Title: Sistemas Lineares
1Sistemas Lineares
6.a Aula
Transformada de Fourier
2- Decomposição de Sinais em Componentes Senoidais
- Uma técnica muito importante na área de
processamento de sinais é a análise de Fourier,
que foi criada por J. B. J. Fourier. De acordo
com essa técnica, qualquer sinal periódico pode
ser descrito como a soma de diversos sinais
senoidais.
- Considere um sinal periódico denominado onda
dente-de-serra. É possível mostrar
matematicamente que essa onda pode ser descrita
como uma soma de um número infinito de
componentes senoidais.
3- Na figura a seguir, são mostradas as três
primeiras componentes senoidais que formam o
sinal. Note que a frequência da onda
dente-de-serra é de 1 Hz. - A primeira componente senoidal tem 1 Hz, e é
denominada fundamental ou primeira harmônica. - A segunda componente tem o dobro da frequência (2
Hz), é denominada segunda harmônica. - A terceira componente tem o triplo (3 Hz) da
frequência, e é denominada terceira harmônica, e
assim por diante.
4Figura 1
5- Embora sinais periódicos em geral tenham um
número infinito de harmônicas, a partir de certa
frequência as amplitudes dessas harmônicas
tornam-se muito baixas, e podem ser desprezadas.
- Também é importante observar que, embora não seja
o caso do exemplo da Figura anterior, as
componentes senoidais podem ter uma fase
diferente de zero, sendo deslocadas em relação a
uma senóide com fase zero.
- A representação de um sinal periódico como uma
soma de componentes senoidais é denominada série
de Fourier.
6- A descrição de sinais por meio de componentes de
frequências dá origem ao conceito de espectro de
frequência.
- Nesse caso, primeiramente o sinal original é
decomposto em componentes senoidais em função da
frequência. - O espectro de amplitude do sinal, então, é um
gráfico das amplitudes das componentes senoidais
em função da frequência da componente. A Figura a
seguir ilustra o espectro de amplitude do sinal
dente-de-serra mostrado anteriormente.
7- Espectro de Frequencia do Sinal Dente de Serra
Figura 2
8- Representacao Matemática da Série de Fourier
- Segundo Fourier, para uma função periódica dada
por , com período , a função pode
ser expresa pela Equação1.
(1)
9- Representacao Matemática da Série de Fourier
- A Equação 1 pode ser rescrita na forma da Equacão
2, que é conhecida como a Série de Fourier.
Portanto, um sinal periódico com
período pode ser expresso como uma soma
de senóides com período T e suas harmônicas
(2)
- Os valores dos coeficientes e podem
ser determinados pelas Equações 3 e 4,
respectivamente.
(3)
(4)
10- Série de Fourier com coeficientes complexos
- Pode-se representar um sinal periódico ,
por meio de uma série de Fourier complexa. A
ideia básica é escrever a série de Fourier em
qualquer uma das formas complexas dada pela
Equação 5.
(5)
11- Série de Fourier com coeficientes complexos
- Deve-se ter em mente a fórmula de Euler,
representada pela Equação 6.
(6)
- Para esse caso, os coeficientes de Fourier
complexos da função são dados pela Equação 7.
(7)
12- Condições para a existência de uma série de
Fourier
- Para construir a série de Fourier de uma função ,
devem-se satisfazer as seguintes condições
- A série deve ser uniformemente convergente para
- As funções envolvidas nos cálculos devem ser
absolutamente integráveis
- A função deve ser seccionalmente
diferenciável
- Se é uma função periódica, então esta
função possui componente - e cujos
argumentos são frequências múltiplas inteiras da
frequência angular do sinal.
- A função deve possuir um número finito de
máximos ou mínimos dentro de qualquer intervalo
finito.
