PROYECTO TTULO V

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PROYECTO TÍTULO V
MÓDULO 1 PROBABILIDAD

• PROF. JUAN L. TORRES OCASIO

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INTRODUCCIÓN

• La Universidad Interamericana de Puerto Rico,
  Recinto de Guayama, en colaboración con el
  proyecto Título V, ha desarrollado una serie de
  módulos instruccionales para cursos de
  matemática y estadística. Un módulo instruccional
  es una unidad autónoma de estudio independiente
  diseñada para individualizar y facilitar el
  aprendizaje. Es una herramienta adicional que le
  brinda al estudiante otras opciones de estudio.
  El estudiante tiene la oportunidad de aprender de
  forma individualizada.
• Antes de comenzar a estudiar los módulos debes
  contestar la pre-prueba. Es importante que pongas
  interés al contestarla.
• Te invito a que repases los temas presentados en
  los módulos y de tener dudas consulta con el
  profesor asignado al curso.

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PROPÓSITO

• Este módulo se propone ampliar las actividades
  de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a
  las matemáticas y la estadística, incluidos en el
  Proyecto Título V Cooperativo Fortaleciendo los
  logros académicos por medio de un consorcio para
  incorporar tecnología en el currículo básico. El
  proyecto está integrado por la Pontificia
  Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce
  desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo,
  Mayagüez y Guayama la Escuela de Artes Plásticas
  de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la
  Universidad Interamericana.

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PREPRUEBA

• 1. Un experimento tiene cuatro etapas, con dos
  resultados posibles en la primera etapa, cuatro
  en la segunda, tres en la tercera y dos en la
  cuarta. Cuántos resultados experimentales hay en
  el experimento?.

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PREPRUEBA

• 2. Un individuo asignó de manera subjetiva las
  siguientes probabilidades a cinco resultados en
  un experimento. P(E1) 0.20, P(E2) 0.30, P(E3)
  0.15, P(E4) 0.20, P(E5) 0.15.
• Demuestre que la asignación de probabilidades
  cumple con los requisitos de probabilidad.

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PREPRUEBA

• 3. Una muestra de tamaño n tomada de una
  población de tamaño N, para obtener datos y hacer
  inferencias sobre las características de una
  población. Suponga que tenemos una población de
  50 cuentas bancarias y que deseamos tomar una
  muestra aleatoria de cuatro para caracterizar a
  la población. Cuántas muestras aleatorias
  distintas es posible formar con cuatro cuentas.

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PREPRUEBA

• 4. Piense que un espacio muestral tiene cinco
  resultados experimentales igualmente posibles
  E1, E2, E3, E4, E5. Sean,
• A E1, E2 B E3, E4
• C E2, E3, E5
• a. determine P(A), P(B) y P(C)
• b. determine P(AUB)
• c. determine P(AnB)

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PROBABILIDAD

• La probabilidad es una medida numérica entre 0 y
  1 de la posibilidad de que ocurra un evento. Una
  probabilidad cercana a 1 indica el grado de
  certeza de que el evento ocurrirá. Mientras que
  una probabilidad cercana a 0 indica que es
  difícil que el evento ocurra.

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EXPERIMENTO

• Un experimento es cualquier proceso que produce o
  genera resultados bien definidos, como
  presentamos a continuación
• Experimento Resultados
• Lanzar una moneda cara, cruz
• Tirar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Jugar un partido ganar, perder empatar

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ESPACIO MUESTRAL

• Es el conjunto de todos los resultados
  experimentales. Un resultado experimental también
  se le conoce como punto muestral. Por ejemplo, si
  lanzamos una moneda tenemos dos resultados
  experimentales (puntos muestrales), cara o cruz.

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REGLAS DE CONTEO

• Cuando asignamos probabilidades a eventos es
  necesario conocer y contar el número de
  resultados experimentales. A continuación
  analizamos tres reglas de conteo
• Experimento de varias etapas - considere el
  experimento de lanzar dos monedas. cuántos
  resultados experimentales son posibles en este
  experimento?

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REGLAS DE CONTEO

• Este evento se puede considerar un experimento
  de dos pasos primero, lanza la primera moneda y
  el segundo lanzar la segunda moneda. Si la (A)
  representa la cara de la moneda y la (B) la cruz
  de la moneda, (A, A) denota el resultado
  experimental con una cara en la primera moneda
  lanzada y una cara en la segunda moneda lanzada.

