MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES REPRESENTATION D

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MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES
DYNAMIQUESREPRESENTATION D ETAT SYSTEMES
LINEAIRE A TEMPS CONTINU

• Tarik AL ANI
• Laboratoire A2SI - Groupe ESIEE

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Commençons par introduire quelques définitions
  liées à la notion d état
• Définition IV.1 On appellera état d un
  système un ensemble de variables qui, étant
  connues à l instant initial, permettent de
  décrire l évolution de ce système.
• Définition IV.2 L ensemble de tous les états
  pouvant être pris par le système s appelle
  l espace des phases.
• Définition IV.3 On appellera processus
  évoluant de manière déterministe si ses états
  futurs sont caractérisés par la connaissance de
  ses états présents et passés.
• Définition IV.4 Un processus est dit fini si
  son espace des phases est de dimension fini,
  c est-à-dire si son état peut être décrit au
  moyen d un nombre fini de paramètres.
• Définition IV.5 Un processus est dit régulier
  si son espace des phases est ouvert de Rn et si
  son évolution peut être caractérisée par une
  fonction régulière (dérivable au sens
  mathématique).

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Le modèle d état est un autre alternative pour
  décrire un système linéaire de la forme
• est d utiliser une représentation d état.
• Equation d état Le modèle linéaire décrit par
  des variables d état est
• (I.1a)
• Les états décrient où l énergie est stockée dan
  le système. Par exemple, dans un schéma bloc, les
  états sont les sorties des intégrateurs,. Dans un
  circuit électrique, les états peuvent être les
  tensions des condensateurs et les courants des
  bobines. u(t) est l entrée de commande
  .

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases (suite)
• Equation d état (suite)
• Le modèle d état (I.1a) est une équation
  différentielle du premier ordre. La différence
  entre cette représentation et et la
  représentation classique est que x(t) et u(t)
  sont des vecteurs, et non pas scalaires
  . A est alors une matrice n x n et B est une
  matrice n x m. A est appelée matrice du système
  et B matrice de l entrée de commande. Si A et B
  sont des constantes, alors le système est système
  invariant dans le temps.
• Pour résoudre l équation (I.1a) il est
  nécessaire de connaître l entrée de commande
  u(t) et la condition initiale x(0) (Voir chapitre
  II). La définition de l état du système par
  Kalman L information supplémentaire nécessaire
  au temps t0 qui, avec l entrée u(t), spécifie
  la trajectoire x(t) pour tgt0.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases (suite)
• Equation de sortie
• (IV.1b)
• Cette équation décrit comment les sortie
  mesurées y(t), , sont obtenues à
  partir des états x(t) et des entrées u(t). Les
  sorties peuvent être choisies par le concepteur à
  un certain niveau, dépendant des capteurs
  disponibles.
• La matrice C est appelée matrice de sortie (r x
  n).
• La matrice D est appelée matrice d alimentation
  directe (r x m).

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
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• IV.1 Notion d état. Espace des phases (suite)
• Le modèle d état sera représenté par (A, B, C,
  D). C est une représentation matricielle
  convenable pour un système multi-variable (MIMO)
  à m entrées et r sorties. Fig. IV.1 montre un
  schéma bloc de ce modèle.

D
y(t)
x(t)

u(t)


1/s
C
B

A
Fig. IV.1 Schéma bloc du modèle d état
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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Tous les exemples (I.21-I.25) du chapitre I,
  paragraphe I.2, ont la propriété de pouvoir être
  décrits par des paramètres physiques qui
  permettent de déterminer l évolution future de
  ces systèmes. Reprenons ces exemples pour
  illustrer la notion d état.
• Exemple IV.1 Oscillateur harmonique (exemple
  I.21)
• L état de ce système est l écart à la position
  d équilibre (x) du centre de gravité de la
  masse. L évolution de x pour est
  entièrement déterminée par les valeurs
  et comme le montre l équation (I.1).

