Diapositive 1

1
4 décembre 2009
Modélisation des connaissances des élèves au sein
dun logiciel éducatif dalgèbre. Etude des
erreurs stables inter-élèves et intra-élève en
termes de praxis-en-acte.
Marie-Caroline CROSET
Thèse préparée au sein de léquipe
MeTAH Laboratoire dInformatique de
Grenoble Encadrée par Jean-François NICAUD
Hamid CHAACHOUA
2
Plan

• Contexte et problématique
• Présentation du modèle
• Mise en uvre du modèle
• Praxis-en-acte
• Technologie-en-acte
• Conclusion et perspectives

3
Contexte

• Projet Aplusix

• Pas de calcul non limité
• Enregistrement des actions

• Axe modélisation des connaissances des élèves

Comment modéliser les connaissances des élèves à
partir des traces recueillies dans cet EIAH
dalgèbre ?
4
Contexte
Quel modèle de lélève ?
Statut des erreurs
Domaine mathématique
pour un diagnostic automatique ?
Comment modéliser les connaissances des élèves à
partir des traces recueillies dans cet EIAH
dalgèbre ?
5
Contexte
Comment modéliser les connaissances des élèves à
partir des traces recueillies dans cet EIAH
dalgèbre ?
Domaine mathématique
Quel modèle de lélève?
Domaine mathématique
Quel modèle de lélève?
Statut des erreurs
pour un diagnostic automatique ?
pour un diagnostic automatique ?
6
Prise en compte des erreurs
Lerreur reflet dune connaissance

• Persistante et systématique
• Brousseau, 1983, Brown and Van Lehn, 1980
• Non isolée
• Vergnaud, 1991, Sleeman et al., 1989

7
Problématique
Comment décrire lactivité algébrique de lélève,
quelle soit correcte ou erronée en tenant compte
de liens éventuels entre des erreurs
régulièrement diagnostiquées ?
Comment modéliser les connaissances des élèves à
partir des traces recueillies dans cet EIAH
dalgèbre ?
Statut des erreurs
Domaine mathématique
Quel modèle de lélève ?
Statut des erreurs
Domaine mathématique
pour un diagnostic automatique ?
Calcul littéral
Collège
8
Problématique
Comment décrire lactivité algébrique de lélève,
quelle soit correcte ou erronée en tenant compte
de liens éventuels entre des erreurs
régulièrement diagnostiquées ?
Quel modèle de lélève ?
Quel modèle de lélève ?
Statut des erreurs
Domaine mathématique
Domaine mathématique
pour un diagnostic automatique ?
Calcul littéral
Un même cadre théorique Un même modèle
Collège
9
Modèle pour les activités du calcul littéral
Quelle définition ? Quelle pratique ? Quelles
attentes ?
Un cadre théorique La TAD
Un modèle le quadruplet praxéologique

• T / ? / ? / ?
• T type de tâches
• ? technique
• ? technologie
• ? théorie

Praxis
Institutionscolaire-Collège-
Logos
10
Rapport institutionnel
Analyse praxéologique
- Programmes de 4e et 3e
3 genres de tâches réduire, développer,
factoriser
- 20 manuels de 4e et 3e
Types de tâches institutionnels et organisations
mathématiques associées
Quelle granularité ?
 En une institution I donnée, à propos dun type
de tâches T donné, il existe en général une seule
technique  Chevallard, 99
Autant de types de tâches que de techniques
11
Rapport institutionnel
Développer k(ab)
Développer (ab)(cd)
Développer 6(5x)(x3)
Développer 5(x3) Développer 5x(3x) Développer
-5(x3)
Développer (5x)(x3) Développer (5x)(x-3)
6(5x15x²3x)
30x906x²18x
k(ab) ka kb
(ab)(cd) acadbcbd
(ab)(cd) acadbcbd
k(ab) ka kb
Distributivité de la multiplication sur
laddition Corps des polynômes
11
12
Rapport institutionnel
Développer k(ab)(cd)
...
Développer k(ab)
Développer (ab)(cd)
...
Développer 6(5x)(x3)
k(ab) ka kb
(ab)(cd) acadbcbd
Combinaison
Itération
13
Rapport institutionnel
Savoir visé Développer un produit de facteurs
Développer k(ab)(cd)
...
Développer k(ab)
Développer (ab)(cd)
k(ab) ka kb
(ab)(cd) acadbcbd
Itération
Combinaison
Organisations institutionnalisées
Ou non
14 Organisations Ponctuelles
3 OP
Caractérisation du rapport institutionnel relatif
à chaque genre de tâche à travers les
praxéologies mathématiques
14
Un même modèle ?
Institutionscolaire
Sujet
?
Modèle praxéologique

