Title: Sistemas Lineares
1Sistemas Lineares
3.a Aula Linearização de Sistemas e
Transformada de Laplace
2Linearização
- Na engenharia de controle, uma operação normal de
um sistema pode ser em torno do ponto de
equilíbrio, e os sinais podem ser considerados
pequenos sinais em torno do equilíbrio. - Entretanto, se o sistema operar em torno de um
ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos
forem pequenos, então é possível aproximar o
sistema não linear por um sistema linear. - Este sistema linear é equivalente ao sistema não
linear considerado dentro de um conjunto limitado
de operações.
3Linearização
- Neste tópico, vamos recorrer freqüentemente a
técnicas de linearização de um sistema não-linear
em torno de um ponto de operação. Isto permite
que o sistema linear resultante seja analisado
com base nas poderosas ferramentas de análise
válidas para o caso linear.
- Como a linearização é uma aproximação em torno de
um ponto de operação, ela só pode levar à
predição do comportamento do sistema em uma
vizinhança deste ponto. - Nenhum outro comportamento não-local, muito menos
o comportamento global do sistema em todo o
espaço de operação, podem ser preditos pelo
modelo linearizado..
4Linearização
- O processo de linearização apresentado a seguir
tem como base o desenvolvimento da função não
linear em uma série de Taylor em torno de um
ponto de operação e a retenção somente do termo
linear. - A linearização de um sistema não linear supõe que
o sistema operará próximo de um ponto de operação
(P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.
5Linearização
- Em matemática, uma série de Taylor é uma série de
funções da seguinte forma
- Dito de outra forma, uma série de Taylor é uma
expansão de uma função analítica f(x) na
vizinhança de um ponto xa.
- A constante a é o centro da série, que pode ser
encarada como uma função real ou complexa. Se
a0, a série também é chamada de série de
Maclaurin.
6Linearização
- Considere que o sistema abaixo opere próximo ao
ponto de operação (P.O.)
- Expandindo yf(x) em uma série de Taylor em torno
deste ponto, teremos
Sendo P.O.(xo,yo), que é o ponto de operação do
sistema.
7Linearização
- A suposição de que o sistema não linear irá
operar em torno do P.O., implica que x ficará
próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando
elevado a 2, 3, ... será menor ainda, portanto
Substituindo (2) em (1) tem-se
8Linearização
Interpretação geométrica
9Linearização
Exemplo 1 Linearize a função que corresponde ao
momento (torque) que a massa m faz com relação ao
ponto P do pêndulo simples abaixo. Linearizar
em torno do ponto de operação .
10Linearização
Neste caso, o ponto de operação é .
Expandindo na série de Taylor, temos
11Linearização
Logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se
Que é um modelo linear.
12Linearização
A figura a seguir mostra que para
o sistema linearizado é uma boa aproximação
do sistema não linear. Este gráfico foi feito com
a utilização do MATLAB.
13Linearização
14Linearização
Exemplo 2 Linearize a função
em torno do P.O. io 1A. Faca o gráfico
(interpretacao geomérica). .
Solucao
(1)
15Solucao
e
Logo
Entao
16Interpretacao grafica
17Transformada de Laplace
- A Transformada de Laplace é uma importante
ferramenta para a resolução de equações
diferenciais. Também é muito útil na
representação e análise de sistemas. - É uma transformação que faz um mapeamento do
domínio do tempo para o domínio S com s sjw
(complexo). - A transformada de Laplace existe em duas
variantes unilateral e - bilateral. A transformada unilateral é útil na
análise de sistemas com - condições iniciais. A transformada bilateral tem
uso para estudar certas características dos
sistemas. - A principal aplicação da transformada de Laplace
no âmbito da engenharia é a análise de resposta
temporal e da estabilidade de sistemas.
