Tema 2' Formulacin de problemas

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Tema 2. Formulación de problemas
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Ejemplo de producción

• Ejemplo sencillo de producción
• Fábrica de muebles
• Dos productos sillas modelo A y B
• Demanda estimada (máxima)
• A 100 B 400
• Beneficios por unidad
• A 6000 B 3000
• Requisitos de producción
• A 20 hh B 15 hh
• Disponibilidad de trabajadores 5000 hh/mes

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Ejemplo de producción

• Variables número de sillas de cada modelo xA, xB
• Función objetivo beneficios
• max 6000 xA 3000 xB
• Restricciones
• Capacidad de fabricación
• 20 xA 15 xB ? 5000
• Límites de demanda
• 0 ? xA ? 100 , 0 ? xB ? 400

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Ejemplo de producción

• Planteamiento
• max 6000 xA 3000 xB
• s.a 20 xA 15 xB ? 5000
• 0 ? xA ? 100
• 0 ? xB ? 400
• xA, xB ? 0,1

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Estimación costes generación eléctrica

• Estimación costes generación eléctrica
• Obtener función cuadrática de costes
• c (x ) a b x c x 2
• Dados un conjunto de observaciones,
• ( xi , yi )
• Encontrar la mejor función cuadrática que se
  ajuste a ellas
• Mínimo error en el ajuste

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Estimación costes generación eléctrica

• Datos

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Estimación costes generación eléctrica

• Planteamiento
• Función objetivo
• ( 5806 - a - b 130 - c 1302 )2 ( 6142 - a - b
  140
• - c 1402 )2 ( 7336 - a - b 145 - c 1452 )2
  ...
• En formato compacto
• min ?i ( yi - a - b xi - c xi 2 )2
• Función cuadrática de a, b, c

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Problema de transporte

• Problema de transporte
• Descripción del problema
• Atender demanda de dos productos PR1 y PR2
• Para cuatro clientes C1, C2, C3 y C4
• Desde tres almacenes A1, A2 y A3
• Se dispone de datos sobre demandas, capacidades y
  costes

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Problema de transporte

• Datos
• Capacidades de almacenes
• Almacén A1 Almacén A2 Almacén A3
• 8500 11500 10300
• Demandas de clientes
• Cliente C1 Cliente C2
  Cliente C3 Cliente C4
• Producto PR1 1700 1200
  1100 1000
• Producto PR2 750 950
  500 450
• Coste de transporte PR1
• Cliente C1 Cliente C2
  Cliente C3 Cliente C4
• Almacén A1 9 46
  39 28
• Almacén A2 22 23
  12 30
• Almacén A3 24 20
  50 13
• Coste de transporte PR2
• Cliente C1 Cliente C2
  Cliente C3 Cliente C4
• Almacén A1 12 55
  40 32
• Almacén A2 25 27
  15 35
• Almacén A3 28 70
  56 18

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Problema de transporte

• Otros datos
• Espacio ocupado por los productos
• Producto PR1
  Producto PR2
• 3
  5
• Costes fijos
• Independientes de la cantidad
• Cada envío supone unos costes de 5000
• Tiempos de entrega? Se ignoran

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Problema de transporte

• Planteamiento del problema
• Variables
• Cantidades a transportar desde cada almacén i a
  cada cliente j de cada producto k, xijk
• Función objetivo
• Minimizar los costes de transporte totales
• minx ?ijk cijk xijk

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Problema de transporte

• Planteamiento del problema
• Función objetivo
• 9x111 12x112 46x121 55x122 39x131
  40x132
• 28x141 32x142 22x211 25x212 23x221
• 27x222 12x231 15x232 ...
• Restricciones
• Satisfacción de la demanda de cada cliente
• ?i xijk djk ?j,k

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Problema de transporte

• Restricciones
• Formulación de satisfacción de demanda
• x111 x211 x311 1700, x112 x212 x312
  750,
• x121 x221 x321 1200, ...
• Capacidad de los almacenes
• ?k ek ?j xijk ? vi ?i
• Formulación
• 3(x111x121x131x141) 5 (x112x122x132x142)
  ? 8500,
• 3(x211x221x231x241) 5 (x212x222x232x242)
  ? 11500,
• ...