13Gerar um sinal na forma de uma onda quadrada, com
período . Demonstrar que a série de Fourier
é valida para a construção dessa onda
quadrada. Solução
A Figura a seguir apresenta o código MATLAB, que
gera a onda quadrada de período e suas
1ª, 3ª, 5ª, 7ª e 9ª harmônicas. A Figura 7.4
apresenta os gráficos que demonstram que a série
de Fourier é valida para a reconstrução da onda
quadrada gerada.
14(No Transcript)
15Gráfico da onda quadrada e suas harmônicas
Figura 3
16- A análise no domínio da frequência, por meio da
Transformada de Fourier, é uma ferramenta de
propósito geral usada por uma ampla variedade de
aplicações e procedimentos em muitos diferentes
campos de aplicação como medicina, ótica, física,
engenharia elétrica e mecânica.
- A Transformada de Fourier define que qualquer
forma de onda periódica no domínio do tempo, pode
ser representada por uma soma ponderada de senos
e cossenos.
- A mesma forma de onda pode então ser representada
no domínio da frequência, como um par de valores
de amplitude e fase para cada componente de
frequência.
17- O processo fundamental comum a todas as técnicas
de análise espectral é a conversão de uma
representação no domínio do tempo, por exemplo,
um sinal de corrente elétrica, em uma
representação no domínio da frequência. Isto pode
ser conseguido por meio da utilização da
Transformada de Fourier .
- Por exemplo, a eletroencefalografia (EEG) é o
estudo do registro gráfico das correntes
elétricas desenvolvidas no cérebro, realizado por
meio de sensores aplicados no couro cabeludo, na
superfície encefálica, ou até mesmo dentro da
substância encefálica.
18Figura 4 Sinal EEG capurado de um ser humano
19- Sinal do EEG após Aplicacao da Transformada de
Fourier
Sinal natural (a)
Sinal filtrado (b)
Figura 5
20- Independente da forma como o EEG é obtido, este
representa a superposição dos campos elétricos do
volume condutor, produzido por uma variedade de
geradores de correntes neurais ativos, que podem
ser registrados com a ajuda de um amplificador de
instrumentação, eletrodos com gel condutores
apropriados, filtros e demais circuitos
associados.
- A amplitude do EEG registrada na superfície do
cérebro ou córtex está entre a
e sua banda de frequência é de zero a 150 Hz.
- O sinal de EEG no domínio do tempo é transformado
para o domínio da frequência, por meio do
algoritmo da transformada rápida de Fourier -
FFT. A análise espectral decompõe o sinal de EEG
em suas componentes de frequência, neste caso
chamadas de harmônicas.
21Figura 6
Figura 7
22Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desbalanceamento - Exemplo
2º caso Massas a 90º
Massas no disco
Sinal coletado com eixo a 20 hz
Massa 1
Surge pico no espectro a 20 hz
Surge pico no espectro a 20 hz
Massa 2
Tempo Freqüência
23Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desbalanceamento - Exemplo
Comparando os espectros dos 3 sinais coletados a
20hz (1200 rpm)
Massas opostas Massas
a 90º Massas lado a lado
24Diagnóstico de falhas através de análise de
vibrações
Desalinhamento angular exemplo nº 1
Sinal característico de desalinhamento angular
com rotação de eixo 25Hz
1x RPM
2x RPM
3x RPM
25- Transformada Contínua de Fourier
- Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida
para a representação de sinais periódicos, é
possível representar também sinais não
periódicos, usando uma técnica, denominada
Transformada de Fourier.
- Na verdade, a série de Fourier é um caso especial
da Transformada de Fourier, que é capaz de
representar tanto sinais periódicos como sinais
não periódicos como uma soma de infinitas
componentes senoidais.
- Quando o sinal é não periódico, é possível
demonstrar que ele pode ser escrito como uma soma
de componentes senoidais em todas as frequências
do espectro. A transformada de Fourier
transforma, portanto um sinal no domínio do tempo
em um sinal no domínio da frequência.