• OP institutionnelles

Même conformité au rapport ?
OP institutionnalisées OP non institutionnalisées
Manuels
Expérimentations

• Découpage des T

Mêmetechnique ?
OP
Calcul littéral
Variablesde contexte
Variables de contexte Caractéristiques de
lexpression algébrique
47 élèves de 3e
9 tâches de développement
Analyse a priori
29 élèves de 3e 10 élèves de 2nde
42 tâches de factorisation
Degré du facteur commun
Ostensivité du signe
15
Rapport personnel
Savoir visé Développer un produit de facteurs
OP institutionnalisées
OP non institutionnalisées
...
Développer k(ab)
Développer k(ab)(cd)
Développer k(ab)
Développer k(ab)
7(2x)
7(2x)
k(ab) ka kb
k(ab) kakb
k(ab)(cd) kakbkckd
k(ab) ka kb
Conformité distincte
Découpage distinct
Il y a des caractéristiques discriminantes à
lorigine de ce changement de comportement
Des variables de contexte algébrique
16
Un même modèle ?
Institutionscolaire
Sujet
?
Adaptation
Modèle praxéologique
Praxéologie-en-acte

• OP institutionnelles

Conformitédistincte
OP institutionnalisées OP non institutionnalisées
Expérimentations
Manuels

• Découpage des T

OP
Techniquesdistinctes
Variablesde contexte
T/t

• Décalage entre les OP institutionnelles et
  celles de lélève

Analyse a priori

• Techniques non conformes ni valides

16
17
Les praxis-en-acte
Praxis-en-acte
Regroupement de tâches autour de la mise en uvre
dune même technique identifiée chez lélève
Factoriser kakbkc
Type de tâches-en-acte
Développer k(ab)(cd)
Institutionnel non institutionnalisé
Institutionnel affiné par des valeurs de variables
Factoriser kak
Développer k(ab)
Technique-en-acte
Conforme ou non à linstitution scolaire Valide
ou non mathématiquement Non nécessairement
travaillée explicitement par linstitution
Mais quelles sont celles à considérer ?
18
Inter-Intra

• Techniques-en-acte
• des actions  stables 

Dans un groupe ?
Chez un même élève ?
Praxis-en-acteinter-élèves
Praxis-en-acte intra-élève
19
Les praxis-en-acte
Praxis-en-acte
Regroupement de tâches autour de la mise en uvre
dune même technique identifiée chez lélève
Type de tâches-en-acte
Institutionnel non institutionnalisé
Institutionnel affiné par des valeurs de variables
Technique-en-acte
Conforme ou non à linstitution scolaire Valide
ou non mathématiquement Non nécessairement
travaillée explicitement par linstitution
Affichant une certaine stabilité inter ou intra
19
20
Mise en uvre du modèle
Comment décrire lactivité algébrique de lélève,
quelle soit correcte ou erronée en tenant compte
de liens éventuels entre des erreurs
régulièrement diagnostiquées ?
Même type de tâche-en-acte ?
Prise en compte de laction
Même type de tâche-en-acte ?
ComportementInstable ?
20
21
Mise en uvre du modèle
Reconstructiondu TA
Variablesde contexte
Anaïs
Bibliothèquede règles
Analyse a priori
ProtocolesAplusix
Reconstructionde ?
22
Règles algébriques