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Problema de transporte

• Modelo resultante (un producto)
• min 9x11 22x21 24x31 46x12 23x22
  20x32 39x13 12x23 50x33
• 28x14 30x24 13x34
• s.a x11 x21 x31 1700
• x12 x22 x32 1200
• x13 x23 x33 1100
• x14 x24 x34 1000
• x11 x12 x13 x14 ? 1500
• x21 x22 x23 x24 ? 2500
• x31 x32 x33 x34 ? 1500
• xij ? 0 i 1,2,3 j 1,2,3,4
• Solución
• x11 1500, x21 200, x22 700, x23
  1100, x32 500, x34 1000

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Problema de transporte

• Planteamiento del problema
• Otras restricciones
• Variables no pueden tomar valores negativos,
• xijk ? 0
• Otras consideraciones
• Costes fijos de envío
• Sumar 5000 a la función objetivo por cada
  variable distinta de cero

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Problema de transporte

• Planteamiento del problema
• Costes fijos de envío
• Se introducen nuevas variables, zijk
• Estas variables valen
• 1 si se produce un envío (si xijk gt 0)
• 0 si no se produce
• Término adicional en la función objetivo
• ...5000 ?ijk xijk

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Problema de transporte

• Planteamiento del problema
• Relación entre las variables x y z
• xijk ? K zijk
• donde K es constante suficientemente grande
  (mayor que cualquier valor razonable de x )
• Condición sobre z
• zijk ? 0,1 ?i,j,k

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Redes de distribución

• Problema de redes de distribución
• Descripción del problema
• Se fabrica un producto en dos plantas distintas
• Tiene que ser enviado a dos almacenes
• Existe un centro de distribución CD
• Se tiene una red de distribución
• En ella se muestra cuanto puede mandarse y el
  costo
• Cuánto enviar a través de cada canal para
  minimizar el costo total de envío?

900/u
A1
F1
30 u. requeridas
50 u. producidas
400/u
200/u
CD
300/u
200/u Max 10
100/u Max 80 u
60 u. requeridas
A2
300/u
F2
40 u. producidas
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Redes de distribución

• Planteamiento del problema
• Variables
• Cantidades a transportar desde cada nodo y por
  que vía
• Función objetivo
• Minimizar los costes de transporte totales
• Min 2xF1-F2 4xF1-CD 9xF1-A1 3xF2-CD xCD-A2
  3xA1-A2 2xA2-A1

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Redes de distribución

• Restricciones
• Restricciones de flujo neto
• xF1-F2 xF1-CD xF1-A150 (fábrica 1)
• xF1-F2xF2-CD40 (fábrica 2)
• xF1-CD xF2-CD xCD-A20 (centro de
  distribución)
• xF1-A1 xA1-A2 xA2-A1-30 (almacén 1)
• xCD-A2 xA1-A2 xA2-A1-60 (almacén 2)
• Restricciones de cota superior
• xF1-F2 ?10, xCD-A2 ? 80
• Restricciones de no negatividad
• xF1-F2 ? 0, xF1-CD ? 0, xF1-A1 ? 0, xF2-CD ? 0,
  xCD-A2 ? 0, xA1-A2 ? 0, xA2-A1 ? 0

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Redes de distribución

• A este problema se le conoce como el problema de
  flujo de coste mínimo.
• La solución del lineal siempre es entera, pero
  existen procedimientos más rápidos para calcular
  la solución.
• Solución óptima x(0, 40, 10, 40, 80, 0, 20)T

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22
Campaña de publicidad

• Se quiere llevar a cabo una campaña de promoción
  de un nuevo producto
• Para ello se dispone de un presupuesto a invertir
  en diferentes medios publicitarios
• El objetivo es alcanzar la mayor audiencia
  posible de clientes potenciales

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Campaña de publicidad

• Medios disponibles
• televisión, revistas, radio, periódicos,
  buzoneo
• Datos
• Audiencia
• Televisión Revistas Radio
  Periódicos Buzoneo
• 3 2
  1 1,5 2
• Costes
• Televisión Revistas Radio
  Periódicos Buzoneo
• 6 2,5
  1 1,2 1
• Recursos necesarios
• Televisión Revistas Radio
  Periódicos Buzoneo Máximo
• Escritores 12 5 2
  4 3 200
• Ilustradores 12 8 0
  6 4 300
• Auxiliares 2 2 2
  2 2 200
• Otros datos
• Presupuesto P
• Campaña debe utilizar al menos tres medios
• Audiencia que se alcanza invirtiendo z euros en
  un medio
• a z 0,7 donde a es una constante indicada en la
  tabla

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Campaña de publicidad

• Variables
• unidades de publicidad compradas a cada medio,
  xi
• Función objetivo audiencia alcanzada,
• ?i ai xi
• o en el caso no lineal,
• ?i ai xi0,7
• Restricciones
• Presupuesto ?i ci xi ? P
• Disponibilidad de recursos ?i rij xi ? dj
  ?j
• No negatividad xi ? 0
• Número mínimo de medios
• ?i zi ? 3, xi ? K zi , zi ? 0,1 ?i
• zi ? k xi valor de k ?