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REGLAS DE CONTEO

• Si (S) representa el espacio muestral de lanzar
  las monedas podemos obtener lo siguiente
• S (A, A), (A, B), (B, A), (B, B)
• Así, que tenemos cuatro resultados
  experimentales.

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REGLAS DE CONTEO

• La regla de conteo para experimentos de etapas
  múltiples indica que si un experimento se puede
  describir como una sucesión de K etapas, en las
  que hay N1 resultados posibles en la primera
  etapa, N2 en la segunda, etc., la cantidad total
  de resultados experimentales es igual a (N1),
  (N2) (Nk). Si el experimento de lanzar dos
  monedas (N1 2) y luego lanzar otra (N2 2),
  podemos inferir de la regla de conteo que hay
  (2)(2) 4 resultados experimentales distintos.

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REGLAS DE CONTEO

• La segunda regla de conteo que estaremos
  analizando son las combinaciones. La regla de
  combinaciones nos permite contar la cantidad de
  resultados experimentales cuando en un
  experimento se deben seleccionar n objetos entre
  un conjunto de N objetos.

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REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES

• La cantidad de N objetos tomando n a la vez
  es
• donde N! N (N-1)(N-2).(2)(1)
• n! n (n-1)(n-2).(2)(1)
• y 0! 1
• La notación ! Significa factorial por ejemplo,
  4 factorial es 4! (4)(3)(2)(1) 24 . Por
  definición 0! 1

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REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES

• Utilizando la regla de combinaciones podemos
  calcular la probabilidad de la cantidad de
  maneras en que se pueden seleccionar 6 números
  distintos de entre un grupo de 42 para ganar la
  loto.

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REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES

• La regla de conteo para combinaciones indica que
  hay más de 5 millones de resultados
  experimentales para determinar el ganador de la
  loto.

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REGLAS DE CONTEO

• La tercera regla de conteo que analizaremos son
  las permutaciones. Ésta permite calcular el
  número de resultados experimentales al
  seleccionar n objetos de un conjunto de N
  objetos, donde es importante el orden de
  selección es importante. Las permutaciones tienen
  una estrecha relación con las combinaciones. Sin
  embargo, un experimento tiene más permutaciones
  que combinaciones.

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REGLA DE CONTEO PARA PERMUTACIONES

• El número de permutaciones de N objetos tomando n
  a la vez está dado por

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ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• En esta sección veremos como se pueden asignar
  las probabilidades a los resultados
  experimentales. Las probabilidades asignadas
  deben satisfacer dos requisitos básicos de la
  probabilidad

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REQUISITOS PARA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• 1. La probabilidad asignada a cada resultado
  experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive.
  Si denotamos con Ei el resultado experimental y P
  (Ei ) es su probabilidad, entonces este
  requerimiento se puede escribir como
• 0 P (Ei) 1 para toda i

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REQUISITOS PARA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• 2. La suma de las probabilidades para los
  resultados experimentales debe ser igual a uno
  (1). Para n resultados experimentales, este
  requerimiento se puede escribir como
• P (E1) P (E2) . P (En) 1

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REQUISITOS PARA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• Veamos como podemos demostrar que se cumplen los
  dos requisitos antes mencionados.
• Ejemplo,
• Suponga que un experimento tiene cinco
  resultados igualmente probables E1, E2, E3, E4,
  E5. Asigne probabilidades a cada evento y
  demuestre que cumple con los dos requisitos de
  probabilidad.

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REQUISITOS PARA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• P (E1) P (E2) P (E3) P (E4) P (E5)
• 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 1.00
• La asignación de probabilidad a los
• eventos es un número entre 0 y 1.
• La suma de las probabilidades es igual
• a 1.

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MÉTODOS EN LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• Para asignar valores de probabilidad a los
  resultados experimentales se usan varios métodos
• 1. Método clásico se usa cuando los resultados
  son igualmente probables. Por ejemplo, si
  lanzamos una moneda tenemos dos resultados
  igualmente probables, 0.50 que sea cara y 0.50
  que sea cruz.

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MÉTODOS EN LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• 2. Método de frecuencia relativa es apropiado
  cuando se cuenta con datos para estimar la
  proporción del tiempo en que ocurrirá el
  resultado experimental. Para explicar este método
  considere que un Gerente desea conocer si el
  nuevo producto va a ser comprado por los
  clientes. Se hace una encuesta por teléfono para
  conocer si los clientes compran o no el producto.

