Rekonstruktion eines Genbaums - PowerPoint PPT Presentation

Title: Rekonstruktion eines Genbaums


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Rekonstruktion eines Genbaums über
Gen-/Artenbaum-Reconcilierung
Seminar Aktuelle Themen in der Bioinformatik

• Bayesian gene/species tree reconciliation and
  orthology analysis using MCMC (2003)
• Gene tree reconstruction and orthology analysis
  based on an integrated model for duplications and
  sequence evolution (2004)

Bianca Büttner SS 2005
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Übersicht

1. Einführung in die Thematik
2. Der Algorithmus von Arvestad et al.
3. Definitionen und Notationen der Parameter
4. Gen-Evolutions- Gen-Sequenz-Evolutions-Modell
5. Der MCMC-Algorithmus
6. Berechnung der Likelihood einer Reconcilierung
7. Zusammenfassung

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Einführung in die Thematik

• Was ist ein Genbaum?
• - Während der Evolution können ganze Genloci
  (oder auch nur einzelne Basen) dupliziert werden
  oder verloren gehen.
• - Duplikationen lassen Rückschlüsse auf
  Genfamilien zu.
• - 1962 wurden das erste Mal Unterschiede
  zwischen
  Globinen entdeckt (Zuckerkandl Pauling).
• - Für Vergleiche zwischen Mitgliedern dieser
  Genfamilie innerhalb einer Spezies wurde ein
  Genbaum erstellt.

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Einführung in die Thematik

• Was ist eine Reconcilierung?
• - Zusammen mit einem Genbaum und in Abhängigkeit
  eines Artenbaums, erklärt die Reconcilierung die
  Evolution einer Genfamilie.
• - 1979 suchte Goodman als einer der Ersten nach
  einem Algorithmus, der Gen- und Artenbäume in
  Übereinstimmung bringen konnte.
• - Ziel war es, eine Reconcilierung zu finden, in
  der der Genbaum die geringste Anzahl an
  Substitutionen, Genduplikationen und Genverluste
  aufwies.

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Einführung in die Thematik

• Was ist eine Reconcilierung?

Genduplikation
Genverlust
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Einführung in die Thematik

• Walter Fitchs (Zoologe,1970) original Definition
  von paralog und ortholog
• - Wenn die Homologie zweier Gene das Resultat
  einer Genduplikation ist und sie die
  Entwicklung einer Art beschreiben, nennt
  man die Gene paralog.
• - Ist die Homologie zweier Gene das Resultat
  einer Speziation (Artenbildung) und
  reflektiert die Entwicklung eines Gens die
  Entwicklung mehrerer Arten, nennt man die
  Gene ortholog.

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Einführung in die Thematik

• Oder in kurz
• Zwei Gene sind paralog, wenn sie nach einer
  Duplikation divergieren.
• Zwei Gene sind ortholog, wenn sie nach einer
  Speziation divergieren.

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Einführung in die Thematik

• Beispiel

Rattengene 1 2 sind
paralog. Mausgene 1 2 sind paralog. Aber
Rattengen 1 bzw. 2 ist ortholog zu Mausgen 1 2
und umgekehrt.

( ) Speziation X Duplikation
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Der Algorithmus von Arvestad et al.

• Der Algorithmus versucht Fragen zu beantworten
  wie z.B. Wie viele Duplikationen und Verlust
  geschahen in einer Genfamilie? Oder welche Gene
  sind ortholog?
• Die Autoren entwickelten als Grundlage für den
  Algorithmus ein Gen-Evolutionsmodell, dass im 2.
  Paper noch durch ein Gen-Sequenz-Evolutionsmodell
  erweitert wurde.
• Die Verfahren und Modelle auf denen der
  Algorithmus basiert, gehören zu den statistischen
  Methoden und sind laut Autor den üblichen
  parsimonischen Methoden in Realitätsnähe und
  Mächtigkeit weit überlegen.

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Definitionen und Notationen I

• Ein Genbaum G bezeichnet seine Knoten und Blätter
  mit Kleinbuchstaben wie u, v und w.
• Ein Artenbaum S verwendet meist die
  Großbuchstaben X, Y, Z.
• Die Blätter eines Genbaums repräsentieren Gene,
  die Blätter eines Artenbaums repräsentieren
  Arten.