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Asignación de tripulaciones

• Asignación de tripulaciones
• Determinar
• Número de tripulaciones a tener disponibles
  durante los próximos meses
• Las tripulaciones pueden tomarse de una reserva,
  o devolverse a dicha reserva
• Se desea emplear el número mínimo de
  tripulaciones necesario

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Asignación de tripulaciones

• Condiciones
• Se deben cubrir las horas de vuelo
• Noviembre 440
• Diciembre 580
• Enero 600
• Febrero 420
• Cada tripulación puede hacer un máximo de 40 h.
  de vuelo al mes
• Otras condiciones
• Cada nueva tripulación debe ser entrenada
• Durante el primer mes, entrenamiento cuesta 10 h.
  a nueva tripulación y a una tripulación ya
  veterana
• Como máximo pueden tomarse de la reserva tres
  tripulaciones en un mes

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Asignación de tripulaciones

• Variables
• Tripulaciones asignadas cada mes, xt
• Var. auxiliares para facilitar la formulación
• Número de tripulaciones a añadir at y a devolver
  a la reserva dt en cada mes
• Función objetivo
• Min ?t xt
• Restricciones
• Cumplimiento de las horas 40xt - 10at ? ht
• Límite nuevas tripulaciones at ? 3
• Necesidades de entrenamiento xt ? at
• Relación entre variables xt1 xt at - dt
• No negatividad xt , at , dt ? 0
• Integralidad xt , at , dt enteras

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Asignación de tripulaciones

• Problema resultante
• min ?t xt
• s.a 40xt - 10at ? ht
• xt1 xt at - dt
• xt ? at
• at ? 3
• xt , at , dt ? 0
• xt , at , dt enteras

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Localización

• Localización de puntos de acceso WI-FI.
• Determinar
• Dónde instalar puntos de acceso entre un conjunto
  de 5 posibles puntos.
• Cada localización tiene un coste.
• Se trata de asegurar la cobertura divida en una
  serie de 7 barrios.

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Localización

• Datos
• Matriz de incidencia barrio-localización y
  costes
• L1 L2 L3 L4 L5
• B1 1 0 1 1 0
• B2 1 0 1 0 1
• B3 0 1 0 1 0
• B4 1 0 0 1 0
• B5 0 0 1 1 0
• B6 1 1 1 0 0
• B7 1 0 0 0 1
• C 100 50 100 120 46
• aij si el punto j da cobertura al barrio i

31
Localización

• Variables
• Si se instala un punto de acceso en la
  localización j xj j1,2, .. 5
• Función objetivo minimizar el coste
• ?j cjxj
• Restricciones
• El barrio i ha de tener cobertura
• ?j aij xi ? 1 para ? i1,2, ,7
• Variables enteras xi ? 0,1

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Optimización de carteras

• Optimización de carteras
• Determinar
• En que carteras invertir para lograr el más alto
  rendimiento.
• Cada año una cantidad a invertir y lo que se
  ahorra se
• pierde
• Se desea obtener el máximo de beneficio

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Optimización de carteras

• Datos
• Datos de inversión
• Año 1 Año 2 Año 3 Año
  4 Beneficio
• C1 60 10 10 10
  250
• C2 35 35 35 35
  375
• C3 10 50 50 10
  275
• C4 15 10 10 40
  140
• Fondos Inversión 90 80 80 50
• No se puede invertir en C3 y C4 por ser productos
  parecidos

34
Optimización de carteras

• Optimización de carteras
• Variables
• Si se invierte en el producto i1, , 4, xi
• Variables enteras xi ? 0,1 ?i
• Función objetivo
• Suma de ganancias esperadas ?i bixi
• Restricciones
• Restricciones de presupuesto de cada año
• 60x135x210x315x4 ?90
• 10x135x250x310x4 ?80
• 10x135x250x310x4 ?80
• 10x135x210x340x4 ?50
• No invertir en C3 y C4 x3x4 ?1

