Analyse Spectrale de Fourier - PowerPoint PPT Presentation

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Analyse Spectrale de Fourier

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transform e de Fourier de la Fonction d 'autocorr lation. moyenne (d 'ensemble) du module carr de la T de ... interpolation entre les points DFT calcul s sans l 'ajout de z ros ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Analyse Spectrale de Fourier


1
Analyse Spectrale de Fourier
  • - définition de la densité spectrale de puissance
  • - erreurs aléatoires propriétés des estimateurs
  • - effet de biais
  • - effet des fenêtres fuites
  • - les Unités

2
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de
puissance définition
  • x(n)  signal  aléatoire, stationnaire
    (ergodique)
  • n -?,?
  • ?T1
  • 2 formulations équivalentes
  • transformée de Fourier de la Fonction
    d autocorrélation
  • moyenne (d ensemble) du module carré de la T de
    Fourier

3
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de
puissance estimateur
  • x(n)  signal  aléatoire, stationnaire
    (ergodique)
  • n -1,N, nombre de points fini
  • ?T1
  • 2 estimateurs (équivalents quand Ngtgtgt?)
  • corrélogramme
  • périodogramme

4
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du
périodogramme
  • On utilise l estimateur du périodogramme
    calcul avec la FFT.
  • Propriétés de l estimateur
  • biais ?E Sxx/per(k) Sxx(k) quand Ngtgt??
  • sans biais asymtotiquement
  • variance ? ESxx/per(k)- ?² ? S²xx/per(m)
  • la variance est très importante !!

5
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du
périodogramme
Bruit blanc filtré passe-bas superposition de 20
FFT² calculées sur des tranches de 256 points
6
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
Moyenné contrôle de la variance(1)
  • D où l idée de moyenner l estimateur du
    périodogramme sur plusieurs  tranches  du
    signal. (Moyenne d ensemble) -WELCH-

N points par tranche
M
1
2
m
SM
S1
S2
Sm
(? Sm)/M
S
7
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
effet du moyennage
Bruit blanc filtré passe-bas moyenne de 2 FFT²
calculées
Moyennage de 20 FFT²
8
Analyse Spectrale de Fourierpropriétés du
périodogramme moyenné
  • Le moyennage permet de diminuer la variance. Le
    biais ne change pas puisqu il ne dépend que de N
    (longueur chaque tranche).
  • Propriétés de l estimateur
  • biais ?E Sxx/per/moy(k) Sxx(k) quand
    Ngtgt??
  • sans biais asymtotiquement
  • variance ESxx/per/moy(k)- ?² ? S²xx(k)/M
  • la variance diminue en 1/M !!
  • Écart-type ?S(k)/?M
  • ps les résultats sont obtenus en supposant une
    distribution gaussienne ainsi qu une
    indépendance des tranches.

9
Analyse Spectrale de FourierPériodogramme
Moyenné par recouvrement
  • il faut augmenter M pour diminuer la variance
  • le TEMPS d ANALYSE Tmax gtN.M.?T peut être
    prohibitif

N points par tranche
1
2
m
M
S1
S2
Sm
SM
(? Sm)/M
S
10
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
moyenné recouvrement(2)
  • Une méthode pour diminuer Tmax . On fait
    recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne
    sont plus  indépendantes 
  • la variance décroît moins vite avec N
  • les fenêtres contribuent à rendre  
    indépendantes  les tranches

Fenêtre rectangulaire
Fenêtre type Hanning
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Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
contrôle du biais
  • Estimateur asymtotiquement non biaisé
  • il faut augmenter N (c est-à-dire augmenter la
    résolution fréquentielle) pour diminuer le biais
  • ?si ?f 1/N?T trop grand
  • sous estimation des maximum (pics)
  • sur-estimation des minimum
  • en général ?T fixé par l analyse ? N?
  • une régle pratique pour un  pic  de largeur
    ?f0
  • il faut choisir N tel que ?f 1/N?T lt ?f0/4
  • pour un système à 1ddl avec amortissement
    visqueux .
  • ?f02 fr ?r fr f résonance ?r amortissement
    réduit

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Analyse Spectrale de Fouriereffet des fenêtres
exemple
  • Démo  fuites  (voir DFT)
  • 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une
    raie FFT
  • 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2
    raies
  • - comparaison des fenêtres de Hanning et
    rectangulaire
  • l effet des raies latérales dues à une fenêtre
    font augmenter la puissance .
  • Ceci est corrigé en divisant par  la puissance
    équivalente de la fenêtre . Voir tableau
    chapitre  DFT . La correction est faite sur les
    analyseurs.

13
Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros
zeros padding
  • Objectifs
  • augmenter la taille de la tranche pour avoir N
    puissance de 2
  • augmenter la résolution ???
  • Intérêts les transitoires, signaux courts
  • résultats
  • interpolation entre les points DFT calculés sans
    l ajout de zéros
  • la fonction d interpolation est liée à la
    fenêtre de pondération l

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Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros
exemple
  • démo fouzéros

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
continus
  • Signaux périodiques
  • Signaux non-périodiques

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
discrets
  • Discret
  • T ? N.?T
  • dt ? ?T
  • df ? ? f1/N ?T
  • ? ? ?
  • l ENERGIE totale T N.?T
  • V².sec
  • or à cause de la division par N dans la DFT
    inverse, Parseval s écrit
  • rem on introduit un facteur 2 pour tenir compte
    des fréquences négatives

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Analyse Spectrale de FourierUnités résumé
  • x( ) en Volts
  • Puissance DS Puissance Energie DS Energie
  • V² V²/Hz V².sec V².sec/HzV².sec²
  • amplitude
  • V V/?Hz V. ? sec V.sec

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
discrets, exemple
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