26- A transformada contínua de Fourier de é
representada pela Equação 8. Geralmente, os
matemáticos utilizam a notação para
indicar a transformada contínua de Fourier.
(8)
- A transformada inversa IFFT de é determinada
pela Equação 9.
(9)
27Dada a funcao . Determine a
transformada contínua de Fourier da função. A
seguir determine a transformada inversa para
retornar a função original.
Solucao
A Figura 5 apresenta o código MATLAB (Toolbox
Symbolic Math), que determina a transformada
contínua de Fourier (linha 3). A linha 4 calcula
a transformada inversa. Os resultados são
apresentados na janela do Command Windows
28- A Figura 6 apresenta o gráfico da transformada
de Fourier da funcao .
Figura 8
29- Nesta seção, veremos algumas funções extras do
Matlab. Primeiramente, consideremos o seguinte
trecho de programa a seguir. Analise atentamente
o programa abaixo (consulte o help para as
funções que você não conhece)
Abrir File New Script
Digitar o programa
30- Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do
tempo de amostragem. A linha 2 cria uma função
senoidal (qual é a freqüência?). A linha três faz
com que a janela com o gráfico seja colocada à
frente de todas as outras. A linha 4 plota uma
senóide, como mostrado abaixo
31- O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no
programa. Para continuar o programa, o usuário
deve pressionar ltEntergt. A linha 6 utiliza o
comando randn (utilize o help para aprender sobre
este comando). Este comando gera uma seqüência de
números aleatórios com distribuição normal, com
uma linha e tantas colunas quanto for o
comprimento do vetor t. O comando lenght(t)
fornece o número de elementos de t. Observe a
plotagem do sinal de ruído
32- Para continuar o programa, mais uma vez o
usuário deve pressionar ltEntergt. - Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável
y_noise, que é o sinal senoidal mais o ruído.
Observe o resultado
Sinal senoidal ruído
33Dada a funcao ,
conhecida como função densidade de Cauchy.
Determine a transformada contínua de Fourier da
função. A seguir determine a transformada inversa
para retornar a função original. Esboce o gráfico.
Solucao
34- Gráfico da transformada contínua de Fourier da
função densidade de Cauchy.
Figura 9
35- Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
Shannon
- Para que se possa avançar um pouco mais em
direção às aplicações práticas das transformadas
de Fourier, é necessário que seja apresentado um
pouco de teoria que aborda os sistemas amostrados
e suas propriedades.
- O teorema de Nyquist-Shannon demonstra que para
que seja preservada toda a informação contida
nesse sinal, é necessário que o sinal seja
amostrado em períodos equi-espaçados no tempo de
tal forma que a frequência de amostragem seja
maior ou igual a duas vezes a frequência máxima
fc do sinal.
36- Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
Shannon
- Suponhamos que o espectro de um sinal, que
queremos amostrar, seja contínuo no tempo e tenha
banda limitada e cuja frequência máxima seja Fc,
conforme pode-se observar na Figura 10.
Figura 10 - Espectro de um sinal cuja banda está
limitada
37- Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist -
Shannon
- Se o sinal for amostrado com uma frequência de
amostragem igual a duas vezes a máxima frequência
do sinal (Fs 2 Fc), o espectro resultante
pode ser visto na Figura 11.
Figura 11 Espectro do sinal amostrado com Fs 2
Fc
38- Repare que o espectro acaba sendo reproduzido
infinitamente a cada múltiplo inteiro de Fs. Na
Figura 12 pode-se observar o efeito chamado de
aliasing, que ocorre quando a frequência de
amostragem não obedece ao critério de
Nyquist-Shannon e há uma sobreposição dos
espectros do sinal. - A consequência imediata disso é uma distorção do
conteúdo espectral. Nesse caso a frequência de
amostragem é Fs lt 2 Fc.