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Definitionen und Notationen II

• Ein Genbaum G besitzt eine Blatt-Benennungs-Funkti
  on
• s L(G) L(S)
• Das heißt, das Gen l e L(G) gehört zum Genom der
  Spezies s(l), da L(G) und L(S) miteinander
  assoziiert sind.

Bsp a1 und a2 sind Gene der Spezies A.
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Definitionen und Notationen III

• Ein Baum T hat folgende Merkmale
• V(T) gt Eine Menge von Knoten von T.
• A(T) gt Eine Menge von Kanten von T.
• L(T) gt Eine Menge von Blättern von T.
• r(T) gt Eine Wurzel von T.

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Definitionen und Notationen V

• Ist binär, d.h. jeder innere Knoten hat zwei
  Kinder.
• Tu gt Ist ein Teilbaum von T mit Wurzel u.
• c1(u) ist das linke und c2(u) das rechte Kind von
  u.
• Tu,v gt Ist ein Kanten-Teilbaum von T.
• bedeutet v ist ein Nachkomme von u
  in T.

u
v
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Das Gen-Evolutions-Modell I

• In diesem Modell lassen wir den Genbaum innerhalb
  eines Artenbaums wachsen, entsprechend eines
  sogenannten Birth-Death-Prozesses.
• Dieser Standard-Prozess wurde bereits von Kendall
  1948 entwickelt und induziert die Reconcilierung
• Birth rate l gt Anzahl der Duplikationen
• Death rate m gt Anzahl der Genverluste
• Der Birth-Death-Prozess wird auf die Kanten des
  Artenbaums angewendet.

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Das Gen-Evolutions-Modell II

• Wie funktioniert der Birth-Death-Prozess?
• Der Prozess beginnt an der Wurzel und arbeitet
  sich abwärts bis zu den Blättern des Artenbaums
  vor.
• 2. Sobald der Prozess das Ende einer Kante
  erreicht, splittet er Knoten x in zwei identische
  Kopien.
• 3. Der Prozess geht rekursiv links und rechts an
  den ausgehenden Kanten von x weiter, bis er in
  den Blättern von S stoppt.

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Das Gen-Evolutions-Modell III

• Dann wird der Baum zurechtgestutzt, d.h. Knoten
  ohne Blätter (Genverluste) werden gelöscht,
  eingehende und ausgehende Kanten von Knoten mit
  nur einem Kind zu einer Kante (ohne den Knoten)
  zusammengeführt.
• 5. Dann werden die Blätter des entstandenen
  Genbaums entsprechend der Blätter des Artenbaums
  benannt.

Beispiel
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Beispiel Genbaum entwickelt sich innerhalb eines
Artenbaums
Speziation
Artenbaum
Duplikation
Genverlust
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Entwicklung eines Genbaums II
II
I
Genbaum nach dem Zurechtschneiden des
Birth-Death-Prozesses.
Reconcilierung aus dem Birth-Death-Prozess.
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Entwicklung eines Genbaums III
III
IV
Reconcilierung durch parsimonische Methoden. Gen
d wird fälschlicherweise als Speziation
interpretiert.
Eine mögliche Reconcilierung Bei gegebenem Arten-
und Genbaum aus I.
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Das Gen-Sequenz- Evolutions-Modell

• Erweiterung des Gen-Evolutions-Modells.
• Bei jeder Entstehung einer neuen Genlinie
  entweder durch Duplikation oder Speziation wird
  ein Modell zur Evolution der Sequenz angewendet
  (hier Jukes-Cantor und Molecular-Clock-Model für
  die Kanten).
• Das Modell ist hierarchisch, d.h. es ist egal ob
  zuerst der Gen-Baum nach dem Gen-Evolutions-Modell
  entwickelt wird und danach das
  Sequenz-Evolutions-Modell darauf angewendet wird
  oder umgekehrt.

