EL SIGLO XIX

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EL SIGLO XIX

• Eduard Robayo
• Oscar Bernal
• Fabian Ferrucho

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1. La matemática y el siglo XIX

• Muy fecundo (más científicos y trabajos)
• Sociedades y revistas
• Reuniones Nacionales e Internacionales
• Zurich, 1897
• M. Cantor Historia de la Matemática hasta el
  siglo XVIII (4 volúmenes)

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1. La matemática y el siglo XIX

• Recupera unidad y autonomía perdida desde tiempos
  helenísticos.
• Vasto conjunto de conocimientos
• Aritmética, teoría de números
• Geometría elemental, analítica y descriptiva
• Álgebra
• Cálculo infinitesimal

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1. La matemática y el siglo XIX

• Propiedades Geométricas en distintas ramas.
• Inteligencia Pura lt- Griegos
• Método experimental
• Perfección Geometría griega
• Renacimiento y métodos analíticos
• Texto de Euclides.

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1. La matemática y el siglo XIX

• Débiles Métodos infinitesimales sistematizados
  por Euler.
• vagos infinitamente pequeños que eran cero y no
  eran cero
• Fue aceptado por casi 2 siglos.
• Dinamismo de la época
• Conciencia de utilidad, leyes naturales.

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1. La matemática y el siglo XIX

• Se consolidaran con el naturalismo
• Filosofía kantiana relación con los conceptos
  metafísicos del tiempo y espacio
• Cambio en sus fundamentos.

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Las geometrías no euclidianas
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2. Las Geometrías no Euclidianas

• Primera mitad del siglo XIX
• El alemán Gauss, astrónomo, físico, geodesta y
  por sobre todo matemático.
• Johann Friedrich Pfaff, ecuaciones con derivadas
  parciales, y la escuela combinatoria.

• Gauss

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• Carl Friedrich Heidenburg, polinomios finitos e
  infinitos como la piedra angular del análisis
  matemático.
• Retomando a Gauss este se dedico especialmente a
  la teoría de números y a la geometría
  diferencial.
• Su primer descubrimiento anotado fue la
  construcción del eptadecágono con regla y compás.

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• En su tesis de doctorado (1799), Gauss aporta la
  primera demostración del Teorema fundamental del
  álgebra
• Dos años después publica sus Disquisitiones
  Arithmeticae, que trata sobre teoría de números.
  Además llega al resultado de poder construir con
  regla y compás los polígonos regulares cuyo
  numero de lados es primo y de la forma
• Otras cuestiones tratadas por Gauss sumas de
  Gauss, la teoría de los números bicuadráticos, e
  introduce los números complejos enteros
• Esta misma representación de los números
  complejos fue encontrada independientemente por
  el danés Carl Wessel (1797), y por el suizo Jean
  Robert Argand (1806)
• A Gauss se le debe la primera tabla de logaritmos
  de adiciones (1812), cuya idea inicial surgió del
  físico italiano Giuseppe Zecchini Leonelli
  

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• En 1827 presenta sus Disquisitiones generales
  circa superficie curvas, alli fundamenta el
  estudio de la geometría diferencial de las
  superficies
• En el estudio de la serie hipergeometrica (1811),
  Gauss introduce el concepto de convergencia y
  generaliza al campo complejo la función

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• Los primeros intentos de la geometría no
  Euclidiana eran del siglo anterior, por parte de
  Gerolamo Saccheri (1733) en su Euclides...vindicat
  us.
• Las consideraciones de Lambert que aparecen en
  Zur Theorie der Parallellinien, en las que este
  parte de cuadrilátero trirrectángulo isósceles y
  considera las tres hipótesis de un cuarto ángulo
  del cuadrilátero.
• Si este ángulo es recto se llega a la geometría
  de Euclides
• Si es obtuso lleva a una contradicción contra el
  postulado de Arquímedes, por lo que supone falsa
  esta segunda hipótesis

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• Legendre también llego a resultados similares.
• Gauss no publico nada acerca de las paralelas,
  pero otros matemáticos si trabajaron en este tema
  como fueron Ferdinand Karl Schweikart (1818), así
  como (1824), este último llamo geometría
  logaritmo esférica (al pasar del radio real a
  uno imaginario, las funciones circulares se
  convertían en hiperbólicas, que a su vez son
  combinaciones de exponenciales inversas a las
  logarítmicas).
• También llegaron a la conclusión de Gauss de que
  podía erigirse un sistema geométrico prescindente
  del postulado de las paralelas de manera
  independiente los matemáticos Janos Bolyai,
  húngaro y Nicolaus Ivanovich Lobachevski, ruso.

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• En la segunda etapa del desarrollo de las
  geometrías no euclidianas, se completa el cuadro
  de estas geometrías y se les estudia con nuevas
  direcciones, métrico-diferencial y
  métrico-proyectiva.
• La dirección métrico-diferencial se inicia con
  Georg Friedrich Bernhard Riemann.
• Sus ideas principales se vieron en su disertación
  en 1854 sobre las hipótesis en las que se
  fundamenta la geometría, allí analiza el
  comportamiento infinitesimal de una multiplicidad
  de un número de dimensiones cualquiera.

• Riemann

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• En este aparece la diferencia entre infinito e
  ilimitado, lo primero pertenece a las relaciones
  de la extensión, lo segundo a las relaciones
  métricas.
• Unas de las consecuencias de las consideraciones
  de Riemann fue la ampliación del cuadro de las
  geometrías no euclidianas y la introducción de la
  geometría elíptica.
• Con este estudio de los espacios de Riemann hoy
  día tienen importancia las superficies de
  curvatura constante (planos y la esfera).