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
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• IV.1 Notion d état. Espace des phases.
• Exemple IV.2 Pendule (exemple I.22)
• Equation d état non linéaire
• Définissons le vecteur d état
• Alors l équation (I.2) peut être mise sous la
  forme d équation despace d état non linéaire
• Linéarisation Pour trouver une équation d état
  linéaire qui est valable pour des petites valeurs
  de l angle , nous pouvons écrire
  alors

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
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• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.2 Pendule (exemple I.22) (suite)
• Linéarisation (suite)
• ou
• qui est l équation déspace d état linéaire
  pour des petites valeurs de .
• Mesures En mettant un potentiomètre sur le
  point de pivotement nous pouvons mesurer
  l angle, ainsi l équation de sortie est
• où le constant ci dépend de la technologie de
  potentiomètre (tension appliquée, )

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• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.3 Circuit RLC (exemple I.23)
• Equation d état linéaire
• Considérons le circuit RLC de la figure I.21 et
  son équation dynamique (I.4). Définissons le
  vecteur d état
• Mesures
• Si nous souhaitons mesurer la tension sur R2,
  alors l équation de sortie est

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
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• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.4 Moteur à courant continu entraînant
  une charge (compliante ou non) (exemple I.24)
• Cas d une charge avec une arbre compliante
• Soit le vecteur d état , alors
  les équations (I.5b, I.5f et I.5g) peuvent être
  mises sous forme d équation d état

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.4 Moteur à courant continu entraînant
  une charge (compliante ou non) (exemple I.24)
  (suite)
• Cas d une charge avec une arbre non compliante
  (rigide)
• Soit le vecteur d état , alors les
  équations (I.5b et I.5i) peuvent être mises sous
  forme d équation d état

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.5 Pendule inversé (Exemple I.25)
• Equation d état non linéaire
• Définissons les états de la façon suivante
• Le vecteur d état , alors les
  équations (I.7b) peuvent être mises sous la forme
  non linéaire suivante

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.5 Pendule inversé (Exemple I.25)
• Linéarisation
• Les équations (I.7b) sont non linéaires. Pour
  mettre ce système sous forme d un modèle
  linéaire à espace d état, il faut effectuer une
  linéarisation autour d un point d équilibre.
  Autrement dit que le modèle sera valable pour des
  petites valeurs de p0 et de .
• Soit et alors

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.5 Pendule inversé (Exemple I.25)
  (suite)
• Equation d état
• Définissons les états de la façon suivante
• Le vecteur d état , alors les
  équations (I.7b) peuvent être mises sous la forme
  d un modèle à espace d état linéaire

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.1 Notion d état. Espace des phases
• Exemple IV.5 Pendule inversé (Exemple I.25)
  (suite)
• Equation d état (suite)
• Si Mgtgtm et f0, alors nous obtenons
  l approximation suivante

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe.
• IV.2.1 Introduction
• La notion de zéro d un système permet à la
  commande d améliorer les performance du système
  bouclé face à des erreurs de modèle, à des
  perturbations non mesurées.
• L avantage des méthodes externes, dites
  fréquentielles (voir chapitre III) est de
  permettre la définition naturelle de notions de
  robustesse telle que les marge de gain et de
  phase à partir de descriptions graphiques comme
  les diagrammes de Nyquist et de Bode. Notons
  aussi que l approche fréquentielle est
  naturellement adaptée au cas de systèmes pour
  lesquels il n est pas possible d obtenir un
  modèle mathématique satisfaisant à partir
  d équations de la physique.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
• Soit la fonction de transfert suivante
• où sont respectivement l entrée et la
  sortie du système, à représentation d état
  équivalente définie par les équations (IV.1a-b).
  La représentation (IV.1a-b) est dite une
  réalisation de la fonction de transfert définie
  par l équation (IV.2). L équivalence entre les
  deux représentations signifie que celles-ci
  engendrent une même sortie y(t) en réponse à une
  même entrée u(t) et des conditions initiales
  nulles.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable -
  cas mono-variable (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie
• Dans ce cas bi0 i1, , m.
• A conditions initiales nulles, l équation
  (IV.2) peut se réécrire sous la forme
• On prendra comme variables d état la sortie et
  ses (n-1) dérivées successives

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie (suite)
• Les équations d état sont alors
• (IV.4a)
• L équation de sortie est
• (IV.4b)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie (suite)
• En posant
• les équations (IV.4a-b) peuvent se mettre sous
  la forme matricielle suivante

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie (suite)
• Exemple IV.6 Considérons l exemple du moteur à
  courant continu entraînant une charge à travers
  un réducteur (exemple III.11). Son comportement
  est décrit par la fonction de transfert

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie (suite)
• Exemple IV.6 (suite)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas où les dérivées de l entrée n affectent pas
  la sortie (suite)
• Exemple IV.6 (suite)
• L équation différentielle de ce système est
  alors
• Le modèle d état de ce système est

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas de coefficients bi quelconques
• Dans ce cas, à conditions initiales nulles,
  l équation (IV.2) peut se réécrire sous la forme
  

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas de coefficients bi quelconques - cas
  (suite)
• Les variables d état seront définies comme suit
  

