UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE
CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE
FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE
MILLAN BUITRAGO
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Leyes de Biot-Savart, Ampere
3
Unidad IX
9.1 Introducción
9.2
Objetivo General
9.3 Objetivos
Específicos
9.4 Ley de Biot-Savart para un
elemento de corriente 9.5 Ley
de Ampere
9.6 Flujo magnético

9.7 Naturaleza solenoidal del
vector campo magnético
9.8
Auto evaluación
9.9
Solucionarlo
4
9.1 Introducción
En este capitulo seguiremos describiendo las
maneras en que se producen campos magnéticos,
aprenderemos la ley de Ampere, así como, la ley
de Biot y Savart, que describen los campos
magnéticos que producen cargas en movimiento, o
simplemente la corriente eléctrica.
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9.2 Objetivo general
Emplear y utilizar de forma lógica las leyes de
Biot-Savart para determinar el campo magnético
debido a una distribución de corriente y la ley
Ampere para calcular el campo magnético producido
por un sistema simétrico..
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9.3 Objetivos específicos
Familiarizar al estudiante con el tratamiento y
determinación de campos magnéticos en solenoides
y toroides. Dotar al alumno de los principios
básicos con el fin que elabore diagramas de las
líneas del campo magnético para un conductor
largo, una espira circular de corriente, un
solenoide, etc.
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Biot, Jean Baptiste
Biot, Jean Baptiste (1774-1862), matemático,
físico y astrónomo francés, nacido en París.
Profesor de física en el Collège de France en
1800, fue elegido miembro de la Academia de
Ciencias a la edad de 29 años. Biot es conocido,
sobre todo, por sus estudios sobre la rotación
del plano de la luz polarizada a medida que ésta
se transmite por una solución líquida. Fue el
primero en utilizar el polarímetro para
determinar la naturaleza y la cantidad de
azúcares en una solución. Formuló también, junto
con el físico francés Félix Savart, la ley de
Biot-Savart que da la intensidad del campo
magnético creado por una corriente eléctrica.
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Ley de Biot y Savart
Biot y Savart, Ley de, ley que permite hallar el
campo magnético producido por una corriente
eléctrica estacionaria. A partir de esta ley se
obtuvo el campo magnético debido a una carga
móvil. Los físicos franceses Jean Baptiste Biot y
Félix Savart hallaron la relación que existe
entre la intensidad de una corriente rectilínea e
indefinida y el campo magnético creado por ella a
una distancia r. Demostraron que el módulo del
campo magnético, B, es directamente proporcional
a la intensidad de la corriente e inversamente
proporcional a la distancia r B mo I / 2pr
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vacío
y tiene un valor de 4p  10-7 weber/amperiometro.
"
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9.4 Ley de Biot-Savart para un elemento de
corriente
Consideremos un conductor que lleva una corriente
I y que genera un campo magnético B.
q
Para tal efecto escogemos un punto P que se
encuentra a una distancia r de un elemento
cualquiera de corriente I dS y que genera un
elemento de campo dB en ese punto.
La ley de Biot y Savart establece que si un
alambre conduce una corriente estable I, el campo
magnético dB en un punto P asociado a un elemento
de alambre dS tiene las siguientes propiedades.

10
(No Transcript)
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La ley de Biot y Savart puede resumirse
Donde km es una constante que es exactamente
1010-7 T-m / A. Esta constante suele escribirse
mo / 4p, mo es la constante de la permeabilidad
magnética del espacio libre
mo / 2p km 210-7 T-m / A
Þ mo 4p10-7 T-m / A
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Ejemplo.9.1 Campo magnético alrededor de un
conductor recto y delgado
Se desea encontrar el campo magnético de un
alambre conductor recto, largo y delgado que
transporta una corriente constante I en un punto
P. Supongamos que tenemos el alambre conductor
colocado a lo largo del eje x.
Seleccionamos un punto P y un elemento de
corriente cualquiera IdS que se encuentra a una
distancia r de P
Todos los elementos IdS generan un elemento de
campo dB dirigido hacia fuera de la pantalla en
P. Por tanto, sólo tenemos que determinar la
magnitud del campo en P. El elemento de campo dB
generado por un elemento de corriente IdS es
dB (mo/4p) Idx Senq / r2
q
Senq y / r Þ r y / Senq Þ r y Cscq
Cotq -x / y Þ x -
y Cotq Þ dx y (Cscq)2 dq \
dB (mo/4p) I (y Cscq2 dq) Senq / (y2 Cscq2)
dB (mo/4p)(I/y) Senq dq
Þ B (mo/2p)(I/y)
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Ejemplo 9.2
Calcule la magnitud del campo magnético a 10 cm
de un alambre recto y largo que lleva una
corriente de 2 A.
