeur d'une ou
plusieurs réponses expérimentales .
l Les mélanges
ð formulation étude de l'influence des
proportions de plusieurs constituants sur
les manifestations d'un phénomène
physico-chimique.
Connaissance d'une ou plusieurs propriétés,
dépendant de la proportion de chaque constituant
dans le mélange étudié.