ANALYSE%20CEPSTRALE

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ANALYSE CEPSTRALE

• Définitions et applications

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ANALYSE CEPSTRALE contenu

• Annulation d écho
• Définitions
• cepstre de puissance
• cepstre complexe
• propriétés
• Quelques applications
• mesures de fonction de transfert et de
  coefficient de réflexion
• annulation d échos
• analyse des vibrations d engrenages

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ANALYSE CEPSTRALE le problème de l annulation
d échos

• x(t) s(t) sr(t)
• s(t) son direct , sr(t) son réfléchi
• le problème de l annulation d échos
• comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer
  l écho ?

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Signal Echo formulation du problème

• Hypothèses simplificatrices
• la réflexion ne génère qu un retard et une
  atténuation
• sr(t) a0.s(t-t0)
• x(t)s(t)a0.s(t-t0)
• Dans le domaine fréquentiel

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Signal Echo illustration

• Domaine temporel
• Domaine fréquentiel

t0
6
Signal Echo propriétés de la phase
Imag
1
Réel
2.pi.f.t0
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Signal EchoEffet du logarithme

• On prend le  Log  pour rendre additif l effet
  de l écho
• On en prend la Transformée de Fourier (inverse)

f
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Le cepstrePlusieurs définitions

• Cepstre de puissance
• Cepstre complexe

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Cepstre de puissancePropriétés

• Cx(?) TF-1(Ln(Sxx(f))2
• fréquence ? temps
• relation avec la fonction d autocorrélation
• R(?)TF-1 (Sxx(f))
• Sxx(f) est réel et pair
• ? le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR

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Cepstre complexePropriétés

• Cx(?) TF-1Ln(X(f)
• X(f)XRéel(f) j.XImag(f)X(f).ej?(f)
• Ln(X(f))LogX(f) j. ?(f)
• x(t) est réel ? Xréel pair et Ximag impair
• ? ?(f) est impair
• X(f) est pair ? Ln X(f) est pair
• le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL

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Cepstres de puissance et complexeCas de signaux
à minimum de phase

• Soit x(t) , X(f) TF(x(t)) X(f).ej?(f)
• x(t) à minimum de phase ? HlnX(f) ?(f)
• Cx(?) TF-1  Ln (X(f)) LnX(f) j. ?(f)
• Cx(?) est réel et causal (?gt0)
• c est la somme dune partie paire et d une
  partie impaire
• TF-1LnX(f)2 est la partie paire,
• ie, le cepstre de puissance
• TF-1?(f) est la partie impaire,
• ie, le cepstre de phase

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Cepstre complexeRedéploiement de la phase

• Cx(?) TF-1  Ln (X(f)) LnX(f) j. ?(f)
• pour évaluer ?(f), on obtient une fonction
  variant entre -? et ? , qu il est nécessaire
  de  redéployer  (Unwrapping)
• ?(f) doit être une fonction continue en f. Il
  existe des algorithmes dédiés (algorithmze de
  Triboulet 1977)

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Cepstre Propriétés, application à la
déconvolution

• Système linéaire
• temps y(t)h(t)x(t) produit de convolution
• fréquence Y(f)H(f).X(f) produit
• cepstre Cy(?) Ch(?) Cx(?) somme (du fait
  du Log!)
• d où les applications de déconvolution pour
  séparer x (t) (l entrée) de h(t) (le milieu)
• annulation d échos,
• identification des sources (sismique, etc..)

x(t)
y(t)
h(t)
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Déconvolution via le cepstre Exemple
de l annulation d échos

• x(t)s(t)a0.s(t-t0), X(f)S(f)1a0.e-2?jft0
• cx(t) cs(t) TF-1Ln(1a022a0.cos(2 ?ft0)
• on  liftre  ? cs(t)
• S(f) TFexp(cs(t)) et s(t)TF-1S(f)
• remarque
• le processus de reconstruction suppose les
  signaux à minimum de phase

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Cepstre complexe Exemple d annulation d échos
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CepstreVocabulaire

• vocabulaire (Bogert 1963)
• Spectre Cepstre
• Fréquence Quéfrence
• Filtrage Liftrage
• Harmonique Rahmonique
• Période Répiode
• Phase Saphe
• Amplitude Gamnitude

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CepstreANNEXES

• A Propriétés de symétrie et de parité par
  Transformées de Fourier Directe et inverse
• B Systèmes à minimum de phase
• C caractérisation de matériaux (acoustique)

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Annexe A Propriétés de la Transformée de
Fourier (1/3)

• ie, x(t) ? X(f) ? x(-t) ? X(-f) ? x(t)
• TF directe sur x(t) TF inverse sur x(-t)

F
F
F
F
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Annexe A Propriétés de la Transformée de
Fourier (2/3)

• x(t) réel X(f) X(-f)
• Re(X(f)) Re(X(-f))
• Im(X(f) - Im(X(-f))
• x(t) réel pair x(t) x(-t)?X(f)X(-f)
• Im(X(f)) 0
• x(t) réel impair x(t) -x(-t)
• Re (X(f)) 0

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Annexe A Propriétés de la Transformée de
Fourier (3/3)

• Signal temporel Spectre
• réel, pair réel, pair
• réel, impair imag, impair
• imag, pair imag, pair
• imag, impair réel, impair
• réel complexe conjugué pair
• complexe conjugué pair réel

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Annexe B Systèmes à minimum de phase (1/2)

• Plusieurs définitions
• x(n) est à minimum de phase ssi
• lnX(w) et Arg(X(w)) forment une paire de
  Hilbert
• HLnX(w) Arg(X(w))
• un système linéaire de fonction de transfert H(w)
  est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et
  d inverse stable, ie,
• ses pôles et ses zéros sont à l intérieur du
  cercle unité (système discret),
• ou à gauche de l axe jw (système continu)

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Annexe B Systèmes à minimum de phase (2/2)

• X1(f) TF(x1(t)) X2(f) TF(x2(t))
• (1) ? X1(f) ? ? X2(f) ?
• (2) Arg(X1(f))gtArg (X2(f))
• Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées
  quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est
  dit à phase minimum.( en réalité maximum)

x2(n)
x1(n)
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Annexe C Caractérisation de matériaux (1/3)

• Caractérisation acoustique dun matériau
• x(t) p(t) (r1 /r2).p(t)h(t-t0)
• r1, r2 coefficients de réflexion
• t0(r2-r1)/c
• X(f)P(f)1(r1/r2).H(f).e-2?fto
• on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de
  la surface réfléchissante
• ou on veut estimer r1, r2

Haut parleur
micro
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Annexe C Caractérisation de matériaux (2/3)

• Expression du cepstre de puissance
• X(f)2P(f)2.1(r1/r2).H(f). e-2?fto
  .1(r1/r2).H(f). E2?fto
• on utilise le développement
• Ln(1z)z-z2/2 z3/3,. Pour zlt1
• d où 2.Ln X(f) 2.Ln(P(f) (r1/r2).H(f).
  E2?fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E2?fto)2
  1/3.(r1/r2)3 .H(f). E2?fto ...
• le cepstre est de la forme
• Cx (t) Cp(t) (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(
  t-t0) Ch(t-t0)...
• X (t) P(t) (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t
  0) h(t-t0)...

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Annexe C Caractérisation de matériaux (3/3)

• Illustration du cepstre de puissance
• on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est
   séparable 

P(t)
a1.h(t-t0)
a2.h(t-t0) h(t-t0)
2t0
t0