R2 ka k ? k(a)ER_Rien
23
Règles algébriques

Bibliothèque de règles codées 100 règles
erronées 30 règles correctes
Développement Factorisation Réduction
Règles de réécriture À unification étendue
R2 ka k ? k(a)ER_Rien
23
24
Règles algébriques
règles codées
règles  didactiques 
nom ER_Somme_Monomes_meme_dg sorteDe
Somme_Monomes_SMCoef statut errone si (
(?e SousExpression ?u APourOperateur plus)
(?u argument a) (?u argument b) (lt ?a ?b)
(a MonomeEnt1Var ?ca ?v ?na) (b MonomeEnt1Var
?cb ?w ?nb) ( ?v ?w) ( ?na ?nb) (non (
?ca 0)) (non ( ?cb 0)) (soit-un ?oc
(nonEval (PlusOpposeEntier OpposePlusEntier
OpposePlusOpposeEntier))) (non ( ?ca ?cb) (
?oc PlusOpposeEntier)) (non ( ?ca ?cb) (
?oc OpposePlusEntier)) (soit ?c (?oc ?ca
?cb)) (soit ?Resultat (FaireMonomeEnt1Var ?c
?v ?na)) (non ( ?oc OpposePlusOpposeEntier)
(AC ?Resultat 0)) (?oc NomGen ?ocn)
(?oc SymboleGen ?ocs) ) alors ( (soit
?Source (EnSomme a b)) (RemplacerSousExpressio
n ?e (ConcatenePosition ?u (p_p_p_e ?a ?b ?u))
?Resultat) )
axn bxn ? (a-b)xn axn bxn ? (b-a)xn axn
bxn ? (-a-b)xn
24
25
Anaïs
Algorithme de recherche heuristique
probabiliste 

E
R ?
ER_Rien kak ? k(a)
R ?
F
Diagnostics (R1 ER_Rien), ...
26
Anaïs
1300 pas erronés
Qualité de lalgorithme
26
27
Règles algébriques
Un travail en spirale
Drouhard Heffernan Kirshner Matz Sleeman...
Magnétoscope
Protocoles
Littérature
Liste de règles
Analyse didactique des diagnostics et
échecs produits
Automatisation du processus du diagnostic
27
28
Mise en uvre du modèle
Même type de tâche-en-acte ?
Même type de tâche-en-acte ?
ComportementInstablede lélève EM ?
28
29
Mise en uvre du modèle
Factoriser kak a une somme
Développer k(ab)
Factoriser kakb
Développer k(ab)
RES_Fact
RES_Dvt
Factoriser kak a une somme
Factoriser kak
Factoriser kakb
Factoriser kakb
ER_Rien
RES_Fact
29
30
Type de tâche-en-acte
Factoriser kak a une somme
Développer k(ab)
Même type de tâche-en-acte ?
Types de tâche-en-acte distincts








Diagnostic du type de tâche-en-acte

• Dépendant de la règle diagnostiquée

• Indépendant de la consigne

• Indépendant de la place de la tâche au sein de la
  résolution

Le type de tâches-en-acte prend en compte
laction de lélève
30
31
Technique-en-acte
La règle algébrique prend le statut de
technique-en-acte lorsquelle affiche une
certaine stabilité face à un même type de
tâche-en-acte
Factoriser kak a monôme
Factoriser kak a une somme
Types de tâche-en-acte distincts
Comportementinstable ?
Comportement?
31
32
Technique-en-acte
La règle algébrique prend le statut de
technique-en-acte lorsquelle affiche une
certaine stabilité face à un même type de
tâche-en-acte
ComportementInstable
Factoriser kak a une somme
Factoriser kak a une somme
Même types de tâche-en-acte
32
ER_Rien
RES_Fact
33
Praxis-en-acte
Présentation des données expérimentales

• 80000 pas de calcul
• 5 pays
• 4 niveaux scolaires

• Minimiser le biais logiciel
• - Mode test dAplusix sans rétroaction
• - Pas de copier-coller
• - Ni duplication dexpressions