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Definitionen einer Reconcilierung I
Formal Eine Reconcilierung eines Artenbaums S
und eines Genbaums G ist ein Paar
(g,G) wobei g eine Funktion ist
Das bedeutet Jeder Art ist eine Menge von Genen
zugeordnet. Beispiel u e g(x) - also u gehört
zu den Genen von X.
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Definitionen einer Reconcilierung II
Gwird zu G, sobald alle Knoten, mit nur
insgesamt zwei eingehenden und ausgehenden
Kanten, gelöscht wurden.
Beispiel G und G
Eine Reconcilierung g von G S
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Definitionen einer Reconcilierung III
1. Die Wurzel des Artenbaums, ist einem Gen im
Genbaum zugeordnet. 2. Für jedes Blatt im Genbaum
gibt es eine zugehörige Spezies im Artenbaum. 3.
Ein Gen kann nicht zu zwei Arten gleichzeitig
gehören. 4. Kein Gen einer Spezies kann in der
Reconcilierung Vor- oder Nachfahre von einem
anderen Gen der gleichen Spezies sein.
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Definitionen einer Reconcilierung IV
5. Wenn y und z ebensowenig voneinander
abstammen, wie ihre zugehörigen Gene v und w,
dann ist der letzte gemeinsame Vorfahre von y und
z an einer Gabelung und trennt v und w
voneinander. 6. Wenn x,y,z von einander
abstammen, stammen ihre zugehörigen Gene u,v,w in
gleicher Reihenfolge von einander ab.
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Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren (MCMC)

• Der hier verwendete Algorithmus basiert auf dem
  Metropolis-Hastings-Algorithmus, der zu den
  MCMC-Methoden gehört.
• In einem Zustandsraum wird durch eine zufällige
  Übergangswahrscheinlichkeit (proposal
  distribution) eine Markov-Kette aus Zuständen
  gebildet.
• Eine Akzeptanz-Wahrscheinlichkeit (der
  Metropolis-Hastings-Quotient) entscheidet, ob der
  Übergang von einem Zustand in den Anderen
  akzeptiert wird.

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Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren (MCMC) II

• Dieser Quotient sorgt dafür, dass die
  Markov-Kette sich nach einer gewissen Zeit
  (Burn-In) gerichtet einer stationären
  Zielverteilung nähert. Aus ihr werden später die
  Werte gesampelt.
• In dieser Zielverteilung sind die Zustände nach
  ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet. D.h. die
  wahrscheinlicheren Zustände werden öfter besucht,
  als die weniger Wahrscheinlichen.

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Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren (MCMC) II

Der Metropolis-Hastings-Quotient
vorgeschlagener neuer Zustand
alter Zustand
WS, dass aktueller Zustand X ist.
Übergangs-WS, von Zustand X nach Zustand Y.
gt Quotient gibt WS an, mit der neuer Zustand
akzeptiert wird.
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MCMC-Abschätzung der a posteriori WS-Verteilung
von Genbäumen

• Hier besteht der Zustand einer Markov-Kette aus
  einem Tripel
• (G, l, m) entsprechend Genbaum, Birth rate,
  Death rate.
• Die stationäre Ziel-Wahrscheinlichkeitsverteilung
  ist eine a posteriori-Verteilung von Genbäumen
  (posterior in Bezug auf F).
• Bei gegebenem F bekommen wir durch Sampeln aus
  dieser Verteilung folgende Wahrscheinlichkeit

Prinzip der bedingten WS nach dem Satz
von Bayes

• F ist die Menge aller zu betrachtenden
  Gensequenzen einer Genfamilie.
• gt F q1, ... , qn, wobei n die Anzahl aller
  Speziesarten ist.

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MCMC-Abschätzung der a posteriori WS-Verteilung
von Genbäumen

• l und m (Birth-Death-Prozess) werden zur
  Berechnung a priori angenommen und später durch
  die richtigen Werte aus den gesampelten
  Ergebnissen ersetzt.

• Die Berechnung der Akzeptanz-Wahrscheinlichkeit
  des neuen Zustands (G,l,m) durch den
  Metropolis-Hastings-Quotienten wurde etwas
  abgewandelt

Aktueller Zustand
Neuer Zustand

• ist die
  Likelihood.

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Berechnung der Likelihood

• Die Likelihood soll die Wahrscheinlichkeit
  abschätzen, dass im Gen-Evolutions-Prozess G der
  Genbaum, l die Geburtsrate und m die Todesrate -
  bei gegebenen Gensequenzen F - war.
• Da es für jeden Genbaum eine entsprechende
  Reconcilierung gibt, gilt diese
  Likelihood-Berechnung auch gleichzeitig als
  Wahrscheinlichkeit für die jeweilige
  Reconcilierung.