35
Problema de producción

• Problema de producción
• Una empresa fabrica 3 productos A, B y C
  empleando 5 equipos I, II, III, IV y V
• El producto C requiere una unidad de A y 2 de B
• Los beneficios por unidad son A 20 B 8 C
  38
• Los tiempos necesarios por unidad son
• I II III IV
  V
• A 0.8 0.5 0.1 0.3
• B 0.25 0.1 0.15
• C 0.15
• El número de equipos disponibles es
• I 20 II 5 III 10 IV 4 V
  6
• Cada equipo se puede operar 200 horas en un mes

36
Problema de producción

• Variables
• Número de productos de cada tipo xA, xB , xC
• Variables enteras y mayores o iguales que 0
• Función objetivo
• Maximizar los beneficios
• 20 xA 8 xB (38 - 20 - 16) xC
• Restricciones
• Debidas al número de horas y el número de
  máquinas disponibles y el porcentaje de
  utilización de cada máquina.
• 0.8 xA 0.25 xB ? 4000
• 0.1 xB ?
  1000
• 0.5 xA 0.15 xB ? 2000
• 0.1 xA 0.15 xC ? 800
• 0.3 xA ?
  1200
• El número de productos producidos de A y de B en
  relación al producto C
• - xA xC ? 0
• - xB 2 xC ? 0

37
Problema de producción

• Problema de producción
• max 20 xA 8 xB (38 - 20 - 16) xC
• s.a 0.8 xA 0.25 xB ? 4000
• 0.1 xB ?
  1000
• 0.5 xA 0.15 xB ? 2000
• 0.1 xA 0.15 xC ? 800
• 0.3 xA ?
  1200
• - xA xC ? 0
• - xB 2 xC ? 0
• xA , xB , xC ? 0

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Problema de producción

• Problema en forma estándar
• max 20 xA 8 xB (38 - 20 - 16) xC
• s.a 0.8 xA 0.25 xB sI
  4000
• 0.1 xB
  sII 1000
• 0.5 xA 0.15 xB sIII
  2000
• 0.1 xA 0.15 xC sIV
  800
• 0.3 xA sV
  1200
• - xA xC sA
  0
• - xB 2 xC sB
  0
• x , s ? 0

39
Planificación de generación eléctrica

• Planificación de generación eléctrica
• Se dispone de una central de generación
• Determinar niveles óptimos de generación
• Para una estimación de precios
• Correspondiente a 24 horas del día siguiente
• Beneficios
• Ingresos basados en precios de mercado
• Costes asociados a la tecnología

39
40
Planificación de generación eléctrica

• Planificación de generación eléctrica
• Restricciones tecnológicas
• Límites a la generación
• 0 ? gt ? 400
• Mínimos técnicos
• gt ? 0 , 100,400
• Límites en los cambios de nivel de generación
• De un periodo al siguiente, cambio máximo de 50
  MWh

40
41
Planificación de generación eléctrica

• Planificación de generación eléctrica
• Costes de generación
• Costes variables
• 55 6.4 g 0.001 g 2
• Costes fijos
• Arranque 720 , Parada 260
• Precios estimados
• 3.47 3.67 6.17 6.36 6.36 8.68 8.78
  8.70 7.50 6.32 6.38 6.37

41
42
Planificación de generación eléctrica

• Planificación de generación eléctrica
• Variables niveles de generación gt
• Función objetivo beneficios totales
• ?t ( pt gt - 55 - 6.4 gt - 0.001 gt2 )
• Restricciones
• Límites a los cambios de nivel
• -50 ? gt - gt -1 ? 50
• Arranques y paradas?

42
43
Planificación de generación eléctrica

• Restricciones planificación generación
• Valores permitidos de las variables
• gt 100 zt wt , 0 ? wt ? 300zt , zt ? 0,1
• Cambios en nivel de generación
• -50 ? wt - wt -1 ? 50
• Costes de arranque
• Cuándo se produce un arranque yt ? 0,1
• Costes totales de arranque 720 ?t yt
• Relación con otras variables zt - zt -1 ? yt

43
44
Generación central ciclo combinado

• Generación central ciclo combinado
• Central eléctrica dos modos de operación
• Ciclo de gas
• Ciclo combinado (gas carbón)
• Características diferentes en ambos ciclos
• Costes
• Capacidad
• Restricciones que ligan los ciclos