Aliasing,
Figura 12 Espectro decorrente de aliasing
39- Para completar a ilustração dos efeitos
decorrentes das relações entre a frequência
máxima do sinal e a frequência de amostragem,
observe na Figura 13, quando Fs gtgt 2 Fc. Na
prática, utiliza-se quando possível, uma
frequência de amostragem mínima entre oito e dez
vezes a máxima frequência do sinal.
Figura 13 Espectro resultante de uma amostragem
do sinal muito maior que Fc.
40- Para fechar esse assunto, ainda precisamos
apresentar a forma mais comum de se apresentar o
espectro de um sinal amostrado. O gráfico mostra
as frequências entre "zero" (0) e a frequência de
amostragem Fs. Fica subentendido que esse
espectro é repetido a cada Fs para cada lado do
gráfico apresentado. Confira essa representação
na Figura14.
Figura 14 Representação usual do espectro de um
sinal amostrado
41- Exercício 2 no Matlab. Considere os três trechos
de programa a seguir. Um exemplo do Teorema da
Amostragem de Nyquist/Shannon. Analise o programa
(consulte o help para as funções que você não
conhece)
42 43 44 45Série Discreta de Fourier
- Considere uma sequência xn que é periódica de
período N xn xn k.N, qualquer
k inteiro.
- Da análise de Fourier, sabemos que funções
periódicas podem ser sintetizadas como uma
combinação linear de exponenciais complexas cujas
frequências são múltiplas (ou harmônicas) da
frequência fundamental (no caso 2p/N).
- Da periodicidade no domínio da frequência da
transformada de Fourier discreta no tempo,
concluímos que existe um número finito de
harmônicos as frequências (2p/N)k, k 0, 1,
2, ...., N-1
46Série Discreta de Fourier
- Assim, a sequência periódica xn pode ser
expressa como
- onde Xk, k 0, 1, .... são chamados de
coeficientes da série discreta de Fourier
47Série Discreta de Fourier
- xn é a seqüência discreta no domínio do tempo
que descreve os valores amostrados da variável
contínua x(t) e N é o número de amostras da
seqüência da entrada.
- Observe que Xk também é uma sequência periódica
com período fundamental igual a N. Ou seja, Xk
N Xk
- As equações anteriores são a representação
discreta em série de Fourier de sequências
periódicas.
48Série Discreta de Fourier
- Por conveniência de notação, podemos chamar
Equação de Análise
Equação de Síntese
49Série Discreta de Fourier
- Encontre a representação em série discreta de
Fourier da sequência -
- xn ...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2,
3, ....
- O período fundamental da sequência é N 4.
- Por convencao sabe-se que
50Série Discreta de Fourier
51Série Discreta de Fourier no MATLAB
- é chamada de Matriz DFS NO
MATLAB.
- No MATLAB criar a funcao Xk , onde
- Criando uma funcao no MATLAB
File gt New gtFunction
52- Digite os argumentos da funcao e a salve como dfs
- Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e
poderá ser utilizada quando for chamada.
53Exercício
- Calcule a série discreta de Fourier da sequência
-
- xn ...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2,
3, ...., onde N4.
Solucao
54Série Discreta de Fourier Inversa no MATLAB
- A inversa é chamada de Matriz IDFS NO MATLAB.
- No MATLAB criar a funcao xn , onde
- Criando uma funcao no MATLAB
File gt New gtFunction
55- Digite os argumentos da funcao e a salve como
idfs
- Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e
poderá ser utilizada quando for chamada.
56Exercício
- Calcule a série discreta inversa de Fourier da
sequência - Sabendo-se que
- Xk6 -22j -2 -2-2j e N4.
Solucao
57Exemplo Considere uma sequência representando
uma onda quadrada periódica apresentada na Figura
a seguir. Calcule a série discreta de Fourier
para 20 amostras (N20) e 40 amostras. Considere
L5 o número de amostras iguais a 1.