18Transformada de Laplace
Definição
19Transformada de Laplace
Definição
20Transformada de Laplace
Definição
21Transformada de Laplace
Definição
- Condições de existência
- Para que a transformada de Laplace exista é
necessário que a integral - convirja. Isto é garantido se
22Transformada de Laplace
Definição
- Região de Convergência (ROC)
Valores de s para os quais a transformada de
Laplace converge. Sendo esta condição expressa em
termos da parte real de ssjw, ela estabelece
como região de convergência um semi plano à
direita de uma reta vertical
23Transformada de Laplace
- Como os sistemas de controle são altamente
complexos e largamente interconectados, o uso da
Transformada de Laplace permite a manipulação de
equações algébricas ao invés de equações
diferenciais. - Então os sistemas dinâmicos são modelados por
equações diferenciais, primeiramente aplica-se a
Transformada de Laplace, depois projeta-se o
controlador no domínio s e finalmente
implanta-se o controlador e analisa-se o
resultado obtido no domínio do tempo.
24Transformada de Laplace
25Transformada de Laplace
- Vantagens
- As vantagens da transformada de Laplace sobre a
trasformada de Fourier - Fornece mais informação sobre sinais e sistemas
que também podem ser analisados pela transformada
de Fourier - Pode ser aplicada em contextos em que a
transformada de Fourier não pode, por exemplo, na
análise de sistemas instáveis. - Desvantagens
- A análise por Laplace de sistemas é extremamente
útil, no entanto seu uso é mais complicado que a
análise de Fourier quando se tratando de sinais.
26Transformada de Laplace
- O método da Transformada de Laplace é uma
ferramenta que proporciona a solução de equações
diferenciais lineares com coeficientes
constantes, de maneira sistemática e
relativamente simples.
- Uma classe importante do controle se restringe à
resolução desses tipos de equações. Portanto,
destaca-se a importância da Transformada de
Laplace no controle de processos.
- A transformação de uma equação diferencial
resulta em uma equação algébrica, onde a variável
s substitui a variável independente (como o
tempo, t).
27Transformada de Laplace
28Transformada Inversa de Laplace
29Transformada de Laplace
Exemplo Uma função que será muito utilizada
neste curso é a função degrau. Iremos calcular
sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função
degrau é o fechamento da chave S no circuito
abaixo
OBS. É suposto que os capacitores estão
descarregados e os indutores tem corrente nula no
instante inicial t 0 s.
30Transformada de Laplace
31Transformada de Laplace
32Transformada de Laplace
33Transformada de Laplace
34Transformada de Laplace
- Esta tabela reúne as principais transformadas
utilizadas neste curso. Note que genericamente
F(s) é a razão entre dois polinômios
35Propriedades das Transformadas de Laplace
2. A Transformada de Laplace tem a propriedade
singular de transformar a operação de
diferenciação em relação a t em uma multiplicação
por s (Diferenciacao no domínio do tempo)
(1)
(2)
(3)
36Polos e Zeros
Obs. foi visto na tabela das transformadas de
Laplace que genericamente F(s) é composto pela
divisão de dois polinômios em s, ou seja
Exemplo
Neste exemplo temos
- As raízes do numerador são chamadas de zeros e
as raízes do denominador são chamadas de polos.
37Teorema do Valor Inicial e Valor Final
38Teorema do Valor Inicial e Valor Final
39Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Obs. mais adiante neste curso, veremos que um
sistema que tem todos os polos com parte real
negativa, é dito estável.
Exemplo 1
40Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Solucao
41Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
- Obs. o T.V.F. permite obter o valor de regime de
um sistema tendo-se apenas a sua transformada de
Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento
da função temporal (f(t)). Ou seja, o T.V.F. é
útil para determinar o valor de regime de f(t),
conhecendo-se apenas F(s).
Exemplo 2 f(t) sen(t)
42Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
43Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
44Teorema do Valor Inicial e Valor Final
Exemplo 3
Solucao
45Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 1 Determinar a transformada de Laplace
da função impulso. Uma ideia de
entrada impulsiva é o choque do taco de
baseball com a bola, o choque tem uma grande
intensidade e curtíssima duração.
Graficamente
46Cálculo Transformada de Laplace
47Cálculo Transformada de Laplace
Solucao
48Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 2
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
Solucao
49Usando o MATLAB para calcular a Transformada de
Laplace
- Utiliza-se o comando laplace , para achar a
Transformada de Laplace de uma funcao no domínio
do tempo.
50Exercícios Transformada de Laplace com MATLAB
Exemplo 3
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
51Lista de Exercícios