El campo magnético de un alambre recto y largo
es B (mo/2p)(I/y)
(4p10-7 Tm/A / 2p)(2 A / 0.10m)
B 4 mT
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Ejemplo.9.3 Campo magnético sobre el eje de un
lazo de corriente circular.
Consideremos un lazo circular de radio R en el
plano YZ que conduce una corriente estable I.
Sea un elemento de corriente IdS que se encuentra
a una distancia r del punto p y que genera un
elemento infinitesimal de campo magnético
dB r.
Se desea encontrar el campo magnético en un punto
axial p a una distancia x del centro del anillo.
Tomamos un elemento de corriente IdS simétrico,
que genera un campo dB r, para observar en que
eje el elemento dB se cancela.
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r (x2 R2)½
Cos q R / r
dBx (mo/4p) IdS (R/(x2 R2)½) / (x2 R2)
dBx (mo/4p)(IRdS) / (x2 R2)3/2)
Bx (moIR2) / 2(x2 R2)3/2
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Ejemplo 9.4
Calcule la magnitud del campo magnético en el
centro de un lazo de 20 cm de diámetro que lleva
una corriente circular I de 2 A
El campo magnético a una distancia x del centro
del lazo es Bx (moIR2) / 2(x2 R2)3/2 Para
encontrar el campo magnético en el centro del
lazo x 0 Þ Bx (moI) / 2R 6.28 mT
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André Marie Ampére
Ampère, André Marie (1775-1836), científico
francés, conocido por sus importantes
aportaciones al estudio de la electrodinámica. El
amperio (A), la unidad de intensidad de corriente
eléctrica toma su nombre. Su teoría
electrodinámica y sus interpretaciones sobre la
relación entre electricidad y magnetismo se
publicaron en su Colección de observaciones sobre
electrodinámica (1822) y en su Teoría de los
fenómenos electrodinámicos (1826).
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Ampère inventó la aguja astática, que hizo
posible el moderno galvanómetro Fue el primero
en demostrar que dos conductores paralelos por
los que circula una corriente en el mismo
sentido, se atraen el uno al otro, mientras que
si los sentidos de la corriente son opuestos, se
repelen.
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9.5 Ley de Ampere
Supongamos que tenemos un alambre conductor que
lleva una corriente I saliendo de la pantalla.
Las líneas de B forman círculos concéntricos
alrededor del alambre. Por simetría, la magnitud
de B es la misma en todos los puntos sobre una
trayectoria circular centrada en el
alambre. Mediante la variación de la corriente I
y de la distancia R desde el alambre, se
encuentra que B es directamente proporcional a la
corriente I e inversamente proporcional a la
distancia R desde el alambre.
La magnitud del campo magnético
B mo I / (2pR)
Þ B (2pR) mo I Se puede
interpretar que 2pR es la longitud de la
trayectoria circular alrededor del alambre, B la
componente del campo tangencial a la trayectoria
e I
la corriente a través del área limitada por la
trayectoria.
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Ampere generalizo el resultado para trayectorias
y alambres de cualquier forma. Consideremos una
trayectoria arbitraria alrededor de la corriente
que sale de la pantalla
q
q
Para un desplazamiento infinitesimal dS a lo
largo de la trayectoria, el producto dS y la
componente de B a lo largo de dS es (dS B Cosq)

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B Cosq dS
q
La suma de este producto alrededor de una
trayectoria cerrada esta dada por
q
Ley de Ampere
Si se desea usar la ley de Ampere para determinar
B, es necesario que la geometría de la I que
fluye posea la suficiente simetría para que la
integral pueda evaluarse con facilidad.
Donde I es la corriente neta que fluye a través
de la superficie encerrada por la trayectoria, el
sentido en que la integral se evalúa viene dado
por la regla de la mano derecha.
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Ejemplo 9.5
Un alambre infinito de radio R lleva una
corriente I. Halle el campo magnético a una
distancia r desde el centro del alambre para. a)
r gt R. b) r lt R
a) r gt R Las líneas del campo magnético son
concéntricas y su magnitud es la misma en todos
los puntos a una distancia r desde el centro del
alambre. Escogemos una sección transversal de
radio r que coincide con el centro del alambre
como la trayectoria de la integración. Vista de
la sección transversal.
