Diapositiva 1

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UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA
A.A 2003/2004
ATTIVITA FORMATIVA
Docente Roberta Dal Passo
Studenti Enzo Ferrazzano Luca
Burini
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Caos
deterministico
"logisticamente"
3
Equazioni di Navier-Stokes
Moto in un fluido viscoso continuo
1. Conservazione della massa 2. Conservazione
della quantità di moto e dell'energia
semplificazione
4
Modello
di
Lorenz
semplificazione
5
Applicazione
di
Henon
semplificazione
6
La
logistica
mappa
7
Concetti preliminari
8
Le equazioni di ricorrenza
Definizione
Le equazioni del tipo
, con sono
dette
Equazioni di ricorrenza
9
Le Mappe e i Sistemi dinamici
Definizione
Come orbita di sotto lazione di
intendiamo la seguente sequenza bi-infinita se
è invertibile
Oppure, se non è invertibile
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Classificazione dei Sistemi Dinamici in base alla
natura delle Mappe
Sistema dinamico lineare
LINEARE
Sistema dinamico NON lineare
NON LINEARE
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Definizione
Un punto è un punto fisso se
stabile
se
è un punto fisso
instabile
Asintoticamente stabile se
se non è stabile
Teorema 1
Se
12
Definizione
Un punto p è detto periodico di ordine k se
Definizione
Linsieme è detto
ciclo k-periodico se
e
Definizione
Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p
un punto periodico attrattore se
p un punto periodico repulsore se non è
attrattore
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Ordine di Sharkovsky
Nuovo ordinamento dei numeri naturali
Prima tutti i numeri dispari
poi i numeri dispari moltiplicati per 2
e per le potenze di 2
e quindi le potenze di 2
in ordine decrescente
Teorema di Sharkovsky
Sia , con f una mappa. Se
f ha un punto di periodo k, essa avrà anche
punti di periodo m, con m un numero qualsiasi che
segue k nellordine di Sharkovsky.
logistica
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Metodi di rappresentazione delle Mappe
unidimensionali

• COBWEB DIAGRAM

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La Mappa Logistica
16
Verhulst
CORREZIONE
1838
Legge di Malthus
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Considerazioni analitiche
Dinamica delle popolazioni
Inoltre
Quindi
Per garantire la reiterabilità di
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Strutture nella mappa logistica
Due punti fissi
Teorema 1
con
1.
Lunico punto fisso accettabile è
Non sono contemplate popolazioni negative
punto fisso stabile
Poichè
Un parametro di controllo inferiore allunità
condanna la specie allestinzione
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2.
Due punti fissi e
( positivi )
instabile
Quindi per il punto fisso
è stabile
Convergenza

• seme x0,2
• seme x0,8

20
Ritorno
21
Ritorno
22
La mappa perde il punto stabile
Periodo 2
Andamento pre-caotico
Oscillazione
Periodo 4
In particolare, esiste un successione , per
cui la
mappa ammette un attrattore di periodo .
Lorbita oscilla tra un numero infinito di punti
Andamento
caotico
Esistono tuttavia particolari valori del
parametro di controllo che garantiscono un
andamento periodico della mappa
Finestre di Periodicità
23
Ritorno
24
Ritorno
25
Ritorno
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Dipendenza al variare del parametro n
Evoluzione della mappa al variare di
Diagramma
di
Feigenbaum

• Ascisse parametro di controllo
• Ordinate valori assunti dalla mappa

Proprietà qualitative comuni a tutte le mappe
unimodali differenziabili
dopo alcune iterazioni di assestamento
Universalità Strutturale
27
(No Transcript)
28
Ritorno
29
Le leggi della mappa
Nicholas C. Metropolis Paul Stein Myron Stein
La dipendenza al variare del parametro non è
propria solo della mappa logistica, ma di tutte
le mappe unimodali differenziabili.
Universalità strutturale
Successione