58Solucao para N20 (amostras)
59Solucao
60Solucao para N40 (amostras)
61Solucao
62- Transformada Discreta de Fourier (DFT)
- A transformada discreta de Fourier (DFT) é
equivalente à transformada de Fourier, porém é
aplicada a sinais do tempo discretizados, ou
amostrados. É a principal ferramenta que se
utiliza em processamento digital de sinais.
- Essa transformada revela o espectro do sinal
discretizado, mostrando as senóides que compõem o
sinal original, com suas amplitudes e fases.
- A principal diferença com relação à transformada
de Fourier original é que o espectro é composto
pelo mesmo número de frequências discretas, que o
número de amostras ao qual foi aplicada a
transformada.
- Essas frequências são chamadas de raias. São como
"janelinhas" que mostram o nível de sinal, se é
que há algum, dentro dos seus limites.
63- Transformada Discreta de Fourier (DFT)
A Figura 15 apresenta uma forma de onda quadrada
discreta, com 32 amostras, destacadas como pontos
vermelhos. As 32 amostras correspondem a 2 ciclos
completos da onda.
Figura 15 Onda quadrada amostrada
64- Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Na Figura 16 pode-se observar o espectro (DFT)
correspondente as primeiras 16 amostras (1 ciclo)
no seu valor absoluto para simplificar a
visualização. Observe que nesse caso, Fs 16
Fc. O espectro revela 16 raias no total,
espelhadas em torno de Fs/2.
Figura 16 Espectro da onda quadrada calculada
com 16 amostras
65- Se for calculada a transformada discreta de
Fourier (DFT) sobre a mesma onda amostrada, porém
com 32 amostras, ou seja 2 ciclos completos da
onda, obtém-se o espectro ilustrado na Figura 17.
Repare que a distribuição das frequências se
manteve, mas o espectro possui mais raias. São 32
ao todo.
Figura 17 Espectro absoluto da onda quadrada
calculada com 2 ciclos (32 amostras)
66- Transformada Discreta de Fourier (DFT)
- Suponha que se tenha um conjunto de N amostras de
um sinal, no domínio do tempo, proveniente de um
dispositivo de aquisição de dados, aplicando-se a
DFT para essas amostras, o resultado obtido
também possui N amostras, mas agora a informação
está contida no domínio da frequência.
- Se o sinal foi amostrado a uma taxa fs , então o
intervalo entre as amostras é , que pode ser
determinada pela Equação 10. A resolução de
frequência ou passo de frequência é dado pela
Equação 11.
(10)
(11)
- Conclusão quanto mais amostras forem utilizadas
para calcular a DFT, maior a resolução em
frequência do resultado obtido.
67Dado um sinal periódico
, amostrado a 4 Hz. Calcule o espectro usando um
período simples.
Solucao
Logo
Portanto, o sinal tem 1 ciclo ou 1 período em 1
segundo.
A frequência de amostragem , implica que em 1
segundo tem-se 4 amostragens, logo o intervalo
entre amostras será
68Solucao
69Transformada Discreta de Fourier
- A DFT de uma sequência de N-pontos é dada por
- Note que Xk também é uma sequência de
N-pontos, ou seja, ela não é definida fora do
intervalo de 0 k N 1.
70Transformada Discreta de Fourier
71Transformada Discreta de Fourier
- Podemos também representar a Transformada através
da relação de Euler
72- Transformada Discreta de Fourier
- Algumas considerações adicionais que devemos
fazer quando calculamos uma DFT - Deverá ser respeitado o critério de
Nyquist-Shannon - O sinal, a ser transformado, deverá ser de banda
de frequências limitada - A transformada discreta de Fourier, pressupõe que
o sinal amostrado é necessariamente periódico.
73- Transformada Rápida de Fourier - FFT
- As transformadas rápidas de Fourier, mais
conhecidas por FFT (Fast Fourier Transforms) nada
mais são do que algoritmos para computador
desenvolvidos especialmente para realizar a
transformada discreta de Fourier de forma rápida
e eficiente. - Existem inúmeras variantes desses algoritmos,
cada um otimizando o desempenho para um tipo de
resultado diferente, que se espera obter no final
74- Transformada Rápida de Fourier - FFT
- FFT é o método computacional mais eficiente para
implementação da DFT (Discrete Fourier Transform
Transformada Discreta de Fourier). - O algoritmo foi desenvolvido por volta de 1960
por dois matemáticos, Cooley e Tukey, e consegue
executar a DFT a partir de uma série de
pontos amostrados do sinal original
(chamados de amostras) sem conhecer a função
matemática que os gerou. - A única exigência é que seja utilizado um número
de amostras do sinal original na forma de uma
potência de 2, ou seja, amostras.
75- Transformada Rápida de Fourier - FFT
- Este algoritmo consegue, a partir de combinações
realizadas entre os valores das amostras, gerar o
espectro de frequências do sinal original e
vice-versa. - A principal diferença entre a FFT e a
transformada de Fourier é que para aplicar- se a
transformada de Fourier é necessário conhecer a
função no domínio do tempo para obter-se a função
no domínio da frequência, porém quando aplica-se
a FFT basta conhecer os pontos que compõe a
função no domínio do tempo, para gerar os pontos
que compõe a função no domínio da frequência. - A FFT é uma ferramenta muito aplicada no
processamento digital de sinais, pois na maioria
dos casos a função do sinal amostrado é
desconhecida.
76- Transformada Rápida de Fourier - FFT
Exemplo
Digite o programa a seguir e Analise os
resultados
77- Transformada Rápida de Fourier - FFT
78- Transformada Rápida de Fourier - FFT
- Observe que, como o sinal xn é real, a
magnitude da resposta em frequência apresenta uma
imagem refletida.
- Assim, precisamos apenas da primeira metade dela
. Para a fase, o padrão também aparece refletido
no eixo da freqüência novamente, só precisamos
de metade da plotagem.
- Para a questão da magnitude podemos fazer
gtgt half_m 0ceil(length(X)/2) gtgt
stem(half_mfs/length(X), abs(X(half_m 1)),
'b') gtgt ylabel('magnitude') gtgt
xlabel('frequencia (Hz)') title('Magnitude da
Resposta em Frequencia')
79- Transformada Rápida de Fourier - FFT
Programa no MATLAB apenas para a primeira metade
gráfico
80- Transformada Rápida de Fourier - FFT
81Gere um sinal senoidal, com frequência de 5 Hz,
amplitude de 2 V por 3 segundos. Considere uma
amostragem a uma taxa de 60 Hz. Calcule a
transformada rápida de Fourier FFT desse sinal
e Esboce o seu gráfico.
Solucao
82- Gráfico da transformada contínua de Fourier do
sinal de 5 Hz
83Crie um sinal senoidal composto da soma das
seguintes funções x1e x2 . O sinal é corrompido
por um ruído aleatório (funcao randn do MATLAB).
Considere que o sinal é amostrado na frequência
de 1000 Hz. Determine a FFT do sinal corrompido
e esboce o seu gráfico.
Solucao
Uma das aplicações da FFT é localizar os
componentes de frequência de um sinal, corrompido
por ruído no domínio do tempo.
84Código MATLAB da solucao do exercício
85- Gráfico da transformada de Fourier do sinal
86Exercício 1 Crie um sinal composto pela soma de
três senóides de frequências distintas (exemplo
5 Hz, 10 Hz e 20 Hz) cada um com uma amplitude
característica (exemplo 2, 5 e 10) e faça a
transformada de Fourier desse sinal.
87- Referencias Bibliograficas
- http//www.embarcados.com.br/processamento-digital
-de-sinais-dsp-parte-2/
2. DFT/FFT and Convolution Algorithms - Theory
and Implementation - C.S. Burrus and T.W. Parks
(1984) 3. Discrete-Time Signal Processing - 3rd
Edition - Alan V. Oppenheim Ronald W. Schafer
(2011).