B mo I / 2pr para r gt R
23
Un alambre infinito de radio R lleva una
corriente I. Halle el campo magnético a una
distancia r desde el centro del alambre para. a)
r gt R. b) r lt R
b) r lt R Solo una fracción de la corriente fluye
a través de la trayectoria. Esta fracción esta
dada por la relación del área encerrada por la
trayectoria al área del alambre. I / Ir p r2 /
p R2 Þ I Ir r2 / R2 Como
B mo I / 2pr Þ
B mo (Ir r2 / R2) / 2p r Þ
B mo Ir r / 2p R2
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Ejemplo. 9.6 El campo magnético de un solenoide
Un solenoide ideal tiene N vueltas por unidad de
longitud (n N/L) y lleva una
corriente I. Calcule su campo magnético.
El campo fuera de un solenoide infinito es cero.
La contribución de cada lazo al campo total
dentro del solenoide esta dirigido a lo largo del
eje, por lo que se espera que las líneas de campo
sean paralelas al eje, para aprovechar esta
simetría se escoge un rectángulo abcd como la
trayectoria de integración. .
El campo es cero a lo largo de dc, es también
cero para las partes ad y bc que se encuentran
por fuera del solenoide Dentro del solenoide B es
ad y bc, entonces, B dS 0
Si la longitud de ab es L, el numero de vueltas
es nL, entonces
BL Þ B mo I N / L Þ B mo I n
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Ejemplo 9.7
Un alambre conductor de 50 cm de largo se enrolla
en forma de solenoide en gran numero de vueltas y
tiene un campo magnético de 40 mT en su centro
producido por una corriente de 1 A. cuántas
vueltas de alambre tiene el solenoide?
El campo magnético de un solenoide en el centro
es B mo I n Þ B mo I
(N/L) Þ
N BL / mo I 15.92 vueltas
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Ejemplo 9.8 Campo magnético a lo largo del eje de
un solenoide
La magnitud del campo para una espira a lo largo
del eje x es B (moIR2) / 2(x2
R2)3/2 Por tanto, el campo neto esta dado por
la superposición de los campos de todas las
espiras. El numero de vueltas en la unidad de
longitud dx del solenoide es n (N/l) dx.
Un elemento cualquiera de campo es
dB (moIR2) / 2(x2
R2)3/2 n Þ
dB (moIR2)/2(x2 R2)3/2 (N/l)dx
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dB (moIR2)/2(x2 R2)3/2 (N/l)dx
x R Tanq Þ dx R (Secq2) dq
sustituyendo estas expresiones
B (mo I N / 2 l) (Senq2 Senq2)
Si P es un punto en un extremo de un largo
solenoide, entonces, q2 90 y q1 0 Þ B
(mo I N / 2 l) (1 0)
Si P es el punto medio de un largo solenoide,
entonces, q2 90 y q2 0
Þ B (mo I N / 2 l) (1 1)
28
Ejemplo 9.9.
Un solenoide tiene 1000 vueltas, una longitud de
80 cm y un radio de 8 cm. Si por el circula una
corriente de 2 A, calcule el campo magnético en
un punto axial localizado en el centro del
solenoide y en un extremo del solenoide?
El campo magnético a lo largo de un solenoide es
B (mo I N /
2 l) (Senq2 Senq2) en el extremo de un largo
solenoide, q2 90 y q1 0 Þ
B(mo I
(N/l) / 2)(1 0) mo I n / 2 B 1.57 mT
29
El campo magnético a lo largo de un solenoide es
B (mo I N /
2 l) (Senq2 Senq2) en el centro de un largo
solenoide, q2 90 y q1 -90 Þ
B (mo I
(N/l) / 2)(1 1) mo I n B 3.14 mT
l
B
R
30
Ejemplo 9.10 Campo magnético de una bobina
toroidal
Una bobina toroidal en forma de dona esta
enrollada compactamente en N vueltas y lleva una
corriente I. Se supone que la sección transversal
es rectangular. Encuentre la intensidad del campo
magnético dentro del toroide.