34
Praxis-en-acte inter
Face à un type de tâche-en-acte,
Quelle est la technique-en-acte la plus utilisée ?
Est-ce une technique correcte ou erronée ?
Quelles sont les praxis-en-acte les plus
représentées ?
La fréquence dune praxis-en-acte est le nombre
de fois où la technique-en-acte est diagnostiquée
sur le nombre de confrontations au type de
tâches-en-acte
34
35
Praxis-en-acte inter

• Factoriser kak,

kak ? k(a1) 54 ER_Rien (kak? k(a))
43 kak? k(ak) 3

• Factoriser kak, k ou a une somme ER_Rien
  57
• kak ? k(a1) 41

• Développer (ab)2, (ab)2 ? a2b2 42

• Développer a(bc)(de), a(bc)(de) ?
  abacadae 27

43 des 200 fois où les élèves ont été confrontés
à kak, les élèves ont utilisé la
technique-en-acte ER_Rien
36 praxis-en-acte inter erronées
35
36
Praxis-en-acte inter
Importance du découpage en types de tâches
Découpage institutionnel

• Factoriser kak, ER_Rien 43

• Factoriser kak, k ou a une somme ER_Rien
  57

Factoriser kakb

• Factoriser kak², ER_Rien 23

10
ER_Rien

• ...

La fréquence de lutilisation dune technique
dépend du découpage en types de tâche
Les variables de contexte sont des explications
du comportement de lélève
36
37
Praxis-en-acte intra
Comportement dun élève
3771 comportements
Règles algébriques
Un même type de tâches-en-acte
Au moins trois fois
0
50
70
90
100
Instable
Tendance
Stable
Constant
Une technique-en-acte est une règle appliquée
dans plus de 70 des occasions où il était
possible de lappliquer.
38
Praxis-en-acte intra erronées
Quels comportements dans lerreur ?
0
50
70
90
100
Instable
Tendance
Stable
Constant
Praxis-en-acte intra erronées
39
Praxis-en-acte intra erronées
24 praxis-en-acte intra erronées dont

• Développer (ab)2, (ab)2 ? a2 b2 36

• Factoriser kak, avec k ou a une somme
  ER_Rien 19

19 des élèves qui ont été confrontés au moins 3
fois à  kak, avec k ou a une somme  ont
utilisé de manière stable la technique-en-acte
ER_Rien
39
40
Praxis-en-acte intra erronées
Comparaison inter-intra
6 praxis-en-acte les plus diagnostiquées

• Praxis-en-acte inter
• axn xp ? axn?p
• kka ? k(a), avec k ou a somme
• axn bxp ? (ab)xnp
• kak ? k(a)
• (a b)2 ? a2 b2
• ngt2 ou pgt2, axn bxp ? (ab)xnp

Praxis-en-acte intra axn xp ? axn?p (a
b)2 ? a2 b2 ngt2 ou pgt2, axn bxp ?
(ab)xnp kka ? k(a), avec k ou a somme
kak ? k(a) axn bxp ? (ab)xnp
Mêmes 1res praxis-en-acte erronées en inter quen
intra
41
Praxis-en-acte intra erronées
Quels comportements dans lerreur ?
Accès à une technologie-en-acte
Non accès à une technologie-en-acte
Un mauvais découpage des TA ?
Une instabilité conséquente

• Factoriser kak, avec k ou a une somme
  ER_Rien 19
• kak? k(a1) 31
• instable 50

42
Technologies-en-acte
Mise en oeuvre
Résultats
5 technologies-en-acte a priori
Implicite ConcaténationDistributivité
abusiveParenthésage inutileForme prototypique
Praxis-en-acteInter
Reconstructiondu TA
Technologie-en-acte Inter
Interview
Anaïs

Bibliothèquede règles
Technologie-en-acte Intra
Reconstructionde t
Praxis-en-acteIntra
42
43
A travers le discours des élèves
Production de lélève EM
EM Voir ce quil reste , le seul
truc qui nest pas entouré
(x8)

(x8)x (x8)
(x8)
x
Factoriser
ER_Rien kak ? k(a)
EV  Et dans lautre, rien.  EV  Cest un
zéro. 
43
44
A travers le discours des élèves
Production de lélève EM