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ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES (CONT.)

• A continuación se presentan los resultados de la
  encuesta. Se realizaron 300 llamadas de las
  cuales 200 resultaron que comprarían el producto
  y 100 contestaron que no comprarán el producto.
  Cuál es la probabilidad de que al hacer una
  llamada el cliente comprará el producto? 200/300
  0.67 y cuál es la probabilidad de que no
  compre el producto? 100/300 0.33

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MÉTODOS EN LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

• 3. Método subjetivo - expresa el grado de
  creencia de la persona que hace el estudio, y
  depende del conocimiento que esta persona tenga
  sobre el tema. Precisamente por su carácter de
  subjetividad no se considera con validez
  científica. Con este método puede darse el caso
  de que dos personas asignen probabilidades
  distintas al mismo evento.

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EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES

• Evento un evento es un conjunto de puntos
  muestrales.
• Probabilidad de un evento la probabilidad de
  un evento es igual a la suma de las
  probabilidades de los puntos muestrales en el
  evento.

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COMPLEMENTO DE UN EVENTO

• Dado un evento llamado A se define como el
  evento formado por todos los puntos muestrales
  que no están A. El complemento de A se representa
  con A.
• La probabilidad de un evento mediante el
  complemento se describe a continuación
• al despejar por P (A) obtenemos

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UNIÓN DE DOS EVENTOS

• La unión de A y B es el evento que contiene todos
  los puntos muestrales que pertenecen a A o B, o
  ambos. La unión de A y B se representa con (A U
  B). Por ejemplo
• Sean A E1, E2, E4 y B E3, E5
• La unión de A y B se presenta como sigue
• (A U B) E1, E2, E3, E4, E5

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LEY ADITIVA

• La ley aditiva es útil cuando se tienen dos
  eventos A y B, y se desea conocer la probabilidad
  de que ocurra al menos uno de ellos. La
  probabilidad de la unión de A y B, P(AUB) es
  igual a la suma de la probabilidad de A más la
  probabilidad de B. Esto es, si los eventos A y B
  son mutuamente excluyentes.
• P(AUB) P(A) P(B)

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QUÉ SON EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES?

• Se dice que dos eventos son mutuamente
  excluyentes si no tienen puntos muestrales en
  común.
• La probabilidad de la unión de dos eventos A y B,
  empleando la ley aditiva para eventos mutuamente
  excluyentes, se obtiene como sigue
• P(AUB) P(A) P(B)

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INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

• Dados dos eventos, A y B, la intersección de A y
  B es el evento que contiene los puntos muestrales
  que pertenecen simultáneamente a A y B, y se
  representa como (A n B). Por ejemplo, Sean A
  E1, E4, E5 y
• B E2, E3, E4
• La intersección de A y B (A n B) E4

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POSPRUEBA

• Resuelve los siguientes ejercicios.
• 1. Una muestra de tamaño n tomada de una
  población de tamaño N, para obtener datos y hacer
  inferencias sobre las características de una
  población. Suponga que tenemos una población de
  50 cuentas bancarias y que deseamos tomar una
  muestra aleatoria de cuatro para caracterizar a
  la población. Cuántas muestras aleatorias
  distintas es posible formar con cuatro cuentas.

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POSPRUEBA

• 2. Piense que un espacio muestral tiene cinco
  resultados experimentales igualmente posibles
  E1, E2, E3, E4, E5. Sean,
• A E1, E2 B E3, E4
• C E2, E3, E5
• a. determine P(A), P(B) y P(C)
• b. determine P(AUB)
• c. determine P(AnB)

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POSPRUEBA

• 3. Un individuo asignó de manera subjetiva las
  siguientes probabilidades a cinco resultados en
  un experimento. P(E1) 0.20, P(E2) 0.30, P(E3)
  0.15, P(E4) 0.20, P(E5) 0.15.
• Demuestre que la asignación de probabilidades
  cumple con los requisitos de probabilidad.

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POSPRUEBA

• 4. Un experimento tiene cuatro etapas, con dos
  resultados posibles en la primera etapa, cuatro
  en la segunda, tres en la tercera y dos en la
  cuarta. Cuántos resultados experimentales hay en
  el experimento?.

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BIBLIOGRAFÍA

• Anderson, Sweeney, Williams (2004). Estadística
  para Administración y Economía . (8ª ed.).
  México Internacional Thomson