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Berechnung der Likelihood II

• Nach dem Prinzip der dynamischen Programmierung
  wird zur Berechnung der Likelihood einer
  Reconcilierung der Genbaum in sogenannte Sliced
  Subtrees zerlegt.
• Die Größe der Sliced Subtrees wird durch eine
  obere und eine untere Schranke begrenzt. Es sind
  komplizierte rekursive Gleichungen notwendig, um
  einen Genbaum in diese Teilbäume zu zerlegen, die
  hier aber nicht gezeigt werden.

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Definitionen eines Sliced Subtrees

• ist ein Sliced Subtree,
  für ltx,ygt e A(S) und u e g(x).
• Beispiel

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Definitionen eines Sliced Subtrees II

• ist noch mal ein spezieller
  Sliced Subtree, bei dem von vorneherein
  festgelegt ist, dass er nur eine Kante ltx,ygt lang
  und bei u gewurzelt ist. U ist ein Gen von X.
• Es gibt keine Spezies zwischen X und Y.
• Für jeden Sliced Subtree werden nun rekursiv
  Likelihood-Berechnungen angestellt.
• Die Ergebnisse dieser Rekursionsgleichungen
  ergeben zusammengesetzt dann die Likelihood einer
  speziellen Reconcilierung.

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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung

• ist definiert, als die
  WS, dass Gu und gu sich aus u in Sx entwickelt
  haben. D.h. X ist die Startspezies, u die Wurzel
  des Subtrees.
• ist die WS, dass sich
  und von u aus in Sx,y entwickelt haben.
  Y ist hier das Ende der Kante (Zielspezies).

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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung II

• Die Likelihood-Berechnung basiert auf folgenden
  rekursiven Gleichungen

Berechnung beginnt im Blatt der Sliced Subtrees
und steigt rekursiv immer einen Knoten höher.
X hat die Kinder y und z in S.
Berechnet linke und rechte Kante von X.
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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung III
eA betrachtet die Kante von X nach Y und setzt
sich aus mehreren Variablen zusammen, die
wiederum rekursiv berechnet werden müssen.
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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung IV
py(l) gt Wahrscheinlichkeit, dass der
Birth-Death-Prozess auch tatsächlich l Blätter
generiert hat.
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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung V
h(g,y,u) gt Wahrscheinlichkeit der Baumstruktur
(Topologie)
Der Birth-Death-Prozess generiert Labeled Trees
mit l Blättern und gleicher Wahrscheinlichkeit.
Aber nach Entfernen der Labels (Blattnamen) ist
eine Baumstruktur wahrscheinlicher als die
Andere. Während die History (zeitliche Abfolge
der Knoten) ohne Labels überhaupt keine Rolle
mehr spielt.
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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung V
Bsp Wahrscheinlichkeit der Baumstruktur
(Topologie)
12 Permutationen der Labeled Trees gt WS 2/3
6 Permutationen der Labeled Trees gt WS 1/3
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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung VI
Berechnung von h(g,y,u)
Rekursiv für linkes und rechtes Kind von u
Anzahl der Blätter des Sliced Subtrees - 1

• Blätter bekommen den Wert 1 zugewiesen.
• d kann den Wert 0 (bei gleicher Topologie) oder
  1 (verschieden) annehmen.
• Die rekursiven Teilgleichungen werden
  miteinander multipliziert.

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Berechnung der Likelihood für eine einzelne
Reconcilierung VII
Führt Kante zu weiteren Knoten wird ev noch mal
rekursiv gestartet.

• f(g,y,u) gt Anzahl der isomorphen
  (äquivalenten) Reconcilierungen
• Ähnliches Prinzip wie bei h.
• d bekommt nur den Wert 1 zugewiesen, wenn die
  Reconcilierungen am Anfang und Ende
  übereinstimmen und sie dürfen nicht genau gleich
  sein.

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Zusammenfassung

• Der eben vorgestellte Algorithmus erlaubt bei
  gegebener Gensequenz
• Eine Orthologische Analyse (Ist ein Genpaar
  ortholog?)
• Eine Genbaum-Rekonstruierung
• Eine Artenbaum-Rekonstruierung (analog zu
  Genbaum)
• Bei gegebenen Artenbaum ist es auch möglich die
  Wahrscheinlichkeit eines Genbaums zu errechnen.

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