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas de coefficients bi quelconques - cas
  (suite)
• En posant
• les équations (IV.6b-d) nous permettent
  d écrire

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas de coefficients bi quelconques - cas
  (suite)

Fig. IV.2 Schéma bloc du modèle d état

u(t)
y(t)




xn
xn-1
x1
x2



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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Cas de coefficients bi quelconques - cas
  (suite)
• Exemple IV.7 Soit la fonction de transfert
• On désire lui trouver une représentation
  équivalente sous forme d état.
• Alors a31, a2 5, a1 1, a02, bl 0 pour tout
  lgt2, b1 1 et b0 2. A partir de l équation
  (IV.6d), nous obtenons

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.2 Relation entre la représentation par
  équations d état et la représentation externe
  (suite)
• IV.2.2 Passage de la représentation de sortie à
  la représentation d état - cas mono-variable
  (suite)
• Remarques
• A la lumière des exemples (IV.6) et (IV.7), nous
  remarquons que les variables d état ne sont pas
  toujours des grandeurs mesurables directement.
  Dans ces exemples, uniquement x1 est directement
  (à un coefficient près).
• Il existe plusieurs formes d équation d état
  qui peuvent être obtenues à partir des fonctions
  de transfert. Parmi ces formes, les formes
  canonique de commandabilité (forme compagne pour
  la commande) et les formes canoniques de
  lobservabilité (forme compagne pour
  l observation) .
• Ces formes seront détaillées plus loin.

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TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
• Après la mise en équation d état d un système
  dynamique, il faut résoudre cette équation.
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe
• Considérons le système d état décrit par les
  équations (IV.1a-b) en supposant que les matrices
  A, B et C sont constantes.
• En effectuant la transformée de Laplace des deuc
  côté de l équation (I.1a), nous obtenons

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Soit I la matrice identité n x n, nous pouvons
  écrire

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Maintenant l équation de la sortie (I.1b)
  s écrit
• La matrice est appelée
  matrice fondamentale  resolvent matrix . Alors
  la solution dans le domaine frequentielle est

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Les équations (IV.9a-b) , chacune consiste de
  deux parties un partie qui dépend des
  conditions initiales x(0)x0 (solution libre 
   zero-input response , u(t)0) et une (la
  solution forcée  zero (initial)-state
  response ) qui dépend de l entrée de commande
  u(t).
• La fonction de transfert d un système est
  définie par
• Y(p)H(p)U(p), quand x00 (IV.10)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• alors les équations (IV.9b-c) et (IV.10) nous
  permettent de calculer H(p) étant donné le
  système (A, B, C, D)
• La sortie du système pour des conditions
  initiales non nulles est calculée par (IV.9b)
• Les deux expressions (IV.11-12) sont aussi
  valables pour un système linéaire multi-variable.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• La matrice fondamentale est donnée par

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Les racines de l équation caractéristique
• sont les pôles du système multi-variables (A, B,
  C, D).
• L ordre d un système linéaire, qui est
  l ordre de son équation caractéristique, est
  égal à la dimension de son éspace d état Rn.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Les zéros d un système multi-variable
• Les zéros du système multi-variable ne sont pas
  simple à définir, puisque H(p) est une matrice de
  polynômes d ordre r x m. Les zéros des éléments
  individuels ne signifie pas beaucoup de choses de
  point de vue de la commande multi-variable.
• Si rm tel que H(p) est une matrice carrée, nous
  pouvons définir les zéros comme les racines de
  l équation de polynômes
• (IV.16)
• Si les zéros se produisent quand H(p) perd
  son rang.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Système propre et système strictement propre
• Les termes de la matrice adj(pI-A) sont les
  mineurs d ordre (n-1) de la matrice (pI-A). Ces
  mineurs sont tous des polynômes de degré
  inférieur ou égal à (n-1). Alors
• On dit alors que le système en question est
  propre (mn, pour une fonction de transfert
  définie par l équation IV.2) si D 0.
• Si D0 le système est dit strictement propre
  (mltn, pour une fonction de transfert définie par
  l équation IV.2).

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Système propre et système strictement propre
  (suite)
• Si le système est non propre
  (physiquement irréalisable)
• (mgtn pour une fonction de transfert définie par
  l équation IV.2).
• En pratique, la plupart des systèmes physiques
  sont strictement propres (D0).