En un toroide, de sección transversal circular o
rectangular, las líneas de campo son circulares
de radio r, de modo que se escoge la trayectoria
de integración una circunferencia de radio r. Si
la trayectoria esta fuera del toroide no
encerrara una corriente neta y de la ley de
Ampere se tiene
Dentro del toroide, B es paralelo a dS y tiene la
misma magnitud en todos los puntos a lo largo de
la trayectoria circular. La corriente encerrada
es NI, entonces se tiene,
B(2pr) mo I N Þ B mo I N / (2pr)
31
(No Transcript)
32
9.6 Flujo magnético
Consideremos un elemento de área dA sobre una
superficie arbitraria.
q
Si el campo magnético en ese elemento es B,
entonces el flujo magnético a través del elemento
es
donde dA es un vector perpendicular a la
superficie cuya magnitud es igual al área dA. Por
tanto, al igual que para cualquier campo
vectorial, el flujo magnético F que atraviesa la
superficie es
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Consideremos un plano de área A colocado de
diferentes maneras y un campo magnético B que
forma un ángulo q con el vector A.
q
q
En este caso el flujo magnético es
El flujo magnético F puede ser positivo, negativo
o cero. La unidad de flujo en sistema M.K.S. es
el Weber. Ahora puede verse la razón por la cual
al vector B también se le denomina vector
densidad del flujo magnético y como su dimensión
es Weber / m2 igual a la tesla T.
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Ejemplo 9.11
En la figura una bobina cuadrada de 15 cm de lado
esta pivoteada en torno al eje y La magnitud del
campo magnético es de 0.7 T y esta a lo largo del
eje x. Si el ángulo a cambia de 60 a 30 cuál
es el cambio del flujo?
F B A cos q
q
DF B A cosqf B A cosqf
DF B A (Cosqf Cosqi) 5.76 mWeber
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Ejemplo 9.12
Supongamos que tenemos un conductor que lleva una
corriente I y que genera un campo magnético B
La magnitud del campo varia inversamente con la
distancia r. Colocamos una espira rectangular de
largo a y ancho b que se localiza a una distancia
c del alambre que conduce la corriente.
Se desea encontrar el flujo magnético total a
través de la espira.
La magnitud del campo magnético que conduce una
corriente I a una distancia r es B moI / (2pr).
Es decir, el campo varia sobre la espira. Puesto
que B es paralelo a dA el flujo se puede expresar
como
F moI a / (2p) Ln((ac)/c)
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9.7 Naturaleza solenoidal del vector campo
magnético o inducción magnética
La fuente del campo gravitacional es la masa, la
fuente y sumidero del campo eléctrico es la carga
positiva y la carga negativa respectivamente,
mientras que la fuente del campo magnético es la
carga en movimiento o el imán. Las líneas
representativas del campo gravitacional tienen un
final, mientras que las líneas de campo eléctrico
se caracterizan por ser abiertas, lo cual implica
que tienen una fuente o comienzo y un final o
sumidero. Sin embargo, en el caso de las líneas
del campo magnético la experiencia demuestra que
son cerradas no tienen fuentes ni sumideros.
Las líneas del campo magnético o inducción
magnética que caracterizan al vector campo
magnético o inducción magnética tienen carácter
solenoidal pues se cierran sobre si misma y de
este resultado se concluye la no existencia de
cargas magnéticas aisladas en la naturaleza y
constituye una de las leyes básicas del
electromagnetismo.
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Se observa que el numero de líneas que entran en
la superficie es el mismo que sale, por tanto,
podemos afirmar que a través de la superficie
cerrada arbitraria no existirá un flujo neto del
campo magnético. Una de las leyes básicas del
electromagnetismo lo constituye el hecho de la
inexistencia en la naturaleza de las cargas
magnéticas aisladas y lo cual se puede
representar según
Supongamos una región del espacio en la que
existe un campo magnético B del cual
representamos algunas líneas de campo y
consideremos dentro de esa región una superficie
hipotética cerrada que es atravesada por las
líneas de inducción magnética.
38
9 8 Auto evaluación
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Ejercicio 9.1
Un conductor en forma de un cuadrado de longitud
2l de 50 cm conduce una corriente I de 2 A .
Calcule la magnitud del campo magnético en el
centro del cuadrado.
R) B (Ö2/2)(mo I /(pl) 2.26 mT
40
Ejercicio 9.2
Un conductor de forma circular tiene un radio de
50 cm y conduce una corriente I de 2 A en el
sentido horario. Calcule la magnitud y la
dirección del campo magnético en el centro del
circulo.
R) B mo I /(2r) 400 nT
41
Ejercicio 9.3
El segmento de alambre de la figura conduce una
corriente de 2 A y el radio del arco circular es
de 5 cm . Determine la magnitud l campo magnético
en el origen.
