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Sistemas Lineares

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Transformada de Laplace Transformada de Laplace Transformada de Laplace Transformada de Laplace ... Document presentation format: Apresenta o na ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Sistemas Lineares


1
Sistemas Lineares
  • Prof. Dr. Cesar da Costa

3.a Aula Linearização de Sistemas e
Transformada de Laplace
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Linearização
  • Na engenharia de controle, uma operação normal de
    um sistema pode ser em torno do ponto de
    equilíbrio, e os sinais podem ser considerados
    pequenos sinais em torno do equilíbrio.
  • Entretanto, se o sistema operar em torno de um
    ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos
    forem pequenos, então é possível aproximar o
    sistema não linear por um sistema linear.
  • Este sistema linear é equivalente ao sistema não
    linear considerado dentro de um conjunto limitado
    de operações.

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Linearização
  • Neste tópico, vamos recorrer freqüentemente a
    técnicas de linearização de um sistema não-linear
    em torno de um ponto de operação. Isto permite
    que o sistema linear resultante seja analisado
    com base nas poderosas ferramentas de análise
    válidas para o caso linear.
  • Como a linearização é uma aproximação em torno de
    um ponto de operação, ela só pode levar à
    predição do comportamento do sistema em uma
    vizinhança deste ponto.
  • Nenhum outro comportamento não-local, muito menos
    o comportamento global do sistema em todo o
    espaço de operação, podem ser preditos pelo
    modelo linearizado..

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Linearização
  • O processo de linearização apresentado a seguir
    tem como base o desenvolvimento da função não
    linear em uma série de Taylor em torno de um
    ponto de operação e a retenção somente do termo
    linear.
  • A linearização de um sistema não linear supõe que
    o sistema operará próximo de um ponto de operação
    (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.

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Linearização
  • Em matemática, uma série de Taylor é uma série de
    funções da seguinte forma
  • Dito de outra forma, uma série de Taylor é uma
    expansão de uma função analítica f(x) na
    vizinhança de um ponto xa.
  • A constante a é o centro da série, que pode ser
    encarada como uma função real ou complexa. Se
    a0, a série também é chamada de série de
    Maclaurin.

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Linearização
  • Considere que o sistema abaixo opere próximo ao
    ponto de operação (P.O.)
  • Expandindo yf(x) em uma série de Taylor em torno
    deste ponto, teremos

Sendo P.O.(xo,yo), que é o ponto de operação do
sistema.
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Linearização
  • A suposição de que o sistema não linear irá
    operar em torno do P.O., implica que x ficará
    próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando
    elevado a 2, 3, ... será menor ainda, portanto

Substituindo (2) em (1) tem-se
8
Linearização
Interpretação geométrica
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Linearização
Exemplo 1 Linearize a função que corresponde ao
momento (torque) que a massa m faz com relação ao
ponto P do pêndulo simples abaixo. Linearizar
em torno do ponto de operação .
 
 
10
Linearização
Neste caso, o ponto de operação é .
 
Expandindo na série de Taylor, temos
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Linearização
Logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se
Que é um modelo linear.
12
Linearização
 
A figura a seguir mostra que para
o sistema linearizado é uma boa aproximação
do sistema não linear. Este gráfico foi feito com
a utilização do MATLAB.
13
Linearização
14
Linearização
Exemplo 2 Linearize a função
em torno do P.O. io 1A. Faca o gráfico
(interpretacao geomérica). .
Solucao
(1)
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Solucao
e
Logo
Entao
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Interpretacao grafica
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Transformada de Laplace
  • A Transformada de Laplace é uma importante
    ferramenta para a resolução de equações
    diferenciais. Também é muito útil na
    representação e análise de sistemas.
  • É uma transformação que faz um mapeamento do
    domínio do tempo para o domínio S com s sjw
    (complexo).
  • A transformada de Laplace existe em duas
    variantes unilateral e
  • bilateral. A transformada unilateral é útil na
    análise de sistemas com
  • condições iniciais. A transformada bilateral tem
    uso para estudar certas características dos
    sistemas.
  • A principal aplicação da transformada de Laplace
    no âmbito da engenharia é a análise de resposta
    temporal e da estabilidade de sistemas.