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Exemple IV.8 Système multi-variable à deux
  entrées u1 et u2 et deux sorties y1 et y2 décrit
  par

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Exemple IV.8 (suite)
• Définissons comme variables d état
• Alors, le système peut être décrit par la
  représentation d état suivante

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Exemple IV.8 (suite)
• Calculons maintenant H(p)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Pluralité de la représentation d état
• Soit un système décrit par une représentation
  d état (équations IV.1a-b)
• Soit Q une matrice régulière quelconque. La
  transformation linéaire z(t)Qx(t) définit un
  changement de base dans l espace d état Rn. La
  nouvelle base étant constituée par les vecteurs
  colonnes de Q-1 x(t) Q-1 z(t). Dans ce cas les
  équations IV.1a-b deviennent

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Pluralité de la représentation d état (suite)
• Les deux représentations (IV.18a-b) et (IV1a-b)
  sont équivalentes en un sens que pour un même
  signal d entrée u(t) et pour les mêmes
  conditions initiales (x(t0)Qz(t0)) elles
  engendrent un même signal de sortie y(t). Seul la
  trajectoire du vecteur d état change d une
  représentation à une autre.
• Ainsi un système linéaire possède une infinité
  de représentations d état équivalentes (autant
  de représentations que de matrices régulières.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Pluralité de la représentation d état (suite)
• Un système linéaire possède par contre une
  fonction de transfert unique. En effet en
  appliquant l équation (IV.11) à la
  représentation (IV.18a-c) nous obtenons la
  fonction de transfert de cette représentation

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine fréquentielle -Passage
  d une représentation d état à une
  représentation externe (suite)
• Pluralité de la représentation d état (suite)
• L unicité de la fonction de transfert
  impliquent celle de ces grandeurs
  caractéristiques. Plus particulièrement, on peut
  affirmer que l ordre, les pôles et les zéros
  d un système linéaire sont des invariants de
  celui-ci, ils ne varient pas à la suite d un
  changement de base de lespace d état.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel
• Cas des systèmes autonomes (libres) - Notion de
  matrice de transition
• Définition Soit un système linéaire décrit par
  un modèle d état (IV.1a-b). Un système est dit
  autonome (ou libre) quand le signal d entrée
  u(t) est identiquement nul.
• Ainsi, un système possède une équation d état
  homogène
• L exponentielle d une matrice A doit
  satisfaire la série de convergence

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes autonomes - Notion de matrice
  de transition (suite)
• Propriétés de la matrice de transition
• Un nombre important de propriétés de
  l exponentielle matricielle sont partagées avec
  les propriétés de l exponentielle scalaire

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes autonomes - Notion de matrice
  de transition (suite)
• Propriétés de la matrice de transition (suite)
• Attention A l opposé au cas scalaire (a . bb .
  a), les multiplications des matrices n est pas
  commutative. Par conséquent

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes forcés
• Effectuons la transformée inverse de Laplace de
  l équation (IV.9a)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes forcés (suite)
• Maintenant, l équation de sortie (IV.9b) nous
  permet de trouver la solution de la sortie
  mesurée

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes forcés (suite)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Stabilité interne et externe
• Comme nous l avons vu au chapitre III, la
  stabilité du système est déterminée par les modes
  propres définis par les pôles de la fonction de
  transfert H(p). Ainsi l analyse da la stabilité
  interne et/ou externe reste valable.
• Les pôles du système sont déterminé par
  l équation de polynôme caractéristique (IV.15 ).
  

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes forcés (suite)
• Exemple IV.9 Déterminer la réponse à un échelon
  unité du système linéaire décrit par les
  équations d état

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Solution dans le domaine temporel (suite)
• Cas des systèmes forcés (suite)
• Exemple IV.9 Déterminer la réponse à un échelon
  unité du système linéaire décrit par les
  équations d état

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état et
  stabilité -Exemples
• Exemple IV.10 Système obéissant à la loi de
  Newton du mouvement Fma.
• Définissons l équation détat

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.10 (suite)
• a. Matrice de transition
• b. Pôles du système
• Le polynôme caractéristique est
• Le système possède alors deux pôles à l origine
  et il est instable.
• Etant donné une vitesse initiale v(0), la
  position d(t) sera linéairement augmentée selon
  une fonction rampe.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.10 (suite)
• c. Fonction de transfert
• d. Matrice de transition d état
• Cette équation montre que (ou eAt ) est
  toujours une combinaison linéaire des modes
  naturels de A.
• Le premier terme correspond au mode naturel avec
  un pôle à l origine, provenant de l échelon
  unité.
• Le second terme correspond au mode naturel avec
  deux pôles à l origine est la rampe unité.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.10 (suite)
• e. Réponse impulsionnelle