• Factoriser kak, avec k ou a une somme ER_Rien

Factoriser (x8)x(x8)
kka ? k(a) ER_Rien
(x8)(x)

• Factoriser kak, ni k ni a une somme kak?
  k(a1)

Factoriser 2x22
kka ? k(a) ER_Rien
2(x2)
2(x21)
45
A travers le discours des élèves
Production de lélève EM
Contrôle
Obtenir un produit dont un des facteurs est une
somme
Variable de contexte k ou a une somme

• Factoriser kak, avec k ou a une somme ER_Rien

Factoriser (x8)x(x8)
(x8)(x)

• Factoriser kak, ni k ni a une somme kak?
  k(a1)

Factoriser 2x22
2x22
ER_Rien
2(x21)
45
2(x2)
46
A travers le discours des élèves
Production de lélève EM
EM   Il fallait que je rajoute un nombre qui
fait que quand je le multiplie, ça fasse 2, ce
nétait que 1. 
2x22
Justificatif
Utilisation de la distributivité
2(x21)
2(x2?)
47
Praxéologie-en-acte
Plus riches que les a priori
Les technologies-en-acte intra
Décrivent
Absence dostensifs ? zéro
Un des facteurs est une somme
Contrôlent
Distributivité
Justifient
Les praxis-en-acte
Factoriser k(cd) k kak? k(a)
Limites de la reconstruction a priori dune
technologie-en-acte
48
Conclusion
Institution scolaire
Sujet
Mise en oeuvre
Résultats
?
adaptation
Modèlepraxéologie-en-acte
Modèle praxéologique
Praxis-en-acteInter
Expérimentations
Manuels
Reconstructiondu TA
Technologie-en-acte Inter
OP
TA/tA
TA/tA
TA/tA
Interview
Anaïs
T/t
Variablesde contexte

Bibliothèquede règles
Technologie-en-acte Intra
ProtocolesAplusix
Reconstructionde t
Praxis-en-acteIntra
49
Conclusion
A propos du modèle praxéologique
Ecart entre les découpages en types de tâche -
institutionnalisés - institutionnels -  de
lélève 
Adaptation, extension du modèle
Modèle praxéologie-en-acte
Lélève a sa propre perception de la similitude
des tâches
Capture du type de tâche-en-acte par laction de
lélève
Technique-en-acte non valide ni conforme mais
stable
Stabilité inter vs. intra
49
50
Conclusion
Comportements dans lerreur
Stabilité inter forte
100 règles erronées pour diagnostiquer 70 des
productions de différents pays et différents
niveaux
Stabilité intra
Importance des variables de contexte Accès à une
technologie-en-acte
Difficile à capturer 37 des comportements non
 régulièrement  corrects
Instabilité

• Un mauvais découpage des types de tâches-en-acte ?

• Lié au domaine ?

• Dautres formes de stabilité ?

Stabilité dans lerreur ou instabilité
Manque déléments technologiques dans
linstitution scolaire
51
Conclusion
A propos de laspect automatisation
Construction - dune bibliothèque de règles
- dune heuristique - dun algorithme
Modèle local
Modèle global
Efficacité de lalgorithme à 70 Indépendamment
du pays
52
Limites perspectives
A la base un logiciel pour recueillir des
données, un algorithme pour
diagnostiquer
Des expérimentations spécifiques
Instabilité
Un travail manuel
53
Limites perspectives
Stabilité Dépasser des modèles comportementaux
locaux

• Stabilité transversale aux activités

• Enchaînement des pas de calcul

Stabilité verticale
Évolution des stratégies

• Technologies-en-acte

Difficulté liée au domaine tel quil est enseigné
?
Difficulté liée au public ?
53
54
Perspectives
Le modèle de praxéologie-en-acte
Quelle généricité dans sa mise en uvre ?

• Construction automatique des types de
  tâches-en-acte

• Une règle relève dun seul type de tâche
  institutionnel

• Domaine  à réécriture 

• Extension à dautres domaines  à réécriture 

• Extension aux domaines  sans réécriture 

55
Merci.