• La successione converge a
• 
  
• con costante di Feigenbaum

Mitchell Feigenbaum
Detta d la distanza tra le punte della prima
biforcazione, le successive distanze tra le
punte delle biforcazioni saranno
con
parametro di riduzione
(oppure Costante di Omotetia)
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Parametri
esistono e sono costanti in tutte le mappe
unimodali differenziabili
Esperimenti
e
Universalità Metrica
Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e
dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford III
nel caso unidimensionale.
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Idea
Se complichiamo la mappa, cosa succederà alle
iterazioni?
flesso
0
1
0
1
Mappa di prova
Mappa logistica
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)
38
?
La nostra funzione si comporta come la mappa
logistica
Perchè?
39
Analisi qualitativa dellUniversalità Metrica
40
Studio delle biforcazioni
,
b
Allora
a
poichè
a
Nei punti e landamento locale è
identico
Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del
grafico
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La prima biforcazione
Mappa iterata due volte
n gt 3
n 3
n lt 3
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Analiticamente i punti fissi sono
e costituiscono un ciclo 2-periodico

Raddoppio del periodo
Successione
Orbita di periodo 3
Orbite di ogni periodo
Per il teorema di Sharkovsky
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Similitudine tra la prima e la seconda
biforcazione
Mappa iterata due volte
n 3.2
n 3.46
44
Levoluzione della zone evidenziate segue un
andamento simile a quello della mappa iterata una
sola volta (da n1,5 a n3 ).
45
Vale anche per le iterazioni successive
Similitudine e ricorsività tra i grafici
Sequenza infinita di raddoppi di periodo
successione
Le mappe delle iterate successive si
comporteranno come la mappa della prima iterata
La Costante di Feigenbaum è indipendente
ad un cambio di parametro della successione
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Dipendenza dalle condizioni iniziali
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Gli Esponenti di Lyapunov
Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali
Regime dinamico caotico
Piccole differenze sulle condizioni iniziali si
amplificano enormemente fino a produrre
traiettorie completamente diverse.
Esponenti di Lyapunov
stima delle velocità medie di convergenza o
divergenza esponenziali delle traiettorie di un
sistema caotico
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Esponente di Lyapunov per una mappa

• Punto fisso
• Orbita stabile

• Punto fisso neutrale

• Orbita instabile e caotica

Esponenti negativi sono tipici di sistemi
dissipativi
Esponenti nulli sono tipici di sistemi
conservativi
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Ulteriori informazioni
50
Dal "semplice"
al "complesso"...
...dalla mappa logistica
a...
51
Mappa Logistica e Equazioni di Navier-Stokes
V. Franceschini (1979, Università di Modena)
Studio di fluidi idrodinamici e del passaggio
alla turbolenza
Simulazione numerica
Sistema di 5 equazioni differenziali accoppiate
del primo ordine
Nel raddoppio del periodo si presentano le
costanti di Feigenbaum
Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes
In un sistema dissipativo multidimensionale
guidato dopo lungo tempo tutte le variabili meno
che una tendono a scomparire
Universalità Metrica
Eckmann Kollet Koch
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Mappa Logistica e Modello di Lorenz
Al variare di un parametro r, il modello di
Lorenz ha un comportamento simile a quello della
mappa logistica.
In particolare
Periodo transitorio pre-caotico
I processi nascono come caotici, ma a lungo
termine diventano periodici
Regime caotico alternato a finestre di periodicità
Le finestre di periodicità sono il dominio di
diversi attrattori periodici
Attraverso unapplicazione chiamata Zoccolo di
Smale è possibile dimostrare alcune
caratteristiche generali dei sistemi dissipativi
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(No Transcript)
54
Lo zoccolo di Smale
Applicazione bidimensionale
che trasforma un insieme di punti in un piano
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Insieme invariante
Linsieme invariante non costituisce un
attrattore. Tra tutti i possibili punti iniziali
di S, quelli che sono ricorrenti in
costituiscono un insieme di misura nulla.
dipende dalla misura utilizzata
Con probabilità 1, un punto scelto
arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel quadrato
solo per un periodo transitorio.
Attrattore strano
stretching
Traiettorie divergenti vengono riavvicinate
folding
Ulteriori informazioni
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Lapplicazione di Henon
Diagramma di biforcazione incredibilmente simile
a quello di Feigenbaum
57
(No Transcript)
58
Not only in research, but also in everyday
world of politics and economics, we would all be
better off if more people realize that simple
non-linear system do not necessarily possess
simple dynamical proprieties Robert M. May,
1976