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.10 (suite)
• f. Solution de l équation d état
• Supposons que le vecteur d état initial est
  donné par et l entrée est une accélération
  constante a. Alors en utilisant (IV.19)
• L entrée u(t) possède une valeur constante a
  appliquée à t0, tel que

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.10 (suite)
• f. Solution de l équation d état (suite)
• Ce sont les lois du mouvement sous une
  accélération constante.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état et
  stabilité -Exemples
• Exemple IV.11 Oscillateur harmonique amorti
• Soit le système
• Remarque Ce modèle est le même que celui du
  pendule (Exemple IV.1) si

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.11 (suite)
• a. Pôles du système
• Le polynôme caractéristique est
• Le système est un oscillateur harmonique amorti
  avec une fréquence propre , fréquence
  d oscillation et un taux d amortissement
  

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.11 (suite)
• b. Matrice de transition

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.11 (suite)
• c. Fonction de transfert
• d. Matrice de transition d état
• Cette équation montre que (ou eAt ) est
  toujours une combinaison linéaire des modes
  naturels de A.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.11 (suite)
• e. Réponse impulsionnelle

h(t)
t
Fig. IV.3
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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Exemple IV.11 (suite)
• f. Solution de l équation d état ( sortie du
  système)
• Supposons que l entrée u(t) est
• et
• En utilisant
• nous obtenons

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Simulation de la solution de l équation d état
  par ordinateur
• Nous venons de voir comment résoudre
  analytiquement les équations d état d un
  système continu. Il est important de simuler ses
  système par un ordinateur numérique pour obtenir
  les réponses temporel de leurs trajectoires.
• Il est simple de simuler n importe quel système
  formulé sous forme d état (forme linéaire ou non
  linéaire, stationnaire ou non stationnaire)

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état
  (suite)-Exemples
• Simulation de la solution de l équation d état
  par ordinateur (suite)
• Les logiciels de simulation (Scilab,
  Matlab,)possèdent une fonction F recevant (x(t),
  u(t), t) comme arguments d entrée et la dérivée
  de x comme sortie.
• Un algorithme d intégration permettent ainsi
  d intégrer numériquement la dynamique décrite
  par l équation (IV.26) pour obtenir des tracés
  des trajectoires du système.
• L argument t est introduit uniquement dans le
  cas d un système non stationnaire. En utilisant
  cette fonction, l algorithme d intégration
  (Runge-Kutta, par exemple).calcul le nouveau état
  et la nouvelle sortie à tTs, où Ts est le pas
  d intégration.
• L algorithme d intégration de Rung-Kutta, par
  exemple, fait appel quatre fois à la fonction F
  pendant une période d intégration Ts. Pendant
  cette période, u(t) devrait être maintenu
  constant.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.3 Solution d une équation d état (suite)
• Simulation de la solution de l équation d état
  par ordinateur (suite)
• Exemple IV.12
• Les équations d un oscillateur de van der Pol
  sont

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.4 Calcul de la matrice de transition
• L expression (IV.23a) du vecteur d état
  nécessite le calcul de la matrice de transition.
  A cette fin on dispose d un ensemble de méthodes
  d application plus ou moins générale. Dans ce
  paragraphe, nous donnons quelques unes.
• 1. Méthode par diagonalisation de la matrice
  d état
• Définissons la valeur propre d une matrice
  carrée A comme les valeurs
  pour lesquelles la matrice caractéristique
• sont les pôles du système possédant A
  comme matrice du système.

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.4 Calcul de la matrice de transition (suite)
• Puisque les matrices sont
  singulières par définition de ,
• nous pouvons maintenant trouver des vecteurs
  dans leurs espaces nuls, tel que
• ou
• Cette relation signifie que les vecteurs
  sont privilégiés en un sens quils ne sont pas
  tournés par A, mais ils sont uniquement étalonnés
  par le facteur (tous les vecteurs qui ne
  sont pas dans la même direction que seront
  ainsi tournés dans la direction de .

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.4 Calcul de la matrice de transition (suite)
• Le vecteur est appelé vecteur propre
  associé à . Il existe n valeurs propres.
  Supposons qu il existe n vecteurs propres,
  l équation (IV.28) permet alors d écrire
• Définissons la matrice modale
• et la matrice diagonale

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REPRESENTATION D ETAT SYSTEMES LINEAIRE A
TEMPS CONTINU

• IV.4 Calcul de la matrice de transition (suite)
• Alors
• Si les vecteurs propres sont linéairement
  indépendants, alors M est une matrice non
  singulière, ainsi
• La transformation de l espace
  d état convertie la matrice A à une forme
  particulière qui est diagonale dont les
  composantes sont les valeurs propres de A.