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Estudio de la estabilidad de soluciones de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Referencia bibliográfica
BIOFISICA- Procesos de autoorganización en
Biología de Francisco Montero y Federico Morán
Presentación a cargo de Victoria Gradin
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Ejemplo Proceso cinético
ki ctes. cinéticas A, B se mantienen fijas X, Y
son variablesºº
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Definiciones y conceptos básicos
Ecuación que relaciona una función y sus derivadas
Ecuación diferencial (ED)
t variable dependiente x variable
dependiente ?i parámetros que afectan a la
función f
La solución de una ED es una función x(t)
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Orden de una ED
Es el orden de la derivada de mayor orden
Orden 1
Orden 2
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Ecuación diferencial lineal
Es una ED donde la función f es lineal en la
variable x
Lineal
No lineal
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Ecuación diferencial autónoma
Se da cuando la variable dependiente, t, no
aparece de modo explícito en la función f.
Autónoma
No Autónoma
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
Dimensión 2
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Cualquier ED de orden mayor a 1 se puede
transformar en un sistema equivalente de EDs de
primer orden
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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
ED o sistemas de ED de primer orden cuyas
variables y parámetros son números reales
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Resolver el sistema de ED implica que a partir de
ciertas condiciones iniciales podamos conocer el
valor de las variables para cualquier valor del
tiempo.
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Teorema de existencia
Si las funciones fi son continuas, dadas ciertas
condiciones iniciales el sistema de EDO tiene
solución
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Teorema de unicidad
Por cualquier punto solo pasa una solución o
trayectoria.
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Orbitas, espacio o plano de fase
14
(No Transcript)
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Estabilidad de las soluciones de un sistema de EDO
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Estabilidad según Liapunov
Una solución es estable según Liapunov si las
soluciones que pasan por puntos cercanos
permanecen en los alrededores de la misma incluso
a tiempo infinito.
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Inestabilidad
Una solución es inestable si cualquier otra que
pasa por un punto muy próximo a ella se aleja de
la misma.
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Estabilidad asintótica
Una solución es asintóticamente estable si
cualquier otra que pase por un punto cercano se
le aproxima en el infinito.
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Estabilidad orbital (Válida para las soluciones
periódicas)
Una solución es orbitalmente asintóticamente
estable sí y sólo sí su órbita es asintóticamente
estable.
20
(No Transcript)
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Ciclo límite
Es una órbita periódica que ha de ser
asintóticamente estable, inestable o semiestable.
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SOLUCIONES ESTACIONARIAS
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Resolver estos sistemas y hallar sus soluciones
explícitamente en general es MUY DIFICIL!!!!
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Estados estacionarios
Son aquellas soluciones en las cuales las
variables del sistema no varían con el tiempo
x(t) x0 y(t)y0
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(No Transcript)
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Ejemplo Modelo de Lotka - Volterra
x población de presas y población de predadores
Hallamos los estados estacionarios
1) x00 y00
2) x0k3/k2 y0k1A/k2
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Qué tan estables son los estados estacionarios?
Son asintóticamente estables?
Son estables según Liapunov?
Son inestables?
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Perturbación
x(t)x0?x(t) y(t)y0 ?y(t)
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Haciendo un desarrollo de Taylor de las funciones
fx y fy y asumiendo perturbaciones pequeñas
Sistema que representa la evolución temporal de
las perturbaciones en las proximidades del estado
estacionario
30
(No Transcript)
31
Resolver este sistema es relativamente facil
porque es un sistema lineal
Jacobiano del sistema
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c1, c2, d1, d2 son ctes. que dependen de las
cond. iniciales
w1 y w2 son los valores propios de la matriz
jacobiana
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Determinación de valores propios
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(No Transcript)
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1) ?gt0 Tlt0 T2-4? ? 0
w1 y w2 son reales negativos
El estado estacionario es asintóticamente estable
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2) ?gt0 Tlt0 T2-4? lt 0
w1 y w2 son complejos con parte real negativa
FOCO ESTABLE
El estado estacionario es asintóticamente estable
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3) ?gt0 T0 T2-4? lt 0
w1 y w2 son imaginarios puros de diferente signo
CENTRO
El estado estacionario es estable según Liapunov
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4) ?gt0 Tgt0 T2-4? ? 0
w1 y w2 son reales positivos
NODO INESTABLE
El estado estacionario es inestable
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5) ?gt0 Tgt0 T2-4? lt 0
w1 y w2 son complejos con parte real positiva
FOCO INESTABLE
El estado estacionario es inestable
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6) ?lt0 T cualquiera T2-4? gt 0
w1 y w2 son reales de diferente signo
PUNTO SILLA
El estado estacionario es inestable
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CONCLUSION
La condición necesaria y suficiente para que el
estado estacionario sea asintóticamente estable
es que todas las partes reales de los valores
propios sean negativas. Basta que uno de los
valores propios tenga una parte real positiva
para que el estado estacionario sea inestable.
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Ejemplo Modelo de Lotka - Volterra
x población de presas y población de predadores
Hallamos los estados estacionarios
1) x00 y00
2) x0k3/k2 y0k1A/k2
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(No Transcript)
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1) Estado estacionario x0 y0 0
w1 y w2 son reales y de diferente signo
PUNTO SILLA
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(No Transcript)
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2) Estado estacionario x0 k3/ k2 y0 k1A/ k2
w1 y w2 son dos imaginarios puros
CENTRO