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Generación central ciclo combinado

• Datos
• Costes operación
• gas cg agx bgx2
• combinado cc acx bcx2
• Costes arranque
• gas sg combinado sc
• Capacidades
• gas ug combinado uc (mínimo lc )

46
Generación central ciclo combinado

• Datos
• Tiempos mínimos
• Entre arranque gas y arranque combinado tc
• Entre apagado y arranque ta
• Otros datos
• Precios de mercado conocidos pt
• Objetivo
• Beneficios

47
Generación central ciclo combinado

• Variables
• Generación de energía en cada periodo xt
• Ciclo de gas funcionando yt
• Ciclo combinado funcionando zt
• Arranque del ciclo de gas vt
• Arranque del ciclo combinado wt
• Función objetivo
• ?t pt xt - yt (cg agx bgx2 ) - zt (cc acx
  bcx2 - cg - agx - bgx2 ) - vt cg - wt cc

48
Generación central ciclo combinado

• Restricciones
• zt lc ? xt ? yt ug zt (uc - ug )
• wt ? yt-t t 0,...,tg
• vt ? 1 - yt-t t 1,...,tc
• vt ? yt - yt -1
• wt ? zt - zt -1
• zt ? yt
• yt , zt , vt , wt ? 0,1

49
Ampliación de la red de transporte

• Ampliación de la red de transporte
• Estudiar la instalación de nuevas líneas para
  transmisión de energía eléctrica
• Se dispone de una red de transmisión
• Se estudian alternativas de líneas entre
  diferentes puntos (nodos) del sistema
• Se conocen a priori las características de las
  líneas a construir (y su coste)

50
Ampliación de la red de transporte

• Datos
• Capacidades de generación, gi
• Capacidades máximas de las líneas, kij
• Coste de cada nueva línea, vij
• Conductancia de líneas, cij
• Susceptancia de líneas, ?ij
• Existencia de líneas, sij
• Vale 1 si la línea existe y 0 si no
• Límites para los ángulos de voltaje, dij

51
Ampliación de la red de transporte

• Variables
• Energía transportada en cada línea, xij
• Generación en cada central, yi
• Construcción (o no) de una línea, zij
• Pérdidas en cada línea, wij
• Diferencia de ángulos de voltaje, ?ij

52
Ampliación de la red de transporte

• Función objetivo
• Coste de operación y construcción
• ?jj vij zij ?j yi
• Restricciones
• Balance de energía
• - ?j sij xij yi di
• Pérdidas en las líneas
• wij 2 cij zij (1 - cos ?ij )
• Relación entre flujos y ángulos
• xij ?ij zij sin ?ij

53
Ampliación de la red de transporte

• Otras restricciones
• Restricciones de cota
• 0 ? xij ? kij
• 0 ? yi ? gi
• -dij ? ?ij ? dij
• Otras restricciones
• zij ? 0,1

54
Formulación de problemas

• Ejercicio formulación
• Frutos secos almendras, cacahuetes, nueces
• Dispone de 150 Kg, 100 Kg y 50 Kg respect.
• Tres productos, con porcentajes
• A 20 80 0
• B 30 50 20
• C 50 20 30
• Beneficios esperados 90 (A), 120 (B), 160 (C)
• Cantidad de cada producto?

55
Formulación de problemas

• Ejercicio formulación
• Solicitud de asignación de frecuencias de cuatro
  emisoras de radio.
• Dos frecuencias interfieren si están a 0,5
  megahertz de distancia.
• Distancias disponibles
• 100.0,100.1,100.3,100.7,101.0,101.1,101.4,101.8
• es posible asignar cuatro frecuencias?

56
Formulación de problemas

• Ejercicio formulación
• Planificación de la producción
• Empresa fábrica dos productos de los que debe
  producir P1 por lo menos 600000 y P2 por lo menos
  400000.
• Estos productos se fabrican en dos máquinas cada
  una de ellas está disponible 40 h/s.
• En la siguiente tabla se muestran los
  requerimientos de coste y tiempo para cada
  producto.
• Maximizar la ganancia de la empresa.

57
Indice
Ejemplo sencillo de producción Estimación costes
generación eléctrica Problema de transporte Redes
de distribución Campaña de publicidad Asignación
de tripulaciones Problema de producción Localizaci
ón Optimización de carteras Planificación de
generación eléctrica Generación central ciclo
combinado Ejercicios propuestos