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2. Las Geometrías no Euclidianas

• En la dirección métrico-proyectiva aparece en
  1859 cuando Arthur Cayley logra la subordinación
  de las propiedades métricas (distancia entre dos
  puntos, ángulo entre dos rectas, etc.) a las
  propiedades graficas.
• Demostró que las propiedades métricas se traducen
  en propiedades proyectivas de sus elementos, si
  se relacionan estas con los elementos de una
  cónica.

• Cayley

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La aritmetización del análisis
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La aritmetización del análisis

• Encontrar una base firme en la aritmetica para el
  Calculo infinitesimal

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3. La aritmetización del análisis

• Bernard Bolzano
• Concepto de función continua.
• Criterio de convergencia de series.
• Existencia de funciones continuas sin derivada.

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3. La aritmetización del análisis

• AgustinLouise Cauchy
• Precisión en las definiciones
• y delimitación del campo de
• validez de las formulas.
• Concepto de integral.
• En las series fija claramente su convergencia y
  elimina las divergentes en su análisis.
• Teoría de funciones analíticas.
• Extiende la serie de Taylor a las funciones de
  variable compleja. Integral de Cauchy.

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3. La aritmetización del análisis

• AgustinLouise Cauchy
• Teoría de los polos y de los residuos de la serie
  de Taylor.
• Estudios acerca de los determinantes, de teoría
  de números y teoría de grupos de sustituciones.
• Investigaciones algebraicas sobre eliminación y
  separación de raíces complejas.
• Temas de Física Matemática.

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3. La aritmetización del análisis

• Niels Henrick Abel
• Se ocupo de las Series y
• teoría de funciones.
• Junto con Jacobi es el
• creador de las funciones
• elípticas .
• Generalizo las funciones elípticas, hoy
  denominadas funciones abelianas.
• Inaugura una nueva rama del calculo
  infinitesimal Las ecuaciones Integrales.

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3. La aritmetización del análisis

• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Sistematizador del estudio de
• las funciones elípticas mediante
• el algoritmo de las Series,
• expuesto en su Fundamento
• Nova Theoria Functionum Ellipticarium de 1829.
• Teoría de Números Continuo las investigaciones
  de Gauss en restos cúbicos.
• Estudios sobre los determinantes.
• Calculo de las variaciones y de integración de
  ecuaciones diferenciables.

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3. La aritmetización del análisis

• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Expuso la formulación mas general de función como
  correspondencia entre dos conjuntos de números,
  cualquiera sea el modo de establecer esa
  correspondencia.
• Estableció las condiciones para que una función
  pueda desarrollarse en serie de Fourier.
• Series absolutamente convergentes.

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3. La aritmetización del análisis

• Riemann
• Al concepto de integral definida le
• incluye el caso en que la función
• admita infinitas discontinuidades,
• siempre que se mantenga acotada.
• Realizo los fundamentos de Topología.
• Estudio de funciones complejas mediante la
  ecuación de Laplace.
• Se le debe la función ,importante en la teoría
  de los números primos.

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3. La aritmetización del análisis

• Karl Weierstrass
• Continuador en el estudio de las funciones
  elipticas.
• Utilizo sistemáticamente el concepto de
  convergencia uniforme.
• Introdujo rigor aritmético al calculo de
  variaciones.
• En 1872 retomo el problema de la fundamentación
  de los números reales.

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3. La aritmetización del análisis

• Liouville
• Realizo el teorema fundamental para las funciones
  analiticas.
• En 1844 creo un método para la construcción de
  números trascendentales.
• Inicio en 1937 la teoría de las ecuaciones
  integrales con su metodo de aproximaciones
  sucesivas.

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3. La aritmetización del análisis

• Charles Hermite
• Funciones elípticas
• Algebra
• Teoría de Números
• ANALISIS
• Cuadratura del círculo
• Números Trascendentes
• X² p

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3. La aritmetización del análisis

• Brioschi, Betti y Casorati
• Análisis geometría diferencial.
• Topología Combinatoria.
• Funciones analíticas, geometría diferencial.

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3. La aritmetización del análisis

• Se parte del cálculo infinitesimal
• Número irracional
• Fundamentación rigurosa 1872
• Se completa la aritmetización del análisis.
• Aritmética
• Todo había consistido en añadir a las
  operaciones aritméticas () el paso al límite

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3. La aritmetización del análisis

• Aritmetización llevó a nuevos desarrollos.
• Nuevos algoritmos
• Series
• Integrales
• Producto infinito
• Derivada

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3. La aritmetización del análisis

• Hermann Amandus Schwartz Y Gösta Magnus
  Mittag-Leffler
• Cálculo de variaciones
• Acta Matemática y el Instituto Matemático

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3. La aritmetización del análisis

• Immanuel Lazarus Fuchs Y Jacques Hadamard
• Ecuaciones lineales
• Análisis Funcional

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3. La aritmetización del análisis

• Thomas Stieltjes Y Sophus Lie
• Extensión de Integral Definida
• Teoría de grupos continuos de transformaciones

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3. La aritmetización del análisis

• Leonida Tonelli Y Vito Volterra
• Cálculo de variaciones lt- Análisis Funcional
• Teoría de funciones de línea y ecuaciones
  integrales

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3. La aritmetización del análisis

• Henri Poincaré
• Trabajos multiples
• Funciones automorfas
• Uniformación de funciones
• Topología combinatoria
• Teorías integrales de ecuaciones diferenciales.
• Determinantes infinitos.

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3. La aritmetización del análisis

• Hilbert
• Problemas de la matemática
• Unidad de la matemática
• Penetra el siglo XX
• Todas las ramas de desarrollo del siglo XX
• Análisis de Fundamentos
• Tratamiento de problemas

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GRACIAS POR LA ATENCIÓN