R) B mo I /(8r) 6.28 mT
42
Ejercicio 9.4
Un lazo conductor circular de una vuelta y de 80
cm de radio lleva una corriente de 2 A.. Si el
campo magnético es de 10 mT en un punto axial.
cuál es la distancia al centro del anillo?.
R) x 0.405 m
43
Ejercicio 9.5
En un punto axial a 50 cm del centro de un
anillo. Un lazo conductor circular de una vuelta
y de 80 cm de radio lleva una corriente de 2 A
cuál será la magnitud del campo magnético en ese
punto?.
R) Bx 0.87 mT
44
Ejercicio 9.6
Un alambre infinito de radio de 2 cm lleva una
corriente .de 2 A Halle el campo
magnético a una distancia de 1 cm y 3 cm del
centro del alambre.
R) B(0.03) 20.0 mT y B(0.01) 0.8 mT
45
Ejercicio 9.7
Que corriente se requiere en los devanados de un
largo solenoide que contiene 1500 vueltas
distribuidas uniformemente a lo largo de una
longitud de 50 cm para producir en el centro del
solenoide un campo magnético de 1.5 mT de
magnitud?
R) I 397.9 mA
46
Ejercicio 9.8
cuál es el flujo magnético que atraviesa un
solenoide largo de 1000 espiras en contacto, 50
cm de longitud, un área de 10 cm2 y que lleva una
corriente de 2 A.? (considere el campo magnético
en el interior del solenoide constante)
R) F 5.03 mWeber
47
Ejercicio 9.9
Un solenoide tiene 1000 vueltas, una longitud de
80 cm y un radio de 8 cm. Si por el circula una
corriente de 2 A, calcule el campo magnético en
un punto axial localizado a 20 cm de un extremo?
B 3.02 mT
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9.9 Solucionarlo
49
S 9.1
Todos los elementos IdS generan un elemento de
campo dB dirigido hacia dentro de la pantalla en
el centro del cuadrado. Por tanto, sólo tenemos
que determinar la magnitud del campo en el centro
del cuadrado.
dB (mo/4p) (IdS Senq) / r2
r lÖ2 Cosq Senq Ö2 / 2
dB (mo/4p) (IdS Ö2/2) / 2l2
dB (Ö2/16)(mo I /(pl2)) dS
B (Ö2/16)(mo I /(pl)
8
B (Ö2/2)(mo I /(pl) 2.26 mT
50
S 9.2
Todos los elementos IdS generan un elemento de
campo dB dirigido hacia dentro de la pantalla en
el centro del circulo. Por tanto, sólo tenemos
que determinar la magnitud del campo en el
centro del circulo.
dB (mo/4p) (IdS) / r2
B (mo I /(4pr2)) 2pr
B mo I /(2r) 400 nT
51
S 9.3
dB (mo/4p) (IdS) / r2
Todos los elementos IdS del arco circular generan
un elemento de campo dB dirigido hacia fuera de
la pantalla en el origen. Por tanto, sólo tenemos
que determinar la magnitud del campo en el
origen.
B (mo I /(4pr2)) rp/2
B mo I /(8r) 6.28 mT
52
S 9.4
Bx (moIR2) / 2(x2 R2)3/2 Þ
(x2 R2)3/2 (moIR2) / 2Bx
(x2 R2) (moIR2 / 2Bx)2/3 Þ
x Ö((moIR2 / 2Bx)2/3 - R2) \
x 0.405 m
53
S 9.5
Bx (moIR2) / 2(x2 R2)3/2 0.87 mT
54
S 9.6
r lt R Þ B(0.03) mo I / 2pr
B(0.03) 20.0 mT
r gt R Þ B(0.01) mo Ir
r / 2p R2 B(0.01)
0.8 mT
55
S 9.7
B mo I n Þ B mo I N / L Þ I BL / mo N
397.9 mA
56
S 9.8
El campo magnético en el solenoide es
B mo n I mo (N/l) I
5.03 mT El flujo
magnético es F B A
5.03 mWeber
57
S 9.9
El campo magnético a lo largo de un solenoide es
B (moIN/2l) (Senq2 Senq1)
ri (x12 R2)½ 60.53 cm Þ Senq1 60 /60.53
0.99 r2 (x22 R2)½
21.54 cm Þ Senq2 20 /21.54 0.93
B 3.02 mT