Title: Fungsi Pembangkit (Generating Functions)
1Fungsi Pembangkit (Generating Functions)
2Fungsi pembangkit
- Fungsi pembangkit digunakan untuk
merepresentasikan barisan secara efisien dengan
mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam
deret pangkat suatu variabel x . - Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk
- memecahkan berbagai masalah counting,
- memecahkan relasi recurrence, dan
- membuktikan identitas kombinatorik.
3Definisi dan contoh
- Definisi.
- Fungsi pembangkit (generating function) untuk
barisan bilangan real a0, a1, , ak, adalah
deret pangkat tak hingga
- Contoh 1.
- Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak 5
adalah
- Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak
k3 adalah
- Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak
3k adalah
4Contoh 2
- Tentukan fungsi pembangkit dari barisan
- 1, 1, 1, 1, 1, 1
- Solusi.
- Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1
adalah - 1 x x2 x3 x4 x5
5Contoh
- Contoh 3.
- Fungsi pembangkit dari barisan
- 1, 1, 1, 1,
- adalah
- 1 x x2 x3
-
- Contoh 4.
- Fungsi pembangkit dari barisan
- 1, a, a2, a3,
- adalah
- 1 ax a2x2 a3x3
6Teorema 1
- Contoh 5.
- Misal f(x) 1/(1-x)2.
- Tentukan koefisien a0, a1, dalam ekspansi f(x)
? akxk. - Solusi.
Jadi, ak k1.
7Koefisien Binomial Diperluas
- Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak
negatif. - Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan
sebagai
- Contoh 6.
- Tentukan nilai dari
-
b.
8Teorema Binomial Diperluas
- Teorema 2.
- Misal x bilangan real dengan x lt 1 dan
- u bilangan real.
- Maka,
-
Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka
Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema
Binomial.
9Contoh 7
- Tentukan fungsi pembangkit untuk
- (1x)-n dan (1-x)-n,
- dengan n bilangan bulat positif.
- Solusi.
10Soal 1
- Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat
fungsi-fungsi berikut ini - 1/(1x)2
- 1/(1-2x)
- x4/(1-3x)3
-
11Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit
- Contoh 8.
- Tentukan banyaknya solusi dari n1 n2 n3 17,
bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif
dengan 2 ? n1 ? 5, 3 ? n2 ? 6 dan 4 ? n3 ? 7. - Solusi.
- Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17
dalam ekspansi - (x2x3x4x5) (x3x4x5x6) (x4x5x6x7).
- Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat
dengan mengalikan - xn1 pada faktor pertama dengan
- xn2 pd faktor kedua dan
- xn3 pada faktor ketiga
- yang memenuhi n1 n2 n3 17.
- Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3.
- Jadi, ada tepat 3 solusi.
12Contoh 9
- Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang
identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima
sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? - Solusi.
- Misalkan cn banyaknya cara membagikan n kue.
- Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan
tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak
ada suatu faktor yang berbentuk - (x2 x3 x4)
- dalam fungsi pembangkit barisan cn.
- Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya
adalah - (x2 x3 x4)3.
- Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari
x8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8
kue kepada 3 anak tadi.
13Soal 2
- Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik
kepada 4 polisi sehingga setiap polisi
mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7
donat.
14Contoh 10
- Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai
Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin
membayar suatu barang yang bernilai Rp. r,
apabila - urutan pemilihan diperhatikan atau
- tidak diperhatikan.
- Contoh.
- Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan
tidak diperhatikan, yaitu - (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp.
100) atau (Rp. 100, Rp. 500) - dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu
- (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp.
100), (Rp. 100, Rp. 500), atau - (Rp. 500, Rp. 100)
15Contoh 10
- Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan.
- Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan
berkali-kali, maka - faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100
adalah - 1 x x2 x3 ,
- faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500
adalah - 1 x5 x10 ,
- faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000
adalah - 1 x10 x20
- Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang
untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien
dari xr/100 dalam fungsi pembangkit - (1 x x2 x3 ) (1 x5 x10 ) ( 1
x10 x20 )
16Contoh 10
- Jika urutan pemilihan diperhatikan.
- Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan
untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien
xr/100 dalam - (x x5 x10)n
- Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah
pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan
mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah
koefisien dari xr/100 dalam - 1 (x x5 x10) (x x5 x10)2
17Soal 3
- Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
banyaknya cara untuk menukar uang 100 dengan
menggunakan pecahan - a) 10, 20 dan 50
- b) 5, 10, 20 dan 50
- c) 5, 10, 20 dan 50 bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali. - d) 5, 10 dan 20 bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih
dari 4 kali.
18Contoh 11
- Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung
banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda
berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu
obyek dari setiap jenisnya. - Solusi.
- Misalkan ar banyaknya cara memilih r obyek dari
n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih
sedikitnya satu objek. - Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek
dari setiap jenis, maka setiap jenis
menyumbangkan faktor - (x x2 x3 )
- pada fungsi pembangkit.
- Akibatnya, fungsi pembangkit G(x) dari barisan
ar adalah - G(x) (xx2 x3 )n
- xn(1xx2 x3 )n xn / (1-x)n .
19Contoh 11
- Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas
Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih.
20Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi Recurrence
- Contoh 12.
- Cari solusi relasi recurrence ak 3ak-1 untuk k
1, 2, 3, dengan kondisi awal a0 2. - Solusi.
- Misal G(x) fungsi pembangkit untuk barisan ak,
- Maka,
21Fungsi Pembangkit dan Pembuktian Identitas
- Contoh 13.
- Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan
Solusi. C(2n,n) adalah koefisien xn dlm ekspansi
(1x)2n. Akan tetapi, (1x)2n (1x)n2.
C(n,0)C(n,1)x C(n,n)xn2. Koefisien dari
xn dlm ekspansi ini C(n,0)C(n,n)
C(n,1)C(n,n-1) C(n,n)C(n,0). Ini sama dgn
? C(n,k)2, krn C(n,n-k) C(n,k). Karena C(2n,n)
dan ? C(n,k)2 menyatakan koefisien xn dlm (1x)2n
maka haruslah