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Transformada de Laplace
Definição
19
Transformada de Laplace
Definição
20
Transformada de Laplace
Definição
21
Transformada de Laplace
Definição
  • Condições de existência
  • Para que a transformada de Laplace exista é
    necessário que a integral
  • convirja. Isto é garantido se

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Transformada de Laplace
Definição
  • Região de Convergência (ROC)

Valores de s para os quais a transformada de
Laplace converge. Sendo esta condição expressa em
termos da parte real de ssjw, ela estabelece
como região de convergência um semi plano à
direita de uma reta vertical
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Transformada de Laplace
  • Como os sistemas de controle são altamente
    complexos e largamente interconectados, o uso da
    Transformada de Laplace permite a manipulação de
    equações algébricas ao invés de equações
    diferenciais.
  • Então os sistemas dinâmicos são modelados por
    equações diferenciais, primeiramente aplica-se a
    Transformada de Laplace, depois projeta-se o
    controlador no domínio s e finalmente
    implanta-se o controlador e analisa-se o
    resultado obtido no domínio do tempo.

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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
  • Vantagens
  • As vantagens da transformada de Laplace sobre a
    trasformada de Fourier
  • Fornece mais informação sobre sinais e sistemas
    que também podem ser analisados pela transformada
    de Fourier
  • Pode ser aplicada em contextos em que a
    transformada de Fourier não pode, por exemplo, na
    análise de sistemas instáveis.
  • Desvantagens
  • A análise por Laplace de sistemas é extremamente
    útil, no entanto seu uso é mais complicado que a
    análise de Fourier quando se tratando de sinais.

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Transformada de Laplace
  • O método da Transformada de Laplace é uma
    ferramenta que proporciona a solução de equações
    diferenciais lineares com coeficientes
    constantes, de maneira sistemática e
    relativamente simples.
  • Uma classe importante do controle se restringe à
    resolução desses tipos de equações. Portanto,
    destaca-se a importância da Transformada de
    Laplace no controle de processos.
  • A transformação de uma equação diferencial
    resulta em uma equação algébrica, onde a variável
    s substitui a variável independente (como o
    tempo, t).

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Transformada de Laplace
28
Transformada Inversa de Laplace
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Transformada de Laplace
Exemplo Uma função que será muito utilizada
neste curso é a função degrau. Iremos calcular
sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função
degrau é o fechamento da chave S no circuito
abaixo
OBS. É suposto que os capacitores estão
descarregados e os indutores tem corrente nula no
instante inicial t 0 s.
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Transformada de Laplace
31
Transformada de Laplace
32
Transformada de Laplace
33
Transformada de Laplace
34
Transformada de Laplace
  • Esta tabela reúne as principais transformadas
    utilizadas neste curso. Note que genericamente
    F(s) é a razão entre dois polinômios

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Propriedades das Transformadas de Laplace
2. A Transformada de Laplace tem a propriedade
singular de transformar a operação de
diferenciação em relação a t em uma multiplicação
por s (Diferenciacao no domínio do tempo)
(1)
(2)
(3)
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Polos e Zeros
Obs. foi visto na tabela das transformadas de
Laplace que genericamente F(s) é composto pela
divisão de dois polinômios em s, ou seja
Exemplo
Neste exemplo temos
  • As raízes do numerador são chamadas de zeros e
    as raízes do denominador são chamadas de polos.

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Teorema do Valor Inicial e Valor Final
38
Teorema do Valor Inicial e Valor Final
39
Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Obs. mais adiante neste curso, veremos que um
sistema que tem todos os polos com parte real
negativa, é dito estável.
Exemplo 1
40
Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Solucao
41
Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
  • Obs. o T.V.F. permite obter o valor de regime de
    um sistema tendo-se apenas a sua transformada de
    Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento
    da função temporal (f(t)). Ou seja, o T.V.F. é
    útil para determinar o valor de regime de f(t),
    conhecendo-se apenas F(s).

Exemplo 2 f(t) sen(t)
42
Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
43
Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
44
Teorema do Valor Inicial e Valor Final
Exemplo 3
Solucao
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Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 1 Determinar a transformada de Laplace
da função impulso. Uma ideia de
entrada impulsiva é o choque do taco de
baseball com a bola, o choque tem uma grande
intensidade e curtíssima duração.
Graficamente
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Cálculo Transformada de Laplace
47
Cálculo Transformada de Laplace
Solucao
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Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 2
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
Solucao
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Usando o MATLAB para calcular a Transformada de
Laplace
  • Utiliza-se o comando laplace , para achar a
    Transformada de Laplace de uma funcao no domínio
    do tempo.

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Exercícios Transformada de Laplace com MATLAB
Exemplo 3
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
51